CCR 및 CAR 알헤브라스

수학 및 물리학에서 CCR 알헤브라스(정규적 정류 관계 이후)와 CAR 알헤브라스(정규적 항소통 관계 이후)는 각각 보손과 페르미온의 양자역학 연구에서 비롯된다.그들은 양자 통계 역학과^[1] 양자장 이론에서 중요한 역할을 한다.

CCR과 CAR은 *-알제브라임

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) 비정칭적 실제 대칭 이선형$({\displaystyle }$ ,,${\displaystyle \cdot }$) {\$displaystyle(\cdot,\cdot$)}(즉, 공감 벡터 공간)이 장착된 실제 벡터 공간이 되도록$$ 한다.관계를$$ $따르는{\displaystyle }$V {\$displaystyle V}$ 요소에서 생성된 단일 *-알지브라

${\displaystyle fg-gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

$V{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle V}$의 ${\displaystyle \text{g}}$ ${\displaystyle$ f, $~g}$을(를) 표준 정류 관계(CCR) 대수라고 한다$$.$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 유한 치수일 때 이 대수적 표현의 고유성은 스톤-본 노이만(Stone-von Neumann) 정리에서 논한다.

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 비동기적 실제$$ 대칭 이선형$({\displaystyle }$ilin, ${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle(\cdot,\cdot$ )이 장착되어 있는 경우$,$ V {\$displaystyle V}$의 요소에 의해 생성된 유니탈 *-알지브라(unital *-algebra)는 $관계$에 따라$$ 달라진다.

${\displaystyle fg+gf=(f,g),\,}$

${\displaystyle f^{*}=f,\,}$

$V{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle V}$에 있는 ${\displaystyle \text{g}}${\$displaystyle$ f, ~$g}$은(는) 표준 항혼 관계(CAR) 대수라고 불린다$$.

CCR의 C*-알지브라

CCR 대수에는 뚜렷하지만 밀접한 관계가 있는 의미가 있는데 CCR C*-알지브라라고 한다.Let ${\displaystyle H}$ be a real symplectic vector space with nonsingular symplectic form ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. In the theory of operator algebras, the CCR algebra over ${\displaystyle H}$ is the unital C*-algebra generated by elements ${\displaystyle \{W(f):~f\in H\}}$ subj에 접근하다.

${\displaystyle W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g),\,}$

${\displaystyle W(f)^{*}=W(-f)\,}$

이것들은 표준적 정류관계의 Weyl 형태라고 불리며, 특히 $각{\displaystyle }$ W${\displaystyle }$($){\displaystyle$ W$(f)}$가 단일체이고 W${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= $1{\displaystyle }$ ${\displaystyle W(0)=1}$임을 암시한다$.$CCR 대수학은 단순한 분리할 수 없는 대수학이며 이형성에 따라 고유하다는 것은 잘 알려져 있다.^[2]

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 힐버트 공간이고 (${\displaystyle \cdot }$, ${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$이(가) 내부 제품의 가상 부분에 의해 주어지는$$ 경우 CCR 대수학은 $H{\displaystyle }$ ${\displaysty$ H$} 위$에 있는 대칭 Fock 공간에 충실히$$ 표현된다.

${\displaystyle W(f)\left(1,g,{\frac{g^{\otimes2}}!}}},{\frac {{g^{\otimes 3}{3!}}},\ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}} f ^{2}-\langle f,g\rangle }\왼쪽(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes2}}!}}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}{3!}}},\ldots \오른쪽)\,}$

for any ${\displaystyle f,g\in H}$. The field operators ${\displaystyle B(f)}$ are defined for each ${\displaystyle f\in H}$ as the generator of the one-parameter unitary group ${\displaystyle (W(tf))_{t\in \mathbb {R} }}$ on the symmetric Fock space.이들은 독립된 운영자(self-adapture Unbound operator)로, 그러나 그들은 공식적으로 만족한다.

${\displaystyle B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\angle .\,}$

As the assignment ${\displaystyle f\mapsto B(f)}$ is real-linear, so the operators ${\displaystyle B(f)}$ define a CCR algebra over ${\displaystyle (H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ in the sense of Section 1.

C*알지브라 오브 CAR

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) 힐버트 공간이 되게$$ 하라.연산자 알헤브라의 이론에서 CAR 대수학은 {${\displaystyle b}$( f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}f}$ ${\displaystyle )}$:${\displaystyle \text{f}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H\}}$ ${\displaystyle \{b(f),b^{*}(f):$ ~$f\in$ H$\}$ 요소에 의해 생성된$$ 복잡한 *-알제브라의 고유한 C*-완성이다.

${\displaystyle b(f)b^{*}(g)+b^{*(g)b(f)=\langle f, g\angle ,\,}$

${\displaystyle b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}$

${\displaystyle \lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,}$

${\displaystyle b(f)^{*}=b^{*(f),\,}$

for any ${\displaystyle f,g\in H}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$. When ${\displaystyle H}$ is separable the CAR algebra is an AF algebra and in the special case ${\displaystyle H}$ is infinite dimensional it is often written as ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}($$\mathb {C$^[3]

$F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle F_{a}(H)}$을(를) $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 위에 있는 비대칭 Fock 공간으로 하고$$ P ${\displaystyle a_{}}$ ${\$을(를) 대칭 벡터에 대한 직교 투영으로 한다$$.

${\displaystyle P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infully }H^{\otimes n}\f_{a}(H).\,}$

CAR 대수학(${\displaystyle {CAR}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{대수학})}$은$$F a ${\displaystyle {}_{}}$ H ) {\$displaystyle$ F_{$a}(H)}$에 설정하여$$ 충실하게 표현된다.

${\displaystyle b^{*}{*(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n}=P_{a}(f\otimes g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n}\,},}$

for all ${\displaystyle f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H}$ and ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. The fact that these form a C*-algebra is due to the fact that creation and annihilation operators on antisymmetric Fock space are bona-fide bounded operators.더욱이 필드 연산자 ${\displaystyle B}$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}f}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$( f${\displaystyle }$) ${\displaystyle B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$는 만족한다$$.

${\displaystyle B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\angle ,\,}$

섹션 1과의 관계를 부여한다.

수페랄지브라 일반화

Let ${\displaystyle V}$ be a real ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-graded vector space equipped with a nonsingular antisymmetric bilinear superform ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ (i.e. ${\displaystyle (g,f)=-(-1)^{ f g }(f,g)}$ ) such that $$${\displaystyle (f}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (f,g)}$이(가) f ${\displaystyle f}$ 또는$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 짝수 요소일 경우 실제이고$$ 둘 다 홀수일 경우 가상 요소일 경우 가상이다.관계에$$ $따라{\displaystyle }$V {\$displaystyle V}$의 요소에 의해 생성된 *-알지브라

${\displaystyle fg-(-1)^{f g }gf=i(f,g)\,}$

${\displaystyle f^{*}=f, ~g^{*}=g\,}$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 두 순수 $원소{\displaystyle }$ f에${\displaystyle \text{대해}}$g {\$displaystyle f,$~g}은(는) CCR을 CAR과 통합하는 명백한 수퍼골격 일반화다$$. 모든 순수 원소가 짝수이면 CCR을 얻고, 모든 순수 원소가 홀수이면 CAR을 얻는다.

수학에서 CCR과 CAR 알헤브라의 추상적인 구조는 복잡한 숫자뿐만 아니라 어떤 분야에 걸쳐도 Weyl과 Clifford 알헤브라의 이름으로 연구되는데, 여기서 많은 유의미한 결과가 나왔다.그 중 하나는 Weyl과 Clifford Algebras의 등급화된 일반화로 인해 동일성 및 대칭 비 탈구형 이선형이라는 관점에서 표준적 정류 및 반공식 관계의 근거 없는 공식화가 가능하다는 것이다.또한, 이 등급화된 Weyl 대수학에서 이항 원소들은 공통 직교 및 무한 직교 리 알헤브라의 정류 관계에 대한 근거 없는 버전을 제공한다.^[4]

참고 항목

• 보스-아인슈타인 통계
• 페르미-디락 통계
• 끈 이론 용어집
• 하이젠베르크 군
• 보골류보프 변환
• (−1)^F

참조