인덱스 그룹
Index group수학의 한 분야인 연산자 이론에서, 모든 바나흐 대수학은 그것의 추상적 지수 그룹이라고 불리는 그룹과 연관될 수 있다.
정의
A를 바나흐 대수학으로 하고 G를 A에 있는 굴절 불가능한 원소의 집합으로 한다.세트 G는 열려 있고 위상학 그룹이다.ID 구성 요소를 고려하십시오.
- G0,
또는 다시 말하면 A의 1을 포함하는 연결된 구성 요소, G는0 G의 정규 부분군이다.지수군
- λA = G/G0
A의 추상 인덱스 그룹이다.오픈 세트의 구성 요소인0 G는 G에서 개방과 폐쇄 모두이기 때문에 인덱스 그룹은 별개의 그룹이다.
예
L(H)을 힐버트 공간의 경계 연산자의 바나흐 대수학으로 하자.L(H)의 회전 불가능한 요소 세트가 경로에 연결되어 있다.따라서 λ은L(H) 사소한 집단이다.
T는 복잡한 평면에서 단위 원을 나타내도록 한다.T에서 복잡한 숫자에 이르는 연속함수의 대수 C(T)는 바나흐 대수로서, 균일한 수렴의 위상이 있다.C(T)의 함수는 T의 어떤 요소도 0에 매핑하지 않는 경우 반전성(점괘의 승수 역수를 가지고 있다는 의미)이다.그룹 G는0 동일시적 요소, G, G, 상수함수 1로 구성된다.지도 T→T의 구별되는 호모토피 클래스의 G에서 대표자로n f(z) = zn 기능을 선택할 수 있다.따라서 색인 그룹 λ은C(T) 그것의 구성원의 권선적인 숫자에 의해 색인화된 호모토피 클래스의 집합이다.따라서 λ은C(T) T의 기본 그룹에 대해 이형성이다.그것은 셀 수 있는 이산 그룹이다.
칼킨 대수 K는 소형 연산자에 대한 L(H)의 지수 C*-알제브라이다.π이 지지도라고 가정해 보자.앳킨슨의 정리로는 K에 있는 불가역 원소는 ((T) 형태의 원소로 T는 프레드홀름 연산자다.인덱스 그룹 λ은K 다시 카운트 가능한 이산 그룹이다.실제로 λ은K 프레드홀름 지수를 통해 정수 Z의 첨가물 그룹에 이형성이 있다.즉, 프레드홀름 사업자의 경우, 지수의 두 개념은 일치한다.
