벡의 단일성 정리

Beck's monadicity theorem

수학의 한 분야인 범주론에서 벡의 단수성 정리는 약 1964년 조나단 모크 벡(2003)이 소개한 단수성 펑커스의 특징을 나타내는 기준을 제시한다.코모나드의 경우 이중 형태로 표기되는 경우가 많다.모나드에 대한 3중이라는 구식 용어 때문에 벡 3중성 정리라고도 한다.

벡의 단일성 정리는 펑터가

만약의[1] 경우에 한하여

  1. U는 좌측 연관을 가지고 있다.
  2. U는 이형성을 반영한다(U(f)가 이형성이라면 f도 마찬가지다).
  3. C에는 U-분할 병렬 쌍(C의 형태 쌍, U가 D의 분할 동분할 쌍을 갖는 쌍에 보내는 병렬 쌍)의 동분할기가 있고 U는 그러한 동분할제를 보존한다.

벡의 정리에는 몇 가지 변형이 있다: 만약 U가 왼쪽 부선을 가지고 있다면, 다음 조건들 중 어떤 것이든 U가 단음절임을 보증한다.

  • U는 이형성을 반영하고 C는 반사적 쌍(우익 역이 공통인 쌍)의 동일제를 가지고 있으며 U는 그러한 동일제를 보존한다.(이것은 조잡한 단성 정리를 제공한다)
  • U에 의해 D의 분할 동등분자 시퀀스로 전송되는 C의 모든 다이어그램은 그 자체로 C의 동등분자 시퀀스다.다른 말로 하자면 U는 U-split coequalizer 시퀀스를 생성(보존 및 반영)한다.

벡의 정리의 또 다른 변화는 엄격히 단색적인 펑커들을 특징짓는다: 비교 펑터가 단지 범주의 등가성이 아니라 이형성인 그것들.이 버전의 경우, 동등분자를 만드는 것이 의미하는 것의 정의는 약간 변경된다: 동등분자는 이등분자에 대한 고유한 것이 아니라 고유한 것이어야 한다.

벡의 정리는 특히 알렉산더 그로텐디크의 대수 기하학 접근법에서뿐만 아니라, 칼집과 스택 이론에서 역할을 하는 강하 이론과의 관계에서 중요하다.대수적 구조의 충실하게 평탄한 하강(예: FGA와 SGA1)의 경우는 대부분 벡의 정리의 특별한 경우다.그 정리는 이 수준에서 '도망'의 과정을 정확하게 범주적으로 기술한다.1970년에 섬유화된 범주 및 하강 데이터를 통한 그로텐디크 접근방식은 (장 베나부 및 자크 루보에 의해) 코모나드 접근방식과 동등(일부 조건 하에서)하다는 것이 입증되었다.이후 작품에서 피에르 들랭은 베크의 정리를 탄나키아의 범주 이론에 적용하여 기초적인 발전을 크게 단순화하였다.

예

  • 콤팩트한 하우스도르프 공간에서부터 세트까지 망각적인 펑터가 모나디드라는 것은 벡의 정리로부터 따르게 된다.왼쪽 부재는 스톤-체크 콤팩트화, 건망증이 심한 펑토르는 모든 콜리미트를 보존하며, 콤팩트한 공간에서 하우스도르프 공간으로의 지속적인 편향은 동형화이기 때문에 이형성을 반영한다.Leinster(2013)는 이 결합이 사실 유한 집합 범주의 (비독성) 포함 펑터를 모든 집합 중 하나로 확장하는 초기 단결 결합이라는 것을 보여준다.
  • 위상학적 공간부터 세트까지 망각적인 펑터는 이소모형을 반영하지 않기 때문에 단조롭지 않다: (비 컴팩트 또는 비 하우스도르프) 위상학적 공간 사이의 지속적인 반대는 동형상일 필요는 없다.
  • Negrepontis(1971, §1)는 이러한 대수 A를 단위 공에 보내는 정류자 C*-algebras의 펑터가, 즉 세트 { a ,a } 가 모나디치임을 보여준다.또한 Negrepontis는 Gelfand 이중성을 추론한다. 즉, 콤팩트 하우스도르프 공간과 상호 작용 C*-algebras의 반대 범주 간 범주의 동등성을 추론할 수 있다.
  • Setop to Set의 powerset functor는 monadic이며, 여기서 Set는 집합의 범주다.보다 일반적으로 벡의 정리는 T에서op T까지의 파워셋 펑터가 Topos T에 대해 단음절임을 보여주기 위해 사용될 수 있으며, 이는 Topos T가 유한한 콜리미트를 가지고 있다는 것을 보여주기 위해 사용된다.
  • 세미그룹에서 세트로 이어지는 망각적인 펑터는 단색이다.이 functor는 임의의 동등분자를 보존하지 않으며, 벡의 정리에 있는 동등분자에 대한 어떤 제약이 필요하며, 한 사람이 필요하며 충분한 조건을 갖기를 원한다면 필요하다는 것을 보여준다.
  • 만약 B가 정류 링 A 위에 있는 충실하게 평평한 정류 링이라면, A 모듈에서 AB 모듈로 M을 BM으로 가져가는 Functor T는 콤모나드가 된다.B가 평평하다는 조건은 T가 한계를 보존한다는 의미인 반면, B가 충실하게 평평하다는 조건은 T가 이형성을 반영한다는 것을 의미하기 때문에 이는 Becks 정리의 이중에서 나타난다.T 위의 합금선은 본질적으로 강하 데이터를 가진 B-모듈로 밝혀지기 때문에, T가 코모나드라는 사실은 강하와 함께 B-모듈이 A-모듈에 해당한다고 하면서 충실하게 평하강하는 주정리에 해당한다.[2]

외부 링크

참조

  1. ^ 페디키오 & 툴렌 2004, 페이지 228
  2. ^ Deligne 1990, §4.2조
  • Balmer, Paul (2012), "Descent in triangulated categories", Mathematische Annalen, 353 (1): 109–125, doi:10.1007/s00208-011-0674-z, MR 2910783, S2CID 121964355
  • Barr, M.; Wells, C. (2013) [1985], Triples, toposes, and theories, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 278, Springer, ISBN 9781489900234 pdf
  • Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], "Triples, algebras and cohomology" (PDF), Reprints in Theory and Applications of Categories, Columbia University PhD thesis, 2: 1–59, MR 1987896
  • Bénabou, Jean; Roubaud, Jacques (1970-01-12), "Monades et descente", C. R. Acad. Sci. Paris, 270 (A): 96–98
  • Leinster, Tom (2013), "Codensity and the ultrafilter monad", Theory and Applications of Categories, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209.3606L
  • Negrepontis, Joan W. (1971), "Duality in analysis from the point of view of triples", Journal of Algebra, 19 (2): 228–253, doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0, ISSN 0021-8693, MR 0280571
  • Pavlović, Duško (1991), "Categorical interpolation: descent and the Beck-Chevalley condition without direct images", in Carboni, A.; Pedicchio, M.C.; Rosolini, G. (eds.), Category theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1488, Springer, pp. 306–325, doi:10.1007/BFb0084229, ISBN 978-3-540-54706-8
  • Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II, Progress in Mathematics, vol. 87, Birkhäuser, pp. 111–195
  • Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957—1962], Paris: Secrétariat Math., MR 0146040
  • Grothendieck, A.; Raynaud, M. (1971), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA I), Lecture Notes in Mathematics, vol. 224, Springer, arXiv:math.AG/0206203, doi:10.1007/BFb0058656, ISBN 978-3-540-36910-3
  • Borceux, Francis (1994), Basic Category Theory, Handbook of Categorical Algebra, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0 (3권).
  • Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4245-4, MR 2222646
  • Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004), Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 97, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-83414-7, Zbl 1034.18001