기회주의 문제해결을 위한 에세이

기회주의 문제해결을 위한 에세이는 토마스 베이즈가 저자가 죽은 지 2년 ^[1]만인 1763년에 발표한 확률의 수학적 이론에 관한 작품으로, 그의 친구 리차드 프라이스 때문에 복수의 수정과 추가가 수록되어 있다. 제목은 아브라함 드 모이브르의 책 제목을 통해 소개된 확률론을 뜻하는 "기회의 강령"이라는 문구를 현대적으로 사용한 데서 유래한다. 에세이의 현대적 재인쇄는 보다 구체적이고 중요한 제목을 가지고 있다. 유도에 근거한 모든 결론의 정확한 확률을 계산하는 방법.^[2]

이 에세이는 현재 베이즈의 정리라고 불리는 것의 기초를 이루는 조건부 확률의 이론과 함께 선행 확률을 설정하는 문제에 대한 상세한 처리를 포함하고 있다.

베이즈는 각각의 결과가 성공인지 실패인지, 성공 확률은 0과 1 사이의 숫자 p를 갖는 일련의 독립적인 실험을 추정했다. 그러나 그는 p를 불확실한 양으로 추정했는데, 0과 1 사이의 어떤 간격에 있을 확률은 그 간격의 길이인 것이다. 현대적인 관점에서 p는 0과 1 사이에 균일하게 분포된 랜덤 변수로 간주될 것이다. 조건부 p의 가치에 따라 성패를 좌우하는 실험은 독립적이지만 무조건(또는 "마지막")은 그렇지 않다. 다수의 성공이 관찰되면 p가 더 클 가능성이 높기 때문에 다음 재판에서의 성공 가능성이 더 높아지기 때문이다. 베이지스가 다루었던 질문은 지금까지 관찰된 성공과 실패의 수를 감안할 때 p의 조건부 확률 분포는 무엇인가 하는 것이었다. 정답은 확률밀도함수가

${\displaystyle f(p)={\frac {(n+1)!}{{k!(n-k)!}}}}{k}(1-p)^{n-k}{\text{{{}}}}}{{}}}{}}\req p\leq 1}$

(및 <(p) = p < 0 또는 p > 1) 여기서 k는 지금까지 관측된 성공 횟수, n은 지금까지 관측된 시행 횟수다. 이것은 오늘날 모수 k + 1과 n - k + 1을 갖는 베타 분포라고 불린다.

개요

조건부 확률(특히 제안 3, 4, 5)에 있어서의 베이즈의 예비 결과는 그를 위해 명명된 정리의 진리를 내포하고 있다. 그는 다음과 같이 말한다."두 번째 b/N의 확률과 P/N을 합친 확률, 그리고 두 번째 사건도 또한 발생했다는 것이 처음 발견된다면, 나는 첫 번째 사건도 일어났다고 추측한다. 내가 옳을 확률은 P/b이다." 상징적으로 이것은 다음을 암시한다(Stigler 1982 참조).

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(A\cap B)}}{P(A)}}},{\text{{}}}}}{}P(A)\neq 0,}$

Bayes의 조건부 확률에 대한 정리:

${\displaystyle \Rightarrow P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}}}},{\text{{{{}}}{}}}}}{}P(B)\neq 0.}$

그러나 베이즈가 이 발견을 강조하거나 집중한 것으로 보이지는 않는다. 오히려 그는 훨씬 광범위한 추론적 문제에 대한 해결책을 찾는 데 초점을 맞췄다.

"알 수 없는 사건이 발생하여 실패한 횟수를 감안할 때 [... 한 번의 실험에서 그것이 일어날 확률은 이름 붙일 수 있는 확률의 두 가지 정도 사이에 있다.^[1]

에세이에는 복권 추첨에서 '빈칸'과 '훈장'의 비율을 맞춰보려는 남성의 예가 담겨 있다. 지금까지 그 남자는 복권이 10개의 빈칸과 1개의 상금을 추첨하는 것을 지켜보았다. 이러한 데이터를 볼 때 베이즈는 상금에 대한 빈칸의 비율이 9:1에서 11:1 사이일 확률을 계산하는 방법(확률은 낮음 - 약 7.7%)을 자세히 보여주었다. 그는 계속해서 그 남자가 복권을 보고 나서 20개의 빈칸과 2개의 상, 40개의 빈칸과 4개의 상 등을 추첨하는 것을 본 후에 계산하는 것을 묘사했다. 마지막으로, 1만개의 빈칸과 1,000개의 상을 뽑은 후에, 그 확률은 약 97%^[1]에 이른다.

베이즈의 주요 결과(제안 9)는 현대적인 용어로 다음과 같다.

이항 매개 $변수{\displaystyle }$ p ${\displaystyle p}$의 균일한 사전 분포를 가정하십시오$.$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 성공과$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$} 실패$를 관찰한 후,

${\displaystyle P(a)={\frac {\int _{a}^{b}{n+m \선택 m}{m^{n}^{n}\,dp}{n}}{0}^{n+m \선택 m}{p^{}{p}}}}{n+m 선택 {n},p}}.$

베이즈가 현대적 의미에서 '베이시안'이었는지는 불분명하다. 즉, 그가 베이지안 추론에 관심이 있었는지, 아니면 단지 확률에 관심이 있었는지 여부다. 발의안 제9호는 $변수{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p$}에 대한 확률로 "베이지안"처럼 보이지만, 베이즈는 빈번한 관점을 제안하는 방식으로 질문을 했다$:$ 그는 공이 네모난 테이블 위에 무작위로 던져진다고 가정했다(이 테이블은 당구 테이블로 잘못 표현되고, 공은 빌리아로 표현된다).d ball, 그러나 Bayes는 결코 그들을 그렇게 묘사하지 않는다) 그리고 확률 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과 1${\displaystyle }$- p ${\displaystyle 1-p}$과 함께 첫 번째 공의 왼쪽 또는 오른쪽으로 떨어지는 추가 공을 고려했다$.$ 어떤 관점을 취하든 물론 대수학은 동일하다.

리처드 프라이스와 신의 존재

리차드 프라이스는 베이즈가 죽은 후 베이즈의 논문에서 베이즈의 에세이와 현재 유명한 정리를 발견했다. 그는 베이즈의 정리가 신의 존재("신")를 증명하는 데 도움이 된다고 믿었고, 에세이를 소개하면서 다음과 같이 썼다.

"내 말은 사물의 체질에 어떤 일이 일어나는지에 따라 사물의 법칙이 존재하고, 따라서 세상의 틀은 반드시 지적인 대의의 지혜와 힘의 영향이어야 한다고 믿는 이유가 무엇인지 보여 주고, 따라서 D의 존재에 대한 최종적 원인으로부터 취해진 주장을 확인하는 것이다.eity. 이 에세이에서 해결된 역문제들이 이 목적에 더 직접적으로 적용된다는 것을 쉽게 알 수 있을 것이다; 그것은 우리에게 독특하고 정밀하게, 사건의 특정한 순서나 재발성의 모든 경우에, 그러한 재발성이나 질서가 자연에서 안정된 원인이나 규정에서 유래된다고 생각하는 이유가 무엇인지,우연한 부정행위로 인한 것이 아니다.(런던 왕립협회의 철학적 거래, 1763년)^[1]

현대적인 용어로 이것은 텔레매틱스 논쟁의 한 예다.

에세이 버전

• Bayes, Mr; Price, Mr (1763). "An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the Late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. Communicated by Mr. Price, in a Letter to John Canton, A. M. F. R. S" (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 53: 370–418. doi:10.1098/rstl.1763.0053.
• Barnard, G. A (1958). "Studies in the History of Probability and Statistics: Ix. Thomas Bayes's Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances". Biometrika. 45 (3–4): 293–295. doi:10.1093/biomet/45.3-4.293.
• 토마스 베이지스 "기회의 교리에서 문제해결을 위한 에세이" (본래의 표기법으로 베이지스의 에세이)

코멘터리

• G. A. Barnard(1958) "확률과 통계학의 역사에 관한 연구: IX 토마스 베이지스의 <기회론적 문제해결을 위한 에세이>, 바이오메트리카 45:293–295 (생물학적 발언)
• 스티븐 M. 스티글러(1982년). "토마스 베이즈 베이지안 추론," 왕립통계학회지 시리즈 A 145:250–258. (스티글러는 에세이의 수정 해석을 주장한다; 추천)
• 아이작 토드헌터 (1865) 파스칼 시대부터 맥밀란 라플라스 시대까지의 확률 수학 이론의 역사. 1949년, 1956년 첼시, 2001년 Thoemmes에 의해 재판매되었다.

참조

외부 링크

• 인터넷 아카이브의 기회론적 문제해결을 위한 에세이
• UCLA 통계부 확률론적 문제해결을 위한 에세이