산술-기하 평균

산술-기하계 평균

\operatorname {agm} (1,x)

\operatorname {agm} (1,x)

(

\operatorname {agm} (1,x)

,

\operatorname {agm} (1,x)

)

{\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}(

암청색)

수학에서 두 개의 양의 실수 $x$ 와 $y$ 의 산술-기하 평균은 다음과 같이 정의된다.

$x 0$ 및 y $a$ $및 0$ g:를 호출하십시오.

{\displaysty}a_{0}&=x,\g_{0}&=y.\end{정렬}}

그런 다음 두 개의 상호의존적 시퀀스 $(a n)$ 와 ( $g n)$ 를 다음과 같이 정의한다.

{\n}a_{n+1}&={\tfrac {1}{1}{1}:{n}+g_{n}}),\\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}}}\,\end{정렬}}

이 두 시퀀스는 $x$ 와 $y$ 의 산술-기하 평균인 동일한 숫자로 수렴된다 $.$ $산술-기하$ 평균은 $M (x$ $,$ $y)$ $또는 agm$ (x, y) 또는 AGM $(x,$ $y$ )으로 표시된다 $.$

산술-기하 평균은 지수함수와 삼각함수에 대한 빠른 알고리즘, 특히 $연산$ π에 대한 일부 수학 상수에 사용된다.

산술-기하 평균은 복잡한 숫자로 확장될 수 있으며 제곱근의 가지를 일관성 없이 취할 수 있는 경우 일반적으로 다변수 함수다.^[1]

예

$a 0$ = $24$ 와 $g 0$ = $6$ 의 산술-기하 평균을 찾으려면 다음과 같이 반복한다.

{\cdm{array}{rcccl}a_{1}=&#{{1}{1}{1}{1}{1}{1}:{2}}:(24+6)=&#15\\\\g_{1}=&\sqrt{24\cdot 6}&#1}&#{2}{{1}{1}{1}:{2}(15+12+12&gt;13&#1}&#1}&gt;&gt;&#1}&#1}&gt;&#1}.5\\g_{2}&#{{\sqrt {15\cdot 12}&#13.416\407\8649\nd\\\&\vdots &&\end{array}}}}

처음 5회 반복은 다음과 같은 값을 제공한다.

$n$	$a n$	$g n$
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

$a$ 와_n $g$ 가_n (밑줄이 그어진) 동의하는 자릿수는 각 반복에 따라 대략 두 배가 된다.24와 6의 산술-기하 평균은 이 두 시퀀스의 공통 한계로, 약 13.4581714817256154207613168136974399305388544이다.^[2]

역사

이 시퀀스 쌍에 기초한 첫 번째 알고리즘이 라그랑주의 작품에 나타났다.그것의 성질은 가우스에 의해 더 분석되었다.^[1]

특성.

두 양의 숫자의 기하 평균은 산술 평균보다 결코 크지 않다(산술과 기하 평균의 불평등 참조).결과적으로 $n$ > $0$ 에 대해 $(g n)$ 는 증가 시퀀스, ( $a n)$ 는 $감소 n$ 시퀀스, g ≤ $M (x,$ y)≤ $a$ 이다_n. $만약$ x ≠ $y$ 가 있다면 이것들은 엄격한 불평등이다.

$따라서$ M $(x,$ $y)$ 은 $x$ 와 $y$ 의 기하학적 평균과 산술적 평균 사이의 숫자로, $x$ 와 y $사이$ 이기도 하다.

$r$ 이 $0$ 이면 $M (rx, ry)$ = r $M (x, y$ )이다 $.$

$M (x, y$ )에 대한 적분형식이 있다 $.$ ^[3]

{\displaystyle{\begin{정렬}(x, y)&, ={\frac{\pi}{2}}\left(\int_{0}일 경우 ^{\frac{\pi}{2}}{{d\theta}\frac{\sqrt{x^{2}\cos^{2}\theta{2}+y^ \sin^{2}\theta}}}\right)^{)}\\&, =\pi \left(\int_{0}일 경우 ^{}{\frac{dt}{\sqrt{t(t+x^{2}\infty)(t+y^{2})}}}\right)^{)}\\&, ={\frac{\pi}{4}}\cdot{\frac{x+y}{K\left({\frac{x-y}{x+y}}\right)}}\end{a}}ligned}

여기서 $K (k)$ 는 첫 번째 종류의 완전한 타원 적분이다.

K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}:{\frac {d\theta }{1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}}}}}}}}

실제로, 산술-기하학 과정은 매우 빠르게 수렴되기 때문에, 이 공식을 통해 타원형 통합을 계산하는 효율적인 방법을 제공한다.공학에서는 타원형 필터 설계에 사용된다.^[4]

산술-기하계 평균은 $\theta _{3}$ $\theta _{3}$ ${\$ 에 $\theta _{3}$ ^[5] 의해 Jacobi theta 함수에 연결된다.

M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},

$x=1/{\sqrt {2}}$ = $x=1/{\sqrt {2}}$ / $x=1/{\sqrt {2}}$ ${\$

M(1,1/{\sqrt{2})=\좌측(\sum _{n\in \mathb {Z} }e^{-n^{n^}\pi }\오른쪽)^{-2}.

존재 증명

산술과 기하학의 불평등으로부터 우리는 다음과 같이 결론을 내릴 수 있다.

g_{n}\leq a_{n}

따라서

{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\gq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}=g_{n}}}}}}}}}}.

즉, 시퀀스 g는 $감소$ 하지_n 않는다.

나아가 $x$ 와 $y$ 의 큰 것(두 숫자의 산술적 수단이나 기하학적 수단 모두 그 사이에 놓여 있다는 사실에서 따온 것)에 의해서도 위쪽에 경계되어 있음을 쉽게 알 수 있다.그러므로 단조로운 수렴정리에 의해 순서는 수렴되기 때문에 다음과 $같은$ g가 존재한다.

\lim _{n\to \infit }g_{n}=g

그러나 다음과 같은 사실도 알 수 있다.

a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}:{g_{n}}}}

그래서:

{\displaystyle \lim_{n\to \inflt }a_{n}=\lim_{n+1}{n1}^{{n}}}{{n}}}}={\frac {g^{n}}}}}{n}}}}}{n}}}}}}}}}.

Q.E.D.

적분형식 표현 증명

이 증거는 가우스가 준 것이다.^[1]내버려두다

I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}}}}}

통합 변수를 $\theta '$ ${\$ $\theta '$ 으)로 변경. 여기서

\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '},

주다

{\reasoned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{{\tfrac {1}{1}{2}}(x+y),{\sqrt{xy}}{\bigr )}.\end{정렬}}

그러므로, 우리는

{\reasoned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1}=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{정렬}}

마지막 평등은

I(z,z)=\pi /(2z)

(

I(z,z)=\pi /(2z)

,

I(z,z)=\pi /(2z)

)

I(z,z)=\pi /(2z)

=

I(z,z)=\pi /(2z)

/

I(z,z)=\pi /(2z)

( 2

I(z,z)=\pi /(2z)

)

I(z,z)=\pi /(2z)

을 관찰함으로써 얻어진다

I(z,z)=\pi /(2z)

마침내 우리는 원하는 결과를 얻는다.

M(x,y)=\pi /{{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.

적용들

숫자 π

예를 들어, Gauss-Legendre 알고리즘에 따르면:^[14]

\pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt{2}})^{2}}:{1-\sum _{j=1}^{{j=1}^{\inflt }{2^{j+1}c_{j}^{2}}}}}}}}}}}}}}},

어디에

c_{j}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(a_{j-1}-g_{j-1}\오른쪽),

$a_{0}=1$ = $a_{0}=1$ $a_{0}=1$ 및 $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$ 0 $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$ = $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$ / 2 ${\$ 를 사용하여 정밀도 손실 없이 계산할 수 있음

c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}:{4a_{j}}.

완전한 타원 적분 K(sinα)

$a_{0}=1$ = $a_{0}=1$ $a_{0}=1$ 및 g $a_{0}=1$ $g_{0}=\cos \alpha$ = $g_{0}=\cos \alpha$ $g_{0}=\cos \alpha$ 을(를) 취하면 AGM이 생성된다 $g_{0}=\cos \alpha$ .

M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )},

여기서 $K (k)$ 는 첫 번째 종류의 완전한 타원 적분이다.

K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\{2}\d\theta .}^{-1/2

즉, 이 분기는 AGM을 통해 효율적으로 계산될 수 있다.

K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt{1-k^{2}}}}}}.

기타 응용 프로그램

존 랜든의 상승변화와 함께 AGM의 이 속성을 사용, 리처드 P.[15] 브렌트는^[16] 기초 초월함수( $e x$ , $cos$ $x$ , sin $x$ )의 신속한 평가를 위한 첫 $번째$ AGM 알고리즘을 제안했다.그 후, 많은 저자들이 AGM 알고리즘의 사용을 연구하기 시작했다.^[17]

참고 항목

참조

메모들

^ 1799년까지 가우스는 정리에 대한 두 가지 증거를 가지고 있었지만, 현대적인 관점에서는 어느 것도 엄격하지 않았다.
^ In particular, he proved that the beta function $\mathrm {B} (a,b)$ is transcendental for all $a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$ such that $a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}$ . The fact that ${\displaysty$ $le M(1,{\sqrt {2}})}$ is transcendental follows from ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).$ $}$

기타

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[6] 1799년까지 가우스는 정리에 대한 두 가지 증거를 가지고 있었지만, 현대적인 관점에서는 어느 것도 엄격하지 않았다.

[7] In particular, he proved that the beta function $\mathrm {B} (a,b)$ is transcendental for all $a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$ such that $a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}$ . The fact that ${\displaysty$ $le M(1,{\sqrt {2}})}$ is transcendental follows from ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).$ $}$

[Cox-1] Cox, David (January 1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss". L’Enseignement Mathématique. 30 (2): 275–330.

[2] 울프램 알파에서 agm(24, 6).

[3] Carson, B. C. (2010), "Elliptic Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

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[13] R [pseudonym], Martin, Geometric-Harmonic Mean (Answer), StackExchange, retrieved September 19, 2020

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[15] King, Louis V. (1924). On the Direct Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals. Cambridge University Press.

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[18] Brent, Richard P. (1976). "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions". Journal of the ACM. 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314. S2CID 6761843.

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