보르숙–울람 정리

mathematics, the Borsuk–Ulam theorem states that every continuous function from an n-sphere into Euclidean n-space maps some pair of antipodal points to the same point. — 안티포달

수학에서 보석-울람 정리는 n-구면에서 유클리드 n-공간으로의 모든 연속 함수는 어떤 쌍의 반대방향 점들을 같은 점에 매핑한다고 말합니다. 여기서 구 위의 두 점이 구의 중심에서 정확히 반대 방향에 있으면 안티포달이라고 합니다.

$형식$ : $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ → $f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle$ f $:$ $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 는 연속이고, $다음$ 과 같은 $x\in S^{n}$ x $∈$ $f(-x)=f(x)$ $f(-x)=f(x)$ $x\$ in S^{n}}이 있습니다. f ( - x ) $=$ f ( x ) ${\$ displaystyle f $(-$ x) $=$ f(x)}.

사례 $n=1$ = ${\$ displaystyle n = 1}은 지구 적도에는 항상 온도가 같은 한 쌍의 반대점이 존재한다는 것으로 설명할 수 있습니다. 모든 원에 대해서도 마찬가지입니다. 이것은 온도가 공간에서 연속적으로 변하는 것을 가정하지만, 항상 그런 것은 아닙니다.^[1]

사례 $n=2$ = ${\$ displaystyle n = 2}은 종종 두 매개변수가 공간에서 연속적으로 변한다고 가정할 때, 어떤 순간에도 지구 표면에는 항상 온도와 기압이 같은 한 쌍의 반대방향 점이 존재한다고 설명합니다.

보르숙-울람 정리는 홀수 함수의 관점에서 몇 가지 동등한 문장을 가지고 있습니다. $S^{n}$ ${\$ 은 $S^{n}$ n-구이고 $B^{n}$ ${\$ B $^{n}}$ 은 $B^{n}$ n-구임을 기억합니다.

$g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ S $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ → $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle$ g $:$ $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 는 연속 홀수 함수이며, S^{n}에는 $g(x)=0$ 과 같은 $x\in S^{n}$ $∈$ $Sn {\display x\$ in S^{n}이 있습니다 $g(x)=0$ $g(x)=0$ (x) $=$ 0 ${\display$ g(x) $=$ 0 $g(x)=0$
$g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ → $g:B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle$ g $:$ $B^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ is a continuous function which is odd on $S^{n-1}$ (the boundary of $B^{n}$ ), then there exists an $x\in B^{n}$ such that: $g(x)=0$ .

역사

Matousheck(2003, 페이지 25)에 따르면, 보르숙의 성명에 대한 최초의 역사적 언급은-울람 정리는 Lyusternik & Shnirel'man (1930)에 등장합니다. 첫 번째 증거는 Karol Borsuk(1933)에 의해 제시되었으며, 여기서 문제의 공식화는 Staniswaw Ulam에게 귀속되었습니다. 그 이후로 Steinlein(1985)이 수집한 바와 같이 다양한 저자들에 의해 많은 대안적인 증거들이 발견되었습니다.

등가문

다음 문장들은 보르숙에 해당합니다.울람 정리.^[2]

홀수 함수 포함

$x$ $g$ ${\displaystyle$ $g$ $}$ 은 모든 x ${\displaystyle$ x $x$ 에 $g(-x)=-g(x)$ g $g(-x)=-g(x)$ - x $g(-x)=-g(x)$ ) = $g(-x)=-g(x)$ - $($ $g(-x)=-g(x)$ ) {\displaystyle g (-x) = -g(x)}인 경우 홀수(Antiphodal 또는 Antiphode-보존이라고 함)라고 합니다.

보르숙-울람 정리는 다음 문장과 동등합니다. n-구면에서 유클리드 n-공간으로의 연속 홀수 함수는 0을 갖습니다. 증명:

정리가 맞다면 홀수 함수에 대해서는 구체적으로 맞으며, 홀수 함수에 대해서는 $g(-x)=g(x)$ - $g(-x)=g(x)$ ) = g $g(-x)=g(x)$ $)$ $display$ g (-x) = g(x $)}$ if fg(x) = 0 {\display g(x) = 0} 이다. 따라서 모든 홀수 연속 함수는 0을 가진다.
모든 연속 $함수$ $f$ ${\displaystyle$ f $}$ 에 대하여 $f$ 다음 함수는 연속적이고 홀수입니다: $g(x)=f(x)-f(-x)$ ) = $f$ $g(x)=f(x)-f(-x)$ x $f(x)=f(-x)$ ) - f ( - x ) {\displaystyle g(x) = f(x) - f (-x)}. 모든 홀수 연속 함수가 0이면, g {\displaystyle g}는 0이므로 f (x ) = f ( - x ) {\displaystyle f(x) = f (-x)}. 따라서 그 정리는 정확합니다.

수축과 함께

후퇴를 함수 $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ 로 정의합니다 $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ → $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ - 1 $h:S^{n}\to S^{n-1}.$ ${\displaystyle h:$ $S^{n}\to S^{n-1}.}$ The Borsuk–울람 정리는 연속적인 홀수 후퇴가 없다는 다음과 같은 주장에 해당합니다.

증명: 정리가 맞다면, $S^{n}$ ${\$ 의 모든 연속 홀수 함수는 그 범위에 0을 포함해야 $S^{n}$ 합니다. $0\notin S^{n-1}$ 0 ∉ $S$ - 1 ${\displaystyle$ 0\n $otin S^{n-1}}$ 이므로 $0\notin S^{n-1}$ 범위가 $S^{n-1}$ - 1 ${\$ 인 연속 홀수 함수는 있을 수 없습니다 $S^{n-1}$

반대로 틀리면 연속적인 $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ 함수 g가 존재합니다 $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ n → $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ {\ $display$ g $:$ $0$ 이 없는 $g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$ S $^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$ 입니다. 그러면 또 다른 홀수 $함수$ $h:S^{n}\to S^{n-1}$ 를 구성할 수 있습니다 $h:S^{n}\to S^{n-1}$ $h:S^{n}\to S^{n-1}$ $h:S^{n}\to S^{n-1}$ → $h:S^{n}\to S^{n-1}$ $h:S^{n}\to S^{n-1}$ - 1 ${\displaystyle$ h $:$ $S^{n}\to S^{n-1}}$ by:

h(x)={\frac {g(x)}{ g(x) }}

$g$ $g$ 에는 $g$ 0이 없으므로 $h$ ${\displaystyle$ h $}$ 는 $h$ 잘 정의되어 있고 연속적입니다. 따라서 연속적인 홀수 후퇴가 있습니다.

증명

1차원 케이스

1차원 경우는 중간값 정리(IVT)를 사용하여 쉽게 증명할 수 있습니다.

$g$ ${\displaystyle$ g $}$ 를 $g(x)=f(x)-f(-x)$ ( $g(x)=f(x)-f(-x)$ ) = $g(x)=f(x)-f(-x)$ (x $g(x)=f(x)-f(-x)$ ) - f $g(x)=0$ ( - x ) {\displaystyle g(x) = f(x) - f (-x)}로 정의된 원 위의 홀수 실수 $연속$ 함수라고 하자. 임의의 x {\displaystyle x}를 선택하십시오. 만약 g (x ) = 0 {\displaystyle g(x) = 0}이면 우리는 끝이다. 그렇지 않으면 일반성을 잃지 않고 $g(x)>0.$ ) $g(x)>0.$ > 0 $g(x)>0.$ ${\display g(x)$ > $0.}$ 그러나 $g(x)>0.$ $g(-x)<0.$ - $g(-x)<0.$ ) $g(-x)<0.$ < $g(-x)<0.$ ${\display$ g $(-x$ ) < 0. {\display g(-x) < 0 $.$ $}$ 따라서 IVT에 의해 $x$ $x$ 와 $-x$ - $-x$ $-x$ 사이에 점 $y$ ${\displaystyle$ y $}$ 가 있으며, 여기서 $g(y)=0$ $=$ 0 ${\displaystyle$ g(y) $=$ 0}입니다.

일반적인 경우

대수적 위상 증명

$h$ → $h:S^{n}\to S^{n-1}$ - 1 ${\displaystyle$ h $:$ $S^{n}\to$ S $^{n-1}}$ 는 $n>2$ > 2 ${\display n>2인$ 홀수 연속 함수입니다( $n=1$ n $=$ $n=1$ ${\$ displaystyle n $=$ 1 $}$ 은 위에서 처리되며, 케이스 n $=$ 2 {\displaystyle n $=$ 2}은 기본 피복 이론을 사용하여 처리할 수 있습니다). 안티포달 작용 하에서 궤도로 통과함으로써 유도된 연속 $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ h $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ 를 얻습니다 $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ → $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ $h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}$ - 1 ${\displaystyle$ h $':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$ 실제 사영 공간 사이에서 기본 그룹에 대한 동형을 유도합니다. 후레비츠 정리에 의해, $\mathbb {F} _{2}$ $\mathbb {F} _{2}$ {\ $displaystyle \mathbb {F}$ _{ $2}$ 계수 $\mathbb {F} _{2}$ [ $\mathbb {F} _{2}$ 서 F $\mathbb {F} _{2}$ {\ $displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 는 두 개의 요소가 있는 필드를 나타냅니다 $\mathbb {F} _{2}$ .]

\mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},

$b$ $b$ 을(를) $a$ 로 보냅니다 $a$ 그러면 b n = ${\$ $displaystyle$ b $^{n$ }=0}이(가) ≠ $0$ {\displaystyle a^{n}\n으로 전송됩니다. $eq$ 0 $a^{n}\neq 0$ 모순입니다.^[3]

또한 어떤 홀수 맵 $S^{n-1}\to S^{n-1}$ - $S^{n-1}\to S^{n-1}$ → $S^{n-1}\to S^{n-1}$ - 1 ${\displaystyle$ S $^{n-1}\to$ S $^{n-1}}$ 이 홀수 차수를 가지고 있다는 더 강력한 진술을 보여주고 이 결과로부터 정리를 추론할 수 있습니다.

합적 증명

보르숙-울람 정리는 터커의 보조정리로부터 증명될 수 있습니다.^[2]^[4]^[5]

Let $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ : $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ → $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle$ g $:$ $S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 는 연속 홀수 함수입니다 $g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ . g는 콤팩트 도메인에서 연속이므로 균일하게 연속됩니다. Therefore, for every $\epsilon >0$ , there is a $\delta >0$ such that, for every two points of $S_{n}$ which are within $\delta$ of each other, their images under g are within $\epsilon$ of each other.

최대 $\delta$ δ ${\displaystyle \$ delta}의 모서리를 가진 $S_{n}$ $S_{n$ 의 삼각측량을 정의합니다. 삼각측량의 각 $정점$ v ${\displaystyle$ v}에 다음과 같은 방법으로 l $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ ∈ $l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}$ ± $,$ ± 2, …, ± $n$ {\ $displaystyle l(v)\$ in {\ $pm$ 1 $,\$ pm 2 $,\$ ldots,\pm n}에 레이블을 지정합니다.

레이블의 절대값은 절대값이 가장 높은 g: $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$ ( $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$ = $|l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)$ ⁡ $max$ k (g (v)) {\displaystyle l(v) =\arg \max _{k}(g(v)_{k})}인 좌표의 지수입니다.
레이블의 부호는 g의 부호이므로 $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|$ = $l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|$ ⁡ (g (v)) l(v) {\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v) l(v)}입니다.

g가 $l(-v)=-l(v)$ 이므로 라벨링도 홀수이다: $l(-v)=-l(v)$ ( $l(-v)=-l(v)$ - v $l(-v)=-l(v)$ ) = $l(-v)=-l(v)$ - $l(-v)=-l(v)$ ( v ) $display$ l (-v) = -l(v)}. 따라서, 터커 보조정리에 의해, 반대 라벨링을 갖는 두 개의 인접한 정점 u, v {\display u,v}가 존재합니다. w.l.o.g. 레이블이 $l(u)=1,l(v)=-1$ = 1 $l(u)=1,l(v)=-1$ l $($ v $g(v)$ = - 1 {\ $displaystyle$ l(u) = 1,l(v) = -1} 이라고 가정합니다. l의 정의에 의해, 이것은 g(u) {\displaystyle g(u)}와 g(v) {\displaystyle g(v)}에서, 좌표 #1은 가장 큰 좌표입니다. $g(u)$ ( $g(u)$ ${\display g(u)}$ 에서 $g(u)$ 이 좌표는 양수이고 $g(v)$ $g(v)$ ( $g(v)$ ${\display$ g $(v)}$ 에서는 $g(v)$ 음수입니다. 삼각측량법의 구성에 의해 $g(u)$ ( $g(u)$ $g(u)$ 와 $g(v)$ $g(v)$ 사이의 거리는 최대 $\epsilon$ ϵ $\epsilon$ displaystyle \epsilon}, so in particular $g(u)_{1}-g(v)_{1} = g(u)_{1} + g(v)_{1} \leq \epsilon$ (since $g(u)_{1}$ and $g(v)_{1}$ have opposite signs) and so $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ ${\displaystyle$ $1\leq k\leq n$ g(u)_{1} \leq \epsilon }. 그러나 g(u) {\displaystyle g(u)}의 가장 큰 좌표는 좌표 #1이므로, 이는 각 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle g(u)_{k} \leq \epsilon }에 대해 g(u) k ≤ $|g(u)_{1}|\leq \epsilon$ {\displaystyle g(u)_{k} \leq \epsilon }임을 의미합니다. $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ ( $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ ϵ {\ $displaystyle$ g(u $) \leq c_$ {n $|g(u)|\leq c_{n}\epsilon$ epsilon }, $c_{n}$ 서 $cn {\displaystyle$ c_{n}}은 선택한 n ${\displaystyle$ n} 및 $일반$ ⋅ {\displaystyle \cdot}에 $따라$ 일정합니다.

위의 내용은 모든 $\epsilon >0$ ϵ > 0 ${\displaystyle \epsilon$ $\epsilon >0$ 0}에 해당합니다. $Sn$ {\ $displaystyle$ S_{n}}은 콤팩트하므로 $|g(u)|=0$ ( $S_{n}$ ) = 0 ${\displaystyle$ g(u) = 0 $|g(u)|=0$ 인 점 $|g(u)|=0$ 가 있어야 합니다.

코럴리

$\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 부분 집합이 $S^{n}$ ${\$ S $^{n}}$ 과 $\mathbb {R} ^{n}$ 동형입니다.
햄 샌드위치 정리: 임의의 콤팩트 집합 A₁, ..., $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 A에_n 대하여, 우리는 $\mathbb {R} ^{n}$ 각각을 동일한 측도의 두 부분집합으로 나누는 초평면을 항상 찾을 수 있습니다.

동등한 결과

우리는 보석을 증명하는 방법을 보여주었습니다.터커 보조정리에서 나온 울람 정리. 그 반대도 사실입니다. Borsuk에서 Tucker의 보조개를 증명할 수 있습니다.울람 정리. 따라서 이 두 정리는 동치입니다. 대수 위상 변형, 조합 변형 및 집합 피복 변형의 세 가지 동등한 변형으로 제공되는 몇 가지 고정 소수점 정리가 있습니다. 각 변형은 완전히 다른 인수를 사용하여 개별적으로 증명될 수 있지만 각 변형은 행의 다른 변형으로 축소될 수도 있습니다. 또한 맨 위 행의 각 결과는 같은 열의 아래 결과에서 추론할 수 있습니다.^[6]

대수 위상학	조합론	세트 피복
브루어 고정점 정리	Sperner's lemma	크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비치 보조정리
보르숙–울람 정리	터커 보조기	루스터니크-슈니렐만 정리

일반화

원래 정리에서 함수 f의 정의역은 단위 n구(단위 n구의 경계)입니다. 일반적으로 f 의 정의역이 원점을 포함하는 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ n ${\$ 의 열린 유계 대칭 부분집합의 경계일 때도 마찬가지입니다(여기서 대칭은 x가 부분집합에 있으면 -x도 부분집합에 있음을 의미합니다).^[7]

점을 그것의 반대방향 점에 대응시키는 함수 A를 생각하자: A $A(x)=-x.$ ( $A(x)=-x.$ ) $A(x)=-x.$ = $A(x)=-x.$ - $A(x)=-x.$ . ${\$ $displaystyle$ A( $x$ $)$ = - $x.}$ A $(x$ ) = x $f(A(x))=f(x).$ . {\displaystyle A(A(x) = x.} 원래의 정리는 f (A( $A(x)=-x.$ ) = f (x)인 점 x가 있다고 주장합니다. {\displaystyle f(A(x) = f(x). $}$ 일반적으로 이것은 $A(A(x))=x.$ ( $A(A(x))=x.$ ( $A(A(x))=x.$ $A(A(x))=x.$ $=$ $A(A(x))=x.$ 인 모든 함수 A에도 해당됩니다 $A(A(x))=x.$ ${\displaystyle$ A (A(x)) $=$ x.} 그러나 일반적으로 이것은 다른 함수 A에도 해당되지 않습니다.

참고 항목

메모들

^ Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (2023-07-30). "On the Continuum Fallacy: Is Temperature a Continuous Function?". Foundations of Physics. 53 (4): 69. doi:10.1007/s10701-023-00713-x. ISSN 1572-9516.
^ ^a ^b Prescott, Timothy (2002). Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120.
^ Joseph J. Rotman, 대수 위상학 개론 (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (전체 설명은 12장 참조)
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^ Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma", The American Mathematical Monthly, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127
^ "Borsuk fixed-point theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ Yang, Chung-Tao (1954). "On Theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo and Dyson, I". Annals of Mathematics. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.
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참고문헌

Borsuk, Karol (1933). "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" (PDF). Fundamenta Mathematicae (in German). 20: 177–190. doi:10.4064/fm-20-1-177-190. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
Lyusternik, Lazar; Shnirel'man, Lev (1930). "Topological Methods in Variational Problems". Issledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri O. M. G. U. Moscow.
Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 978-3-540-00362-5.
Steinlein, H. (1985). "Borsuk's antipodal theorem and its generalizations and applications: a survey. Méthodes topologiques en analyse non linéaire". Sém. Math. Supér. Montréal, Sém. Sci. OTAN (NATO Adv. Study Inst.). 95: 166–235.
Su, Francis Edward (Nov 1997). "Borsuk-Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction" (PDF). The American Mathematical Monthly. 104 (9): 855–859. CiteSeerX 10.1.1.142.4935. doi:10.2307/2975293. JSTOR 2975293. Archived from the original (PDF) on 2008-10-13. Retrieved 2006-04-21.

외부 링크

위상에 관심이 있는 사람은? 유튜브에서 도둑맞은 목걸이와 보르석울람
보르숙-울람 탐험대. 보르숙-울람 정리의 대화형 삽화.

[:0-1] Jha, Aditya; Campbell, Douglas; Montelle, Clemency; Wilson, Phillip L. (2023-07-30). "On the Continuum Fallacy: Is Temperature a Continuous Function?". Foundations of Physics. 53 (4): 69. doi:10.1007/s10701-023-00713-x. ISSN 1572-9516.

[prescott2002-2] Prescott, Timothy (2002). Extensions of the Borsuk–Ulam Theorem (BS). Harvey Mudd College. CiteSeerX 10.1.1.124.4120.

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[6] Nyman, Kathryn L.; Su, Francis Edward (2013), "A Borsuk–Ulam equivalent that directly implies Sperner's lemma", The American Mathematical Monthly, 120 (4): 346–354, doi:10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.120.04.346, MR 3035127

[7] "Borsuk fixed-point theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[8] Yang, Chung-Tao (1954). "On Theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-Yamabe-Yujobo and Dyson, I". Annals of Mathematics. 60 (2): 262–282. doi:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.

[9] Jens Reinhold, Faisal; Sergei Ivanov. "Generalization of Borsuk-Ulam". Math Overflow. Retrieved 18 May 2015.

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