이항급수

수학에서 이항급수는 음이 아닌 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$에 대하여 $({\displaystyle 1}$ + ${\displaystyle x){}^n}$ ${\$+ $x)^{n}$와 같은 이항식 식에서 나오는 다항식의 일반화이다$.$이항 급수는 함수 $f$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ( $1$ + x ) α {\displaystyle f(x) = (1 + x)^{\alpha}}에 대한 맥로린 급수이며, 여기서 α ∈ C {\displaystyle \in \mathbb {C}} 및 x < 1 {\displaystyle x <1}. 명시적으로,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha}&=\sum _{k=0}^{\infty}\;{\binom {\alpha}{k}}\;x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}$

(1)

여기서 (1)의 오른쪽에 있는 멱급수는 (일반) 이항 계수로 표시됩니다.

${\displaystyle {\binom {\alpha}{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

α가 음이 아닌 정수 n이면 x^{n + 1} 항과 시리즈의 모든 이후 항은 0입니다. 각각 (n - n)의 인자를 포함하기 때문입니다.따라서 이 경우 급수는 유한하며 대수 이항식을 제공합니다.

컨버전스

수렴조건

(1)이 수렴하는지의 여부는 복소수 α와 x의 값에 따라 달라집니다. 더 정확하게는:

1. x < 1인 경우, 급수는 임의의 복소수 α에 대해 절대 수렴합니다.
2. x = 1인 경우, 시리즈는 Re(α) > 0 또는 α = 0인 경우에만 절대 수렴합니다. 여기서 Re(α)는 α의 실제 부분을 나타냅니다.
3. x = 1이고 x ≠ -1인 경우 Re(α) > -1인 경우에만 영상 시리즈가 수렴합니다.
4. x = -1인 경우에는 Re(α) > 0 또는 α = 0인 경우에만 영상 시리즈가 수렴됩니다.
5. x > 1인 경우, α가 음이 아닌 정수인 경우를 제외하고는 급수가 발산합니다. 이 경우 급수는 유한합입니다.

특히 α가 음이 아닌 정수가 아닌 경우 수렴원반 경계에서의 상황 x = 1은 다음과 같이 요약됩니다.

• Re(α) > 0인 경우, 영상 시리즈는 절대 수렴합니다.
• -1 < Re(α) ≤ 0인 경우 x ≠ -1이면 급수가 조건부로 수렴하고 x = -1이면 분기합니다.
• Re(α) ≤ -1인 경우, 직렬은 분기됩니다.

증명에 사용할 ID

임의의 복소수 α에 대한 다음 홀드:

${\displaystyle {\alpha \choose 0}=1,}$

${\displaystyle {\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1}},}$

(2)

${\displaystyle {\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}}$

(3)

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$가 음이 아닌 정수(이항 계수가$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$가 α ${\displaystyle \alpha}$보다 크기 때문에 사라짐)가 아니라면, $$이항 계수에 대한 유용한 점근 관계는 란다우 표기법에서 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k}}{\Gamma(-\alpha)k^{1+\alpha}}\,(1+o(1)),\{\text{as}}k\to \infty.}$

(4)

이는 본질적으로 오일러가 감마 함수를 정의한 것과 같습니다.

${\displaystyle \Gamma(z)=\lim _{k\to \infty}{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots(z+k)}},}$

그리고 즉시 더 거친 경계를 암시합니다.

${\displaystyle {\frac {m}{k^{1+\operatorname {Re} \,\alpha}}\leq \left {\alpha \choose k}\right \leq {\frac {M}{k^{1+\operatorname {Re} \alpha}},}$

(5)

일부 양의 상수 m과 M에 대해.

일반화된 이항 계수에 대한 공식 (2)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left ({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).}$

(6)

증명

(i)와 (v)를 증명하기 위해 비율 검정을 적용하고 위의 공식 (2)를 사용하여 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$가 음이 아닌 정수가 아닐 때, 수렴 반지름이 정확히 1임을 보여줍니다. 부분 (ii)는 p-시리즈와 비교하여 공식 (5)에서 따랐습니다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty}\;{\frac {1}{k^{p}},}$

$p$ = ${\displaystyle 1}$+ $Re$ ⁡ α {\displaystyle p = 1+\operator name {Re} \alpha}. (iii)를 증명하려면 먼저 식 (3)을 사용하여 구합니다.

${\displaystyle (1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}=\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1}}$

(7)

⁡$α$ > - 1 ${\displaystyle$ \$operator name$ {Re}$\alpha$ >-1}을(를) 가정할 때 (ii)와 공식 (5)를 다시 사용하여 우변의 수렴을 증명합니다.${\displaystyle 반면}$, x = 1 ${\$$displaystyle$ x = 1}이고 Re ⁡ α ≤ - 1 {\displaystyle \operatorname {Re} \alpha \leq -1}인 경우, 시리즈는 다시 공식 (5)에 의해 수렴되지 않습니다.Alternatively, we may observe that for all ${\displaystyle j}$, ${\textstyle \left {\frac {\alpha +1}{j}}-1\right \geq 1-{\frac {\operatorname {Re} \alpha +1}{j}}\geq 1}$. Thus, by formula (6), for all ${\textstyle k,$$\left {\alpha \choose k}\right \geq 1$ 이렇게 하면 (iii)의 증명이 완성됩니다.(iv)로 방향을 틀면 $위$의 항등식 (7)을 식 (4)와 함께 α {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ x=-$1$$}$ 대신 x = - 1 {\$displaystyle$ xalpha-1}, α -${\displaystyle }$1 ${\displaystyle$\alpha -1}과 함께 사용하여 구합니다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)^{\alpha }}(1+o(1))}$

$n$ → ∞ {\$displaystyle$n\$to$infty}. 이제 ${\displaystyle {\mathrm{주장}}^{}}$(iv)은 n - α = e -$$α $로그$⁡(n) {\displaystyle n^{-\alpha }= e^{-\alpha \log(n))}. (정확히,$⁡$$\log n}}$ certainly converges to ${\displaystyle 0}$ if ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha >0}$ and diverges to ${\displaystyle +\infty }$ if ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha <0}$. If ${\displaystyle \operatorname {Re} \alpha =0}$,$n$ -${\displaystyle {\alpha }^{}}$ = ${\displaystyle e}$ -$i$ ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ⁡ α $로그$⁡ n {\$displaystyle$ n^{-\$alpha$$}$=e^{-i\operatorname {Im} \alpha \log n}은(는) 시퀀스 Im ⁡ α 로그 ⁡ n {\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \log n}이(가) mod 2 π {\displaystyle {\bmod {2\pi}},$\alpha$ = ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle \alpha$ = 0}인 경우 이는 확실하게 참이지만 Im ⁡$α$ ≠$0$ {\displaystyle \operatorname {Im} \alpha \neq 0} : 후자의 경우 시퀀스가 조밀 mod 2 π {\displaystyle {\bmod {2\pi}},$로그$⁡ n ${\displaystyle$\log n}이(가) 분기되고 로그 ⁡(n + 1 ) - 로그 ⁡ n {\displaystyle \log(n+1)-\log n}이(가) 0으로 수렴되기 때문입니다.

이항급수의 합

이항 급수의 합을 계산하는 일반적인 인수는 다음과 같습니다.수렴 x < 1의 디스크 내에서 항 단위로 이항 급수를 미분하고 공식 (1)을 사용하면 급수의 합이 초기 데이터 u(0) = 1로 통상의 미분 방정식 (1 + x)u'(x) = αu(x)를 푸는 분석 함수임을 알 수 있습니다.

이 문제의 유일한 해는 로그의 도함수를 사용하는 함수 u(x) = (1 + x)입니다.

${\displaystyle (1+x)u'(x)=\alpha u(x)}$

${\displaystyle {\frac {u'(x)}{u(x)}}={\frac {\alpha}{(1+x)}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln u(x)=\alpha {\frac {d}{dx}}\ln(1+x)}$

${\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha}}$

따라서 적어도 x < 1에 대해서는 이항 급수의 합이 됩니다.

아벨 정리의 결과로 그리고 (1 + x)의 연속성에 의해 등호는 급수가 수렴할 때마다 x = 1로 확장됩니다.

음이항급수

밀접하게 관련된 것은 함수 $g$ ( ${\displaystyle x)}$= ($1$ - x ) - α {\displaystyle g(x) = (1 - x)^{-\alpha}}에 대해 맥로린 급수에 의해 정의된 음이항 급수이며, 여기서 α ∈ C {\displaystyle \in \mathbb {C}} 및 x < 1 {\displaystyle x <1}. 명시적으로,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha}}&=\sum _{k=0}^{\infty}\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots,\end{aligned}}$

다중 집합 계수로 작성됩니다.

${\displaystyle \left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right):={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\",}$

α가 양의 정수일 때, 몇 가지 공통적인 순서가 명백합니다.경우 α = 1은 급수 1 + x + x + x + x + ...을 제공하며, 여기서 급수의 각 항의 계수는 단순히 1입니다.대소문자 α = 2는 계수로 카운트 수를 가지는 직렬 1 + 2x + 3x + 4x + ...을 제공합니다.대소문자 α = 3은 삼각형 수를 계수로 가지는 급수 1 + 3x + 6x + 10x + ...을 제공합니다.α = 4인 경우는 4면체 수를 계수로 가지는 직렬 1 + 4x + 10x + 20x + ...을 제공하며, α의 높은 정수 값에 대해서도 마찬가지입니다.

음이항급수에는 기하급수의 경우, 검정력급수의^[1] 경우가 포함됩니다.

($\alpha$ = ${\displaystyle$ \alpha = 1}일 때의 음이항 급수이며, 디스크 x < 1 {\displaystyle x < 1}에 수렴합니다.) 그리고 일반적으로 기하급수의 미분에 의해 얻어진 급수:양의 정수인 $\alpha$ = ${\displaystyle n}$ ${\$displaystyle \alpha = n}.

역사

양의 정수 지수가 아닌 다른 이항 급수에 대한 첫 번째 결과는 특정 곡선 아래에 둘러싸인 영역에 대한 연구에서 아이작 뉴턴 경에 의해 제시되었습니다.John Wall은 m이 분수인 formy = (1 - x)의 식을 고려하여 이 작업을 기반으로 합니다.그는 (현대 용어로 작성된) (-x²)^k의 연속 계수_k c는 앞의 계수에 다음을 곱하여 구한다는 것을 발견했습니다.m - (k - 1)/k (정수 지수의 경우와 같이), 이들 계수에 대한 공식을 암시적으로 제공합니다.그는 다음과^[a] 같은 사례를 명시적으로 씁니다.

${\displaystyle(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots }$

${\displaystyle(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}\cdots}$

${\displaystyle(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots }$

따라서 이항 급수를 뉴턴의 이항 정리라고 부르기도 합니다.뉴턴은 증명을 제공하지 않으며 급수의 본질에 대해 명시적이지 않습니다.후에 닐스 헨리크 아벨은 1826년에 크렐의 저널에 출판된 논문에서 이 주제에 대해 논의했고, 특히 수렴 문제를 다루었습니다.

참고 항목

• 이항 근사치
• 이항 정리
• 뉴턴 급수의 표

각주

메모들

인용문

참고문헌

• Abel, Niels (1826), "Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x² + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3)x³ + ...", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1: 311–339
• Coolidge, J. L. (1949), "The Story of the Binomial Theorem", The American Mathematical Monthly, 56 (3): 147–157, doi:10.2307/2305028, JSTOR 2305028

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Binomial Series". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Binomial Theorem". MathWorld.
• 행성 수학에서 이항식.
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Binomial series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• "How Isaac Newton Discovered the Binomial Power Series". August 31, 2022.