BIBO 안정성

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신호 처리에서, 특히 제어 이론, BIBO(Bounded-Input, Bounded-Output) 안정성은 입력을 받는 신호 및 시스템의 안정성의 한 형태입니다.시스템이 BIBO가 안정되어 있는 경우, 출력은 경계가 있는 시스템에 대한 모든 입력에 대해 경계가 지정됩니다.

B> { $displaystyle$ B > $0$}의 이 있는 경우 신호크기가$$B { $displaystyle$B $\}$를 $넘지{\displaystyle }$ 않도록 신호가 한정됩니다.

${\displaystyle \mathrm{이산}}$ 시간 신호의 경우 y${\displaystyle }$[${\displaystyle n]b}$ B${\displaystyle \mathrm{}n}$ n$$ Z \ $displaystyle \ y$ [ $n ]$ \$leq$B \$forall$ n $\ in$ \ $mathbb${$Z }$

${\displaystyle \mathrm{연속시간}}$ 신호의 경우 y${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t)}$≤ B${\displaystyle \mathrm{}t}$ t${\displaystyle r\mathbb{}}$$$R \ $displaystyle \ y(t)$ \$leq$ B$\forall$ t$\in \mathbb {R}.$

선형 시간 불변 시스템의 시간 영역 조건

지속시간 필요충분조건

연속 시간 선형 시간 불변(LTI) 시스템의 경우, BIBO 안정성의 조건은 임펄스 응답${\displaystyle }h{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$ $)\displaystyle h(t$)}$$가 절대적으로 통합 가능하다는 것입니다. 즉, 그¹ L 노름이 존재합니다.

$\displaystyle \int _{-\infty }^{\left h(t)\right,{\mathord {operatorname {d}}t=\h\{1}<\infty }$

이산 시간 충분 조건

이산 시간 LTI 시스템의 경우, BIBO 안정성의 조건은 임펄스 응답이 절대적으로 합산 가능한 것이다. 즉, 임펄스 응답의 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}^{}}$ 1$${\$displaystyle \ell$^{$1}}$ 노름이 존재한다.

$\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty } h[n] =\h\_{1}<\infty }$

충분성의 증명

임펄스 ${\displaystyle 응답h}$[ $]{$ $displaystyle \ h$ [ $]{$ $displaystyle$\$x$[ $n$]}와 ${\displaystyle 출력}$y [ $]{$ $displaystyle \ y$ [ $n$]의$$ 관계는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \y[n]=h[n]*x[n]}$

여기서 ${\$ { $displaystyle$ *$$}는$$ 컨볼루션입니다.그리고 나서 그것은 컨볼루션의 정의에 따른다.

${\displaystyle\y[n]=\sum _{k=-\infty}^{\infty}h[k]x[n-k]}$

$"{\displaystyle x}$ "$$" { $display$ style $\ x$ \ { \ $infty }$ } $}$ be$$${\displaystyle }$、 " ${\displaystyle n]}$ { \ $displaystyle$ \$x$[ n $]$의 최대값, 즉 L$$" \ $displaystyle$L _ { \ $infty }$ }" - norm$$ 。

$\displaystyle \left y[n]\right =\left \sum _{k=-\infty}^{\infty}h[n-k]x[k]\right }$

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k=}}}$ -${\displaystyle }$∞ ${\displaystyle h}$[ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$ $x$[ k${\displaystyle }$]{$displaystyle$ \$leq \sum$_ {k$$= - \$infty$}^{\$infty$}\$left$h[$n-k]\right$ \$left x[k$]\right$$}$$ (삼각형 부등식${\displaystyle )}$

${\displaystyle {displaystyle}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty}\lefth h[n-k]\righty \x\{\infty }\sum _{k=-infty }^{\\infty =\right h\right \right }$

${\displaystyle }$[ $]$ { $displaystyle$h [ $n$} { \ displaystyle h[ 1 <\$displaystyle \sum$_ { k= - \ $infty }^{$ \ $infty$} { \ $left$h [ $k$]\ $right$ } = \$h$\ { \ { $1$} < \ $infty$ $}$

${\displaystyle \x\{\infty}\sum _{k=-\infty}^{\infty}\left h[k]\right =\x\_{\infty}\h\{1}}$

따라서 h${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$$]{$ $displaystyle$h [ $n$${\displaystyle ]\{}$ $displaystyle \ left$ x [ $n$]\ right$$}이$$$$(가) 경계가 되어 ${\displaystyle 있는}$ $경우{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$[ ${\displaystyle n]\{}$ $displaystyle$\ $left$y [$n$]\ right$$}도$$ 경계가 됩니다.는 x1 <> {} {\ $displaystyle \$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $right } _${ \ \ \ $right$ } 이므로 경계가 됩니다.

continuous-time의 증명은 같은 인수를 따릅니다.

선형 시간 불변 시스템의 주파수 영역 조건

연속 시간 신호

합리적이고 연속적인 시간 시스템의 경우, 안정성의 조건은 라플라스 변환의 수렴 영역(ROC)이 가상의 축을 포함하는 것이다.시스템이 원인일 때, ROC는 수직선의 오른쪽에 있는 열린 영역이며, 그 외측점은 "가장 큰 극"의 실제 부분 또는 시스템에서 가장 큰 극의 실제 부분을 가진 극입니다.ROC를 정의하는 가장 큰 극의 실제 부분은 수렴의 전위부라고 불립니다.따라서 시스템의 모든 폴은 비보의 안정성을 위해 s-플레인 왼쪽 끝에 있어야 한다.

이 안정성 조건은 위의 시간 도메인 조건으로부터 다음과 같이 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\int _{-\infty}^{\infty}\left h(t)\right \,dt&,=\int _{-\infty}^{\infty}\left e^{-j\omega지}\right \,dt\\&,=\int _{-\infty}^{\infty}\left h(t)(1\cdot e)^{-j\omega지}\right \,dt\\&,=\int _{-\infty}^{\infty}\left h(t)(e^{\sigma +j\omega})^{-t}\right \,dt\\&,=\int _{-\infty}^{\infty \left h(t)\right.}\left h(t)e^{-st}\right,dt\end{aligned}}$

$여기$서 s ${\displaystyle =\sigma }$ + $ω$ { $displaystyle$ s = \ displaystyle +$j$ \$$$operatorname${ Re } ( ${\displaystyle \mathrm{s<img\; alt="s=\backslash sigma\; +j\backslash omega\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/52b9a99cfe16a2003294604462f41acc7863fe66"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.763ex;\; height:2.509ex;">}}$ ) ${\displaystyle =}$ $.$ { displaystyle \operatorname {$Re}$ ( $s$ = \ $displaystyle$=$0.$$}$

따라서 수렴 영역은 가상 축을 포함해야 합니다.

이산 시간 신호

합리적이고 이산적인 시간계에서 안정성의 조건은 z 변환의 수렴 영역(ROC)이 단위원을 포함하는 것이다.시스템이 원인일 경우 ROC는 반지름이 가장 큰 극의 크기인 원 밖의 열린 영역입니다.따라서 시스템의 모든 극은 BIBO 안정성을 위해 z 평면의 장치 원 안에 있어야 합니다.

이 안정성 조건은 연속 시간 도출과 유사한 방법으로 도출할 수 있습니다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left h[n]\right&=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left e^{n-j\omega}\right \\&,=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left h[n](1\cdot e)^{n-j\omega}\right \\&,=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left h[n](re^{j\omega})^{-n}\right \\&,=\sum _{n=-\infty}^{\infty}\left h[n]z \left h[n]\right.^{-n}\right \end{aligned}}$

$여기$서 z ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e^{}}$ j$$ { $display style$ z =$re^$ {$j$ \ $메가 }}$ $및$ r ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}${ $displaystyle$ r =$$z$$=$1$ 입니다.

따라서 수렴 영역에는 단위 원이 포함되어야 합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• LTI 시스템 이론
• 유한 임펄스 응답(FIR) 필터
• 무한 임펄스 응답(IIR) 필터
• 나이키스트 플롯
• Routh-Hurwitz 안정성 기준
• 불길한 그림
• 위상 마진
• 루트 궤적법

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