칼킨 통신

Calkin correspondence

수학에서 수학자 존 윌리엄스 칼킨의 이름을 딴 칼킨 서신은 분리 가능한 무한 차원 힐버트 공간의 경계 선형 연산자와 칼킨 서열 공간(재조정 불변수 서열 공간이라고도 함)의 양면 이상 사이의 편향적 서신이다.통신사는 연산자의 단수 값 순서에 매핑함으로써 구현된다.

그것은 존 폰 노이만이 매트릭스 알헤브라의 대칭 규범에 대한 연구에서 비롯되었다.[1]연산자 공간에 대한 문제를 시퀀스 공간의 (더 해결 가능한) 문제로 축소함으로써 콤팩트 연산자의 양면 이상과 그 궤적을 연구하기 위한 근본적인 분류와 도구를 제공한다.

정의들

분리 가능한 Hilbert 공간 H에 대한 경계 선형 연산자 B(H)의 양면 이상 J는 AB와 BA가 J로부터, B(H)로부터 B(B)로부터 모든 연산자 A가 J에 속하도록 선형 하위 공간이다.

l∞ 내의 sequence space j는 임의의 정형근거 {en }n=0∞을(를) 사용하여 B(H)에 삽입할 수 있다.j 경계 연산자의 시퀀스 a에 연결

여기서 브라-켓 표기법은 개별 기준 벡터에 의해 확장된 서브스페이스에 대한 1차원 투영에 사용되었다.감소 순서에 따른 a 항목의 절대값 순서를 a의 감소 재배열이라고 한다.감소하는 재배열은 μ(n,a), n = 0, 1, 2, ...로 나타낼 수 있다.연산자 diag(a)의 단수 값과 동일하다는 점에 유의하십시오.재배치의 감소에 대한 또 다른 표기법은 a*이다.

칼킨(또는 재배열 불변성) 시퀀스 공간은 경계 시퀀스 l의∞ 선형 아공간 j로, a가 경계 시퀀스 및 μ(n,a) μ(n,b), n = 0, 1, 2, ..., 일부 b에 대해 j에 속하면 a가 j에 속한다.

통신

양면 이상 J에 연결 J에 의해 주어진 시퀀스 공간 j

sequence space j가 제공한 양면 이상 J에 연결

여기서 μ(A)와 μ(a)는 각각 연산자 A와 diag(a)의 단수 값이다.칼킨의 정리에는[2] 두 지도가 서로 반비례한다고 되어 있다.우리는 얻는다,

칼킨 통신:무한히 차원 분리 가능한 힐베르트 공간과 칼킨 시퀀스 공간의 경계 연산자의 양면 이상은 비주사적 대응 관계에 있다.

양성 연산자와 양성 시퀀스 사이의 연관성만을 아는 것으로 충분하므로 양성 연산자에서 단수값까지의 지도 μ+: J → j는+ 칼킨 서신을 구현한다.

칼킨 서신을 해석하는 또 다른 방법은, 시퀀스 공간 j는 임의의 직교 기준에 관해서 대각선인 운용자 이상 J에 있는 운용자에게 바나흐 공간과 동등하기 때문에, 양면 이상은 대각선 운용자에 의해 완전히 결정된다는 것이다.

예

H가 분리 가능한 무한 차원 힐버트 공간이라고 가정하자.

  • 경계 연산자.부적절한 양면 이상 B(H)는 l에∞ 해당한다.
  • 소형 연산자.적절하고 표준적인 닫힘 이상 K(H)는 0으로 수렴되는 시퀀스 공간인 c에0 해당한다.
  • 유한 순위 연산자.유한 순위 연산자의 가장 작은 양면 이상 F(H)는 유한 비 0 항을 갖는 시퀀스 공간인 c에00 해당한다.
  • 섀튼 p-ideals.섀튼 p-ideal Lp, p p 1은 l 시퀀스p 공간에 해당한다.특히 트레이스 클래스 연산자는1 l에 대응하고 힐버트-슈미트 연산자는 l에2 대응한다.
  • 약한p L 이상.L약자p 이상p,∞ L, p 1 1은p L약자 시퀀스 공간에 해당한다.
  • 로렌츠 ψ 이상.증가하는 오목함수 ψ에 대한 로렌츠 ψ 이상 : [0,196] → [0,196])은 로렌츠 시퀀스 공간에 해당한다.

메모들

  1. ^ J. von Neumann (1937). "Some matrix inequalities and metrization of matrix space". Tomsk. University Review. 1: 286–300.
  2. ^ J. W. Calkin (1941). "Two-sided ideals and congruences in the ring of bounded operators in Hiulbert space". Ann. Math. 2. 42 (4): 839–873. doi:10.2307/1968771. JSTOR 1968771.

참조

  • B. Simon (2005). Trace ideals and their applications. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-3581-4.