바이너리 고파 코드

수학과 컴퓨터 과학에서 바이너리 고파 코드는 원래 발레리 데니소비치 고파가 기술한 일반 고파 코드의 등급에 속하는 오류 정정 코드지만, 바이너리 구조는 비이진 변종보다 몇 가지 수학적인 이점을 주며, 또한 컴퓨터와 통신에서의 일반적인 용도에 더 잘 맞는 것을 제공한다.고드름바이너리 고파 코드는 맥엘리체 유사 암호체계와 유사한 설정에서 암호화에 적합한 흥미로운 속성을 가지고 있다.

시공 및 특성

A binary Goppa code is defined by a polynomial $g(x)$ of degree $t$ over a finite field $GF(2^{m})$ with no repeated roots, and a sequence $L_{1},...,L_{n}$ of $n$ distinct elements from $GF(2^{m})$ $G$ $GF(2^{m})$ $displaystyle g}$ 의 루트가 아닌 $GF(2^{m})$ $GF$ (2 $^{m}) {\displaystyle$ G $g$

코드 워드는 신드롬 함수의 커널에 속하며 $\{0,1\}^{n}$ { $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ } $\{0,1\}^{n}$ ${\$ \{ $0,1\}^{n$ :

\Gamma(g,L)=\좌측\{c\in \{0,1\}^{n}\좌측 \sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}}{x-L_{i}}}\equiv 0\mod g(x)\오른쪽.\right\}

tuple $(g,L)$ ( $(g,L)$ , $(g,L)$ ) $(g,L)$ {\ $displaystyle (g,L)}$ 에 의해 정의된 코드는 최소 $n-mt$ t ${\displaystyle n-mt$ $}$ 과 $n-mt$ 최소 $2t+1$ $2t+1$ + 1 ${\displaystyle 2t+1$ }의 치수를 가지므로 $(g,L)$ $2t+1$ 최소한 $n$ 하는 동안 $n$ $n-mt$ - $n-mt$ $n-mt$ ${\displaystyle$ $n-m$ $n-m$ }의 메시지를 인코딩할 수 있다. $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ ( $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ + 1 $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ ) $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ - 1 $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ ${\$ {\frac {( $2t+1)-1}{2}}\오른쪽\floor }$ 오류 $\left\lfloor {\frac {(2t+1)-1}{2}}\right\rfloor$ .편리한 패리티 체크 매트릭스 $H$ $H$ 을(를) 형태로 보유하고 $H$ 있다.

{\displaystyle H=VD={\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1\cdots &1\\1\\l_{1}^{1}&L_{2}^{1}{3}^{1}{1}^{1}&L_{n}^{n}^{1}\\\\L_{1}^{2}&.L_{2}^{2}&.L_{3}^{2}&, \cdots &.L_{n}^{2}\\\vdots, \vdots &, \vdots &, \ddots &\vdots \\L_{1}^{t-1}& &.L_{2}^{t-1}&.L_{3}^{t-1}&, \cdots &.L_{n}^{t-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac{1}{g(L_{1})}}&&&&\\&,{\frac{1}{g(L_{2})}}&&&\\&,&{\frac{1}{g(L_{3})}}&&\\&,&&\ddots &, \\&,&&&{\frac{1}{g(L_{n})}}\end{pmatrix}}}.

Vandermonde 매트릭스 $V$ $V$ 및 대각 $V$ 행렬 D $D$ 로 구성된 이 패리티 검사 매트릭스는 $D$ 대체 매트릭스 코드로 양식을 공유하므로 이 양식에서 대체 디코더를 사용할 수 있다.그러한 디코더는 대개 제한된 오류 수정 기능만 제공한다(대부분의 경우 $t/2$ / 2 ${\displaystyle t/2}).$

실용적인 목적을 위해, 바이너리 고파 코드의 패리티 체크 매트릭스는 일반적으로 추적 구성에 의해 보다 컴퓨터 친화적인 이진 형태로 변환되며, 이 $매트릭스$ 는 $GF(2^{m})$ ( $GF(2^{m})$ $)[\displaystyle GF (2^{m})]$ 를 $통한$ $t$ ${\displaystystyle mt}$ $-by-n$ {\ $displayst$ } 매트릭스를 $n$ $mt$ 한다 $GF(2^{m})$ . $m$ $m$ 연속된 $m$ $GF(2^{m})$ 에 G $GF(2^{m})$ ( 2 $GF(2^{m})$ ) $GF(2^{m})$ {\ $displaystyle GF$ (2 $^{m})$ 요소의 다항식 계수를 $작성하여 yle$ n $}$ 이항 $n$ 행렬.

디코딩

바이너리 고파 코드의 디코딩은 전통적으로 패터슨 알고리즘에 의해 이루어지는데, 이는 좋은 오류 수정 기능( $모든$ t ${\displaystyle$ t $}$ 설계 $t$ 오류를 수정함)을 제공하며, 구현도 상당히 간단하다.

패터슨 알고리즘은 신드롬을 오류 벡터로 변환시킨다.2진수 단어 $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ = $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ ( $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ , $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ … $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ , $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ - $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ ) ${\displaysty c=(c_{0},\dots,c_{n-1}}$ 의 증후군은 다음 형태를 취할 것으로 예상된다 $c=(c_{0},\dots ,c_{n-1})$ .

s(x)\equiv \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {c_{i}}{x-L_}}\mod g(x)

$s(x)$ ( $s(x)$ ) $s(x)$ 에 대한 공식에 기초한 패리티 체크 매트릭스의 대체 형식을 사용하여 단순한 매트릭스 곱셈으로 그러한 증후군을 생성할 수 있다 $s(x)$ .

The algorithm then computes $v(x)\equiv {\sqrt {s(x)^{-1}-x}}\mod g(x)$ . That fails when $s(x)\equiv 0$ , but that is the case when the input word is a codeword, so no error correction is necessary.

$v(x)$ is reduced to polynomials $a(x)$ and $b(x)$ using the extended euclidean algorithm, so that $a(x)\equiv b(x)\cdot v(x)\mod g(x)$ , while ${\displaystyle \deg($ $a$ 및 $b$ ) $\deg(b)\leq \lfloor (t-1)/2\rfloor$ - $\deg(b)\leq \lfloor (t-1)/2\rfloor$ ) $\deg(b)\leq \lfloor (t-1)/2\rfloor$ / $⌋(\displaystyle \lfloor$ ( $t-1)/2\loor$

마지막으로 오류 로케이터 다항식은 $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ( $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ) $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ = $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ( $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ) $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ + $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ( x $\sigma (x)=a(x)^{2}+x\cdot b(x)^{2}$ ) 2 ${\$ 2진수인 경우 오류를 찾는 것으로는 다른 값만 있으므로 수정하기에 충분하다는 점에 유의하십시오.비이진 사례에서는 별도의 오류 수정 다항식도 계산해야 한다.

원래 코드 워드를 해독할 수 있고 $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ = $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ ( $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ e $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ , $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ … , $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ - $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ ) $e=(e_{0}, e_{1},\dots ,e_{n-1}}$ 이(가) 이항 오류 벡터였다면 $e=(e_{0},e_{1},\dots ,e_{n-1})$ , 그러면

\sigma(x)=\prod _{i=0}^{n-1}e_{i}(x-L_{i})

따라서 $\sigma (x)$ $\sigma (x)$ ( $\sigma (x)$ ) $\sigma (x)$ 의 모든 루트를 인수하거나 평가하면 오류 벡터를 복구하고 오류를 수정하는 데 충분한 정보가 제공된다.

속성 및 사용법

고파 코드의 특별한 경우로 보이는 바이너리 고파 코드는 $\deg(g)$ $){\displaystyle \deg(g)}$ 오류를 $\deg(g)$ 수정하는 흥미로운 속성을 가지고 있지만, 3번째와 다른 모든 경우 $\deg(g)/2$ $\deg(g)/2$ 오류만 $\deg(g)/2$ 수정한다.점증적으로 이 오류 수정 능력은 유명한 길버트-바르샤모프 바인딩을 충족한다.

패리티-체크 매트릭스의 코드율과 형태(보통 전체 등급의 무작위 이진 매트릭스와 거의 구별할 수 없음)에 비해 오류 보정 용량이 높기 때문에 바이너리 고파 코드는 몇 개의 수량 후 암호 시스템에 사용되며, 특히 McEliece 암호 시스템과 Nederreiter 암호 시스템에 사용된다.

참조

엘윈 RBerlekamp, Goppa 코드, IEEE 정보이론에 관한 거래 Vol.IT-19, 1973년 9월 5일 https://web.archive.org/web/20170829142555/http://infosec.seu.edu.cn/space/kangwei/senior_thesis/Goppa.pdf
다니엘라 엥겔베르트, 라파엘 오버벡, 아서 슈미트."맥엘리스형 암호 시스템과 보안에 대한 요약"수학 암호학 저널 1, 151–199.MR2345114.이전 버전: http://eprint.iacr.org/2006/162/
대니얼 J. 번스타인"이진 고파 코드의 디코딩 목록." http://cr.yp.to/codes/goppalist-20110303.pdf

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