소년 또는 소녀 역설

소년 또는 소녀 역설은 확률론에서 일련의 질문들을 둘러싸고 있는데, 이 질문들은 '두 아이 문제',^[1] '미스터 스미스의 아이들^[2]', '미세스 스미스 문제'로도 알려져 있다. 이 문제의 초기 공식은 마틴 가드너가 1959년 10월 사이언티픽 아메리칸에서 "수학적 게임" 칼럼에 이 문제를 실었던 적어도 1959년으로 거슬러 올라간다. 그는 이 문제를 '두 아이 문제'라고 이름지었고, 그 역설은 다음과 같이 표현했다.

• 존스 씨에게는 아이가 두 명 있다. 큰 아이는 소녀다. 두 아이 모두 여자아이일 확률은 얼마인가?
• 스미스 씨에게는 두 아이가 있다. 그들 중 적어도 한 명은 소년이다. 두 아이 모두 남자아이일 확률은 얼마인가?

가드너는 처음에 답을 주었다. 2분의 1과 3분의 1이 각각 출제되었으나, 이후 두 번째 문제가 모호하다는 것을 인정했다.^[1] 그 대답은 "그 중 적어도 한 명은 소년"이라는 정보를 얻은 절차에 따라 1/2이 될 수 있다. 그 모호성은 정확한 표현과 가능한 가정에 따라 마야 바르힐렐과 루마 포크,^[3] 그리고 레이몬드 S에 의해 확인되었다. 니커슨.^[4]

이 질문의 다른 변종들은 모호함의 정도가 다양하며, 퍼레이드 잡지의 어스크 마릴린,^[5] 뉴욕 타임즈의 존 티어니,^[6] 그리고 술꾼의 산책의 레오나드 믈로디노우에 의해 대중화되었다.^[7] 한 과학 연구에서는 동일한 정보가 전달되었지만, 부분적으로는 모호한 단어들이 서로 다른 점을 강조하면서, 1/2을 답한 MBA 학생들의 비율이 85%에서 39%^[2]로 변화했다는 것을 보여주었다.

그 역설은 많은 논란을 불러일으켰다.^[4] 역설은 두 문제에서 문제 설정이 비슷한가 하는 데서 비롯된다.^[2][7] 직관적인 대답은 1/2이다.^[2] 이 대답은 만약 그 질문이 독자로 하여금 두 번째 아이(즉, 소년과 소녀)^[2][8]의 성별에 대해 똑같이 가능성이 있는 두 가지 가능성이 있으며, 이러한 결과의 확률은 조건부가 아니라 절대적이라고 믿게 한다면 직관적이다.^[9]

일반적인 가정

두 개의 가능한 답변은 여러 가지 가정을 공유한다. 첫째, 가능한 모든 사건의 공간을 쉽게 열거할 수 있다고 가정하여 결과의 확장적 정의를 제공한다: {BB, BG, GB, GG}.^[10] 이 표기법은 남자아이 B와 여자아이 G에 라벨을 붙이고, 첫째 글자를 큰아이를 나타내기 위해 사용하는 네 가지 가능한 조합이 있음을 나타낸다. 둘째, 이러한 결과는 동등하게 개연성이 있다고 가정한다.^[10] 이는 p = 1/2을 갖는 베르누이 공정인 다음과 같은 모델을 의미한다.

1. 각각의 아이들은 수컷이거나 암컷이다.
2. 각각의 아이들은 여성이 될 때와 마찬가지로 남성이 될 가능성이 있다.
3. 각 아이의 성별은 다른 아이의 성별과 무관하다.

만약 그것이 동전 던지기의 관점에서 표현되었다면, 수학적 결과는 같을 것이다.

첫 번째 문제

• 존스 씨에게는 아이가 두 명 있다. 큰 아이는 소녀다. 두 아이 모두 여자아이일 확률은 얼마인가?

앞서 언급한 가정 하에서 이 문제에서는 무작위 가족을 선택한다. 이 표본 공간에는 4개의 동일한 발생 가능성이 있다.

큰아이	더 어린 아이
소녀	소녀
소녀	소년
소년	소녀
소년	소년

이러한 가능한 사건 중 오직 2개만이 질문에 지정된 기준(즉, GG, GB)을 충족한다. 새로운 샘플 공간 {GG, GB}의 두 가지 가능성 모두 동일할 가능성이 있고, 두 가지 중 한 가지인 GG만이 두 소녀를 포함하고 있기 때문에, 어린 아이도 소녀일 확률은 1/2이다.

두 번째 문제

• 스미스 씨에게는 두 아이가 있다. 그들 중 적어도 한 명은 소년이다. 두 아이 모두 남자아이일 확률은 얼마인가?

이 질문은 질문 1과 동일하지만, 큰 아이가 소년이라고 명시하는 대신, 그들 중 적어도 한 명은 소년이라고 명시되어 있다. 1959년 제기된 질문에 대한 독자들의 비판에 대해 가드너는 제공되지 않은 정보 없이는 어떤 대답도 불가능하다고 말했다. 구체적으로, "적어도 한 명은 소년"이라고 판단하기 위한 두 가지 다른 절차가 문제의 정확히 같은 표현으로 이어질 수 있다. 그러나 그들은 다른 정답으로 이어진다:

• 적어도 한 명은 남자 아이인 두 아이를 둔 모든 가족 중에서, 가족은 무작위로 선택된다. 이렇게 하면 1/3의 답이 나올 것이다.
• 아이가 둘 있는 모든 가정 중에서, 한 아이는 무작위로 선발되고, 그 아이의 성별은 소년으로 지정된다. 이렇게 하면 1/2의 답이 나올 것이다.^[3][4]

그레인스테드와 스넬은 가드너와 같은 방식으로 그 질문이 모호하다고 주장한다.^[11] 그들은 위에 언급된 문제에 대해 1/3을 답으로 산출하는 절차가 타당한지 여부를 결정하는 것을 독자에게 맡긴다. 그들이 구체적으로 검토하고 있던 문제의 공식은 다음과 같다.

• 아이가 둘 있는 가정을 생각해 보라. 아이들 중 한 명이 소년인 것을 감안하면, 두 아이 모두 소년일 확률은 얼마인가?

이 공식화에서는 가장 분명히 애매모호한 것이 존재하는데, 왜냐하면 우리가 특정 아이가 소년이라고 가정할 수 있는지, 다른 아이를 불확실하게 내버려 두는지, 아니면 그것이 '적어도 한 소년'과 같은 방식으로 해석되어야 하는지가 명확하지 않기 때문이다. 이러한 모호성은 등가하지 않은 여러 가능성을 남기고 '정보를 어떻게 입수했는가'에 대한 가정을 할 필요성을 남긴다. Bar-Hillel과 Falk는 주장한다. 여기서 서로 다른 가정은 다른 결과를 초래할 수 있다(문제 진술이 단일의 직접적인 해석을 허용할 만큼 충분히 정의되지 않았기 때문이다).이온과 대답).

예를 들어, 관찰자가 스미스씨가 그의 아이들 중 한 명과 산책하는 것을 본다고 하자. 만약 그에게 아들이 둘이라면, 그 아이는 소년임에 틀림없다. 하지만 만약 그에게 소년과 소녀가 있다면, 그 아이는 소녀였을 수도 있다. 그래서 남자아이와 함께 있는 모습을 보면 여자아이가 둘 있는 결합뿐만 아니라 아들과 딸이 있는 결합을 없애고 함께 걸을 딸을 선택하는 결합도 없어진다.

따라서, 가능한 모든 스미스 씨가 적어도 한 명의 아들을 가지고 있다는 것은 확실하지만(즉, 조건이 필요하다) 적어도 한 명의 아들을 가진 스미스 씨가 모두 의도된 것이라고는 생각할 수 없다. 즉, 문제성명에서는 아들을 갖는 것이 스미스 씨가 이런 식으로 아이를 갖는 것으로 식별될 수 있는 충분한 조건이라고 말하지 않는다.

바르힐렐과 포크는 가드너의 문제 버전에^[3] 대해 "스미스 씨는 독자와는 달리 이 진술을 할 때 아마도 두 아이의 성별을 모두 알고 있을 것" 즉, '나는 두 아이가 있고 그 중 적어도 한 명은 소년이다'라고 언급한다. 가드너가 본래의 의도대로 정답을 3분의 1로 하기 위해서는 스미스 씨가 이 사실을 사실이라면 항상 보고하고 침묵을 지키거나 적어도 딸이 하나 있다고 말한다고 가정해야 한다. 그러나 그 가정하에서 그가 침묵을 지키고 있거나 딸이 있다고 말한다면, 그가 두 딸을 가질 확률은 100%이다.

모호성 분석

만약 이 정보가 적어도 한 명의 소년이 있는지 확인하기 위해 두 아이를 살펴봄으로써 얻어진 것이라고 가정한다면, 그 조건은 필요하면서도 충분하다. 위의 샘플 공간에서 두 자녀 가족에 대해 발생할 가능성이 동일한 네 가지 사건 중 세 가지가 이 표와 같이 조건을 충족한다.

큰아이	더 어린 아이
소녀	소녀
소녀	소년
소년	소녀
소년	소년

따라서, 만약 두 아이 모두 소년을 찾는 동안 고려되었다고 가정한다면, 2번 질문에 대한 답은 1/3이다. 그러나 가족이 처음 선택되고 나서 무작위로 그 가족 중 한 아이의 성별에 대해 진실한 진술이 이루어진다면, 둘 다 고려되었든 말든, 조건부 확률을 계산하는 올바른 방법은 그 성을 가진 아이가 포함된 모든 경우를 계산하는 것은 아니다. 대신 각각의 경우에 진술이 이루어질 확률만을 고려해야 한다.^[11] 따라서 ALOB는 문장이 "하나 이상의 소년"인 이벤트를 나타내고, ALOG는 문장이 "하나 이상의 소녀"인 이벤트를 나타내는 경우, 이 표는 샘플 공간을 설명한다.

큰아이	더 어린 아이	P(이 가족)	P(ALOB가 이 패밀리를 제공함	P(이 패밀리가 부여된 ALOG)	P(ALOB와 이 가족)	P(ALOG와 이 가족)
소녀	소녀	1/4	0	1	0	1/4
소녀	소년	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
소년	소녀	1/4	1/2	1/2	1/8	1/8
소년	소년	1/4	1	0	1/4	0

그래서 그 사실이 무작위로 선택되었을 때 적어도 한 명이 소년이라면 둘 다 소년일 확률은 높다.

${\displaystyle \mathrm {\frac {P(ALOB\;and\);;BB)}{P(ALOB)}}}}} ={\frac {1}{4}{0+{{0+{\frac {1}{1}}{8}+{1}}{\frac{1}}}}}={\frac {1}{1}:{1}:{1}2}}:\,\,}$

역설은 "적어도 한 명은 소년"이라는 말이 어떻게 생성됐는지 알 수 없을 때 발생한다. 어느 쪽이든 가정된 것에 근거하여 정답일 수 있다.^[12]

그러나 "1/3" 대답은 P(ALOB BG) = P(ALOB GB) = 1을 가정하여 얻는데, 이는 P(ALOG BG) = P(ALOG BG) = P(ALOG GB) = 0, 즉 존재하더라도 다른 아이의 성별은 절대 언급하지 않는다는 것을 의미한다. 그러나 마크와 스미스의 말처럼, "이 극단적인 가정은 두 자녀 문제의 발표에는 결코 포함되지 않으며, 그것을 제시할 때 사람들이 염두에 두고 있는 것은 분명 아니다"^[12]라고 말했다.

생성 프로세스 모델링

모호성을 분석하는 또 다른 방법(질문 2)은 생성 과정을 명시적으로 만드는 것이다(모든 추첨은 독립적이다).

• 다음 프로세스는 $p{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= b ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ e ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{3}{}}$ ${\${1$}{3}}}}$로 이어진다$.$
  • c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$\{\backslash {\displaystyle }$$displaystyle c_{1}{$${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle \{B,G\}}$에서 장비로 그리십시오.
  • $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}대$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle B}$, ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle \{B,G\}}$에서 장비를$$ 그리십시오.
  • B가 없는 경우 폐기
  • 관찰 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$= B ${\displaystyle c_{1}=B\lor c_{2}=B}$
• 다음 프로세스는 $p{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle b}$ O ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ t ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\$ {$1}{$2}}:}로 $이어진다$
  • c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$$\{\backslash {\displaystyle }$$displaystyle c_{1}{$${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle \{B,G\}}$에서 장비로 그리십시오.
  • $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}대$,{\displaystyle }$ {${\displaystyle B}$, ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle \{B,G\}}$에서 장비를$$ 그리십시오.
  • $색인{\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{i}}${\displaystyle i}을$(를)$ {1, ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,2\}$부터 그리십시오$$.
  • 관찰 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c_{i}=B}$

베이시안 분석

고전적인 확률론 뒤에, 우리는 두 아이가 들어 있는 큰 항아리를 고려한다. 우리는 남자아이와 여자아이 중 어느 한 쪽일 확률을 동일하게 가정한다. 따라서 세 가지 식별 가능한 경우는 다음과 같다: 1. 둘 다 여자아이(GG) - 확률 P(GG) = 1/4, 2. 둘 다 남자아이(BB) - P(BB) = 1/4, 그리고 3. 각(G·B)의 확률 - P(G·B) = 1/2이다. 이것들은 선행 확률이다.

이제 우리는 "적어도 한 명은 소년"이라는 추가적인 가정을 덧붙인다.Bayes의 정리를 이용하여 우리는 발견한다.

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B)} =\mathrm {P(B\mid BB)\times {\frac {P(BB)}{P(B)}}} =1\times {\frac {\left({\frac {1}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)}}}={\frac{1}{3}\,}$

여기서 P(A B)는 "A 주어진 B의 확률"을 의미한다. P(B BB) = 둘 다 남자아이일 확률 = 1. P(BB) = 두 남자아이일 확률 = 이전 분포의 1/4 P(B) = 적어도 한 명이 소년일 확률로, 사례 BB와 G·B = 1/4 + 1/2 = 3/4를 포함한다.

참고로 자연적인 가정은 확률 1/2인 것처럼 보여서 1/3의 파생값이 낮은 것처럼 보이지만, P(BB)의 실제 "정상" 값은 1/4이므로 1/3은 실제로 조금 더 높다.

역설은 두 번째 가정이 다소 인위적이기 때문에 발생하며, 문제를 실제 상황에서 설명할 때 사물이 약간 끈적끈적해지기 때문이다. 적어도 한 명은 남자라는 걸 어떻게 알아? 그 문제에 대한 설명 중 하나는 우리가 창문을 들여다보고, 오직 한 아이만 보고, 그것은 소년이라고 말한다. 이것은 같은 가정처럼 들린다. 단, 이것은 분포를 "샘플링"하는 것과 같다(즉, 항아리에서 한 아이를 제거하고, 소년임을 확인한 다음 교체). "샘플은 소년이다"라는 명제를 "b"라고 부르자. 이제 다음 사항을 살펴보십시오.

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid b)} =\mathrm {P(b\mid BB)\time {\frac {P(BB)}{P(b)}}}}}} = 1\time {\frac {\1}{4}\frac {1}{2}}:}}}}}}}}}={\frac{1}{2}}\,}$

여기서의 차이는 P(b)인데, 이는 모든 가능한 경우에서 소년을 끌어낼 확률에 불과하며(즉, "적어도"가 없는 경우), 이것은 분명히 1/2이다.

베이시안 분석은 우리가 50:50 인구 추정을 완화하는 경우에 쉽게 일반화된다. 모집단에 대한 정보가 없으면 "평평한 이전"을 가정한다. 즉, P(GG) = P(BB) = P(G·B) = 1/3이다. 이 경우 "적어도" 가정은 결과 P(BB B) = 1/2을 생성하며, 표본 가정은 P(BB b) = 2/3을 생성하며, 결과는 승계 규칙에서도 도출할 수 있다.

마팅게일 분석

한 사람이 스미스 씨에게 두 명의 아들이 있고, 상당한 승산이 있다고 가정해 보자. 한 명은 1달러를 지불하고, 두 명의 아들이 있으면 그들은 4달러를 받을 것이다. 좋은 소식이 전해질수록 그들의 내기는 가치가 높아질 것이다. 어떤 증거가 그들의 투자에 대해 그들을 더 행복하게 만들까? 적어도 두 명 중 한 명은 남자 아이라는 것을 배우거나, 한 명 중 한 명은 남자 아이라는 것을 배우는 것?

후자는 덜 가능성이 높기 때문에 더 좋은 소식이다. 그래서 두 대답이 같을 수 없는 것이다.

자, 숫자로. 아이 한 명에게 내기를 해서 이기면 그들의 투자 가치는 두 배가 된다. 4달러까지 오르려면 다시 두 배로 늘려야 하기 때문에 승산은 2분의 1이다.

반면 적어도 두 자녀 중 한 명은 남자아이라는 사실을 알았다면 이 문제에 대해 돈을 낸 것처럼 투자가 늘어난다. 우리의 1달러는 현재 1달러+1달러/3달러의 가치가 있다. 4달러를 벌기 위해서는 여전히 우리의 부를 3배로 늘려야 한다. 그래서 답은 3분의 1이다.

질문의 변형

가드너에 의한 역설의 대중화에 이어 다양한 형태로 제시되고 논의되고 있다. Bar-Hillel & Falk가^[3] 제시한 첫 번째 변종은 다음과 같이 표현된다.

• 스미스씨는 두 아이의 아버지다. 우리는 그가 자랑스럽게 그의 아들로 소개한 어린 소년을 따라 길을 걸으며 그를 만난다. 스미스 씨의 다른 아이도 남자 아이일 확률이 얼마나 될까?

Bar-Hillel & Falk는 이 변형을 사용하여 기초적인 가정을 고려하는 것의 중요성을 강조한다. 직관적인 대답은 1/2이고, 가장 자연스러운 가정을 할 때, 이것이 옳다. 그러나 누군가가 "스미스 씨가 그 소년을 그의 아들로 식별하기 전에 우리는 그가 두 아들 BB의 아버지 또는 GG의 두 소녀 중 한 명 또는 BG나 GB의 출생 순서에 따라 각각 한 명씩이라는 것만 알고 있다. 다시 독립성과 장비성을 가정하면, 우리는 스미스가 두 소년의 아버지라는 확률 1/4로 시작한다. 그에게 적어도 한 명의 소년이 있다는 것을 알게 되면 GG는 제외된다. 나머지 3개 종목은 장비가 가능했기 때문에 BB의 확률 1/3을 얻는다."^[3]

자연스런 가정은 스미스씨가 무작위로 그 아이 동반자를 선택했다는 것이다. 만일 그렇다면, 조합 BB가 BG 또는 GB 중 하나를 통해 소년 보행 동반자가 될 확률을 두 배로 갖기 때문에(그리고 조합 GG는 0 확률을 가지고, 배제하고), 사건 BG와 GB의 결합은 사건 BB와 함께 갖추어질 수 있게 되고, 따라서 다른 아이도 소년일 확률은 1/2이다. 그러나 Bar-Hillel & Falk는 대안 시나리오를 제시한다. 그들은 남학생들이 항상 여학생들보다 걸어 다니는 동반자로 선택되는 문화를 상상한다. 이 경우, BB, BG, GB의 조합은 똑같이 소년 보행 동반자로 귀결되었을 가능성이 있으며, 따라서 다른 아이도 소년일 확률은 1/3이다.

1991년, 마릴린 보스 사반트는 비글을 포함한 소년 또는 소녀 역설의 변종에 대해 그녀에게 대답해 달라는 독자에게 응답했다.^[5] 1996년, 그녀는 이 질문을 다른 형태로 다시 출판했다. 1991년과 1996년 질문은 각각 다음과 같이 표현되었다.

• 가게 주인은 당신에게 보여줄 두 개의 새로운 아기 비글이 있다고 말하지만, 그녀는 그들이 수컷인지 암컷인지 짝짝인지 모른다. 네가 남자만 원한다고 말하면, 그녀는 목욕을 시켜주는 사람에게 전화를 해. "적어도 한 마리는 남자인가?" 그녀가 그에게 묻는다. "네!" 그녀가 웃으며 알려준다. 다른 한 마리가 수컷일 확률은 얼마인가?
• 여자와 남자(연관없는 사람)는 각각 두 아이를 낳았다고 한다. 우리는 여자의 자녀 중 적어도 한 명은 남자 아이고 그 남자의 큰 아이는 남자 아이라는 것을 알고 있다. 왜 여자가 두 아들을 가질 확률이 남자가 두 아들을 가질 확률과 같지 않은지 설명할 수 있는가?

두 번째 공식에 관해서 Vos Savant는 고전적인 대답을 했다. 여자가 두 아들을 가질 확률은 약 1/3인 반면 남자가 두 아들을 가질 확률은 약 1/2이다. 그녀의 분석에 의문을 제기하는 독자들의 반응에 대해 Vos Savant는 정확히 두 명의 자녀를 둔 독자들을 대상으로 조사를 실시했는데, 그 중 적어도 한 명은 소년이다. 응답자 17,946명 중 35.9%가 두 아들을 신고했다.^[10]

Vos Savant의 기사는 The American Statisticsian 2005년 기사에서 칼튼과 스탄스필드에^[10] 의해 논의되었다. 저자들은 아이가 소년이나 소녀일 확률은 평등하고 둘째 아이의 성별은 첫째와 독립적이라는 가정으로 볼 때, 문제에서 발생할 수 있는 모호성에 대해 논하지 않고 수학적인 관점에서 그녀의 대답이 옳다고 결론짓는다. 그녀의 설문에 대해 그들은 "최소한 원래의 질문에서 제시된 "견해"는 비슷하지만 다르며, 첫 번째 확률은 확실히 2의 1보다 3의 1에 가깝다는 Vos Savant의 정확한 주장을 검증한다"고 말한다.

칼튼과 스탄스필드는 계속해서 소년 또는 소녀 역설의 일반적인 가정에 대해 토론한다. 그들은 실제로 남자 아이들이 여자 아이들보다 더 가능성이 높고, 둘째 아이의 성별이 첫 번째 아이의 성별과 무관하지 않다는 것을 보여준다. 저자들은 비록 문제의 가정이 관찰에 역행하지만, 역설은 "조건부 확률의 더 흥미로운 적용 중 하나를 분명히 하기 때문에 여전히 교육학적 가치를 지니고 있다"^[10]고 결론짓는다. 물론 실제 확률 값은 중요하지 않다; 역설의 목적은 실제 출산율이 아니라 겉보기에 모순되는 논리를 보여주기 위함이다.

아이에 대한 정보

스미스 씨에게 두 명의 아이가 있을 뿐만 아니라, 그 중 한 명은 남자 아이라고 우리가 들었다고 가정해 보자. 이것이 이전의 분석을 바꾸는가? 다시 말하지만, 답은 이 정보가 어떻게 제시되었는가에 달려있다 - 어떤 종류의 선택 과정이 이 지식을 생산했는가에 달려있다.

문제의 전통에 따라, 2자녀 가정의 인구에서, 두 아이의 성별은 서로 독립되어 있고, 똑같이 가능성이 있는 소년이나 소녀, 그리고 각각의 아이의 출생일이 다른 아이와 독립되어 있다고 가정해 보자. 주어진 요일에 태어날 확률은 7분의 1이다.

베이즈의 정리로부터, 한 소년이 화요일에 태어났을 때, 두 소년의 확률은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T}={\frac {P(B_{T}\중간 BB)\time P(BB)}{P(B_{T}}}}}}}}}}$

화요일에 태어날 확률은 general = 1/7로 일반적인 해결책에 도달한 후에 결정된다고 가정한다. 분자의 두 번째 인자는 단순히 두 아들을 가질 확률인 1/4이다. 분자의 첫 번째 기간은 가족이 두 명의 남자아이를 가지고 있다는 점에서 화요일에 적어도 한 명의 남자아이를 낳을 확률이다.² For the denominator, let us decompose:${\displaystyle \mathrm {P(B_{T})=P(B_{$$T}\BB 중간)P(BB)+P(B_){$$T}\mid BG)P(BG)+P(B_{$$T}\mid GB)P(GB)+P(B_{$$T}\mid GG)P(GG$각 항은 확률 1/4로 가중된다. 초선은 전언으로 이미 알 수 있고, 마지막은 0(남자아이는 없다)이다. ${\displaystyle P({}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle P(B_{T}\mid BG)},$ $P$(B ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ G ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle$ P$(B_{T}\mid GB)}$는 ε이고, 남자아이는 한 명뿐이므로 화요일에 태어날 가능성이 거의 없다. 따라서 전체 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {P(BB\mid B_{T})} ={\frac {\left(1-(1-\varepsilon )^{2}\right)\times {\frac {1}{4}}}{0+{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\varepsilon +{\frac {1}{4}}\left(\varepsilon +\varepsilon -\varepsilon ^{2}\right)}}}={\frac{1-(1-\varecpsilon )^{2}}:{4\varepsilon -\varecpsilon ^{2}}:$

> ${\displaystyle \varepsilon >0}$의 경우 $P{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle \mathrm{B}}$B ${\displaystyle \mid }$ B ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\epsilon }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ -${\displaystyle \frac{\epsilon }{}}$ ${\$ {$P(BBB\mid B_{)$로 감소한다.$T}} ={\frac {2-\varepsilon }{4-\varepsilon }}}$

현재 ε을 1/7로 설정하면 확률은 13/27 또는 약 0.48이 된다. 실제로 ε이 0에 가까워질수록 총 확률은 1/2로 올라가는데, 이는 한 아이를 표본으로 추출할 때(예: 장남은 소년) 예상되는 답이며, 따라서 가능 아동의 풀에서 제거된다. 다시 말해, 남자 아이에 대한 세부 정보가 점점 더 많이 주어지면서(예를 들어, 1월 1일에 태어난 아이) 다른 아이가 여자 아이일 가능성이 절반으로 다가간다는 것이다.

상당히 무관한 정보가 유입된 것 같지만, 다른 아이의 성별 확률은 이전과는 확연히 달라졌다(다른 아이가 여자 아이일 확률은 2/3로, 화요일에 남자 아이가 태어났다는 사실이 알려지지 않은 시점이었다).

왜 이런지를 이해하기 위해서, 마릴린 보스 사반트의 독자들을 대상으로 한 여론조사가 그 가족의 소년들이 어느 요일에 태어났는지 물어봤다고 상상해보라. 만약 마릴린이 모든 데이터를 7개의 그룹으로 나눈다면 - 아들이 태어난 주의 각 요일에 각각 하나씩 - 2개의 그룹을 가진 7개의 가족 중 6개가 2개의 그룹(생년 1일의 그룹, 2의 생년월 1일의 그룹)으로 세어 모든 그룹에서 소년-소년 콤비의 확률을 2배로 증가시킬 것이다.국가의

그러나, 화요일에 태어난 적어도 한 명의 아들을 가진 가족이 그런 가족들 중 한 명만을 무작위로 선택함으로써 탄생했다는 것이 정말 그럴듯할까? 다음과 같은 시나리오를 상상하는 것이 훨씬 쉽다.

• 우리는 스미스씨에게 두 아이가 있다는 것을 안다. 우리는 그의 문을 두드리고 한 소년이 와서 문을 연다. 우리는 그 소년에게 그가 태어난 요일이 언제인지 물어본다.

두 아이 중 누가 문에 대답하는지가 우연히 결정된다고 가정해 보자. 그 다음 절차는 (1) 모든 두 자녀 가정 중에서 두 자녀 가정을 무작위로 고르는 것이었다 (2) 두 자녀 중 한 명을 무작위로 고르는 것 (3) 사내아이인지 알아보고 그가 태어난 날이 언제인지 물어보는 것. 다른 아이가 여자일 확률은 1/2이다. 이는 (1) 화요일에 태어난 남자 아이 한 명, 적어도 남자 아이 한 명, 두 아이를 둔 모든 가정에서 무작위로 두 자녀 가정을 선택하는 것과는 매우 다른 절차다. 그 가족이 소년과 소녀로 구성될 확률은 14/27로 약 0.52이다.

이 변종인 소년 소녀 문제는 많은 인터넷 블로그에서 논의되고 있으며 루마 포크에 의해 논문의 주제다.^[13] 이야기의 교훈은 이러한 확률은 단지 알려진 정보에 의존하는 것이 아니라 어떻게 그 정보를 얻었느냐에 달려 있다는 것이다.

심리조사

통계 분석의 위치에서 관련 질문은 종종 모호하며, 따라서 "정확한" 답은 없다. 그러나, 이것이 직관적인 확률을 도출하는 방법을 설명하는 애매모호한 것이 아니기 때문에 소년이나 소녀의 역설은 지치지 않는다. vos Savant's와 같은 설문조사는 대다수의 사람들이 가드너의 문제에 대한 이해를 채택하고 있음을 시사한다. 가드너의 문제점은 일관성이 있다면 1/3 확률 답으로 유도하지만 압도적으로 사람들은 1/2 확률 답에 직관적으로 도달한다는 것이다. 모호함에도 불구하고, 이것은 인간이 어떻게 확률을 추정하는지 이해하려는 심리학 연구자들에게 관심의 문제를 만든다.

Fox & Levav(2004)는 사람들이 조건부 확률을 어떻게 추정하는지에 대한 이론을 시험하기 위해 이 문제(Mr. Smith problem, Gardner에게 인정되었지만 Gardner의 버전과 정확히 같은 단어는 쓰지 않았다)를 사용했다.^[2] 이 연구에서 역설은 두 가지 방법으로 참가자들에게 제시되었다.

• "스미스 씨는 '나는 두 아이가 있고 그 중 적어도 한 명은 소년이다'라고 말한다. 이런 정보로 볼 때, 다른 아이가 소년일 확률은 얼마인가?"
• "스미스 씨는 '나에게는 두 아이가 있는데 둘 다 여자아이인 것은 아니다.'라고 말한다. 이런 정보로 볼 때, 두 아이 모두 사내아이일 확률은 얼마인가?"

저자들은 첫번째 공식은 독자들에게 잘못된 인상 반면에 두번째 공식은 독자들이 존재한다는 인상을 주는다 거절당한 네개의 가능한 결과,(1/3두분 모두 아이들의 가능성 있는 것 boys,에 결과다 평안한 것은 그" 다른 아이"[2]에 두가지 가능한 결과하다고 주장한다.로 세 가지 가능한 결과가 남아 있는데, 그 중 한 가지 결과만 있다면, 두 아이 모두 남자아이라는 것이다.) 연구 결과 1차 제형에 대해서는 참가자의 85%가 1/2로 답한 반면 2차 제형에 대해서는 39%만이 그렇게 응답한 것으로 나타났다. 저자들은 (몬티 홀 문제, 베르트랑의 박스 역설 등 다른 유사한 문제와 함께) 각각의 질문에 사람들이 다르게 반응하는 이유는 가능한 결과의 수를 제대로 규정하지 못하는 순진한 휴리스틱스를 이용했기 때문이라고 주장했다.^[2]

참고 항목

• 베르트랑 역설(확률)
• 넥타이 역설
• 수면미용문제
• 상트페테르부르크 역설
• 봉투 두 개 문제

참조

외부 링크

• 수학 페이지에 있는 한 명 이상의 소녀
• 곰 새끼 두 마리에 관한 연구
• 루이스 캐롤의 베개 문제
• 직관과 수학이 잘못 보일 때