채프먼-로빈스 바인딩

통계에서 채프만-로빈스 경계 또는 해머슬리-채프만-로빈스 경계는 결정론적 모수의 추정기 분산에 대한 하한선이다.이것은 Cramér-Rao 바운드의 일반화다. Cramér-Rao 바운드에 비해, 그것은 더 촘촘하고 더 넓은 범위의 문제에 적용 가능하다.그러나 보통 계산이 더 어렵다.

이 바운드는 1950년 존 해머슬리에 의해,^[1] 1951년 더글러스 채프먼과 허버트 로빈스에 의해 독자적으로 발견되었다.^[2]

성명서

θ ∈ R을ⁿ 알 수 없는 결정론적 매개변수로 하고, X ∈ R을^k 임의변수로 하여 interpreted의 측정으로 해석한다.X의 확률밀도함수가 p(x; θ)에 의해 주어진다고 가정하자.x와 θ의 모든 값에 대해 p(x; θ)가 잘 정의되어 있고 p(x; θ) > 0이라고 가정한다.

Δ(X)가 임의의 스칼라 함수 g: Rⁿ → R의 편향되지 않은 추정치라고 가정하자.

${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta }\\delta (X)\}=g(\theta ){\text{{\text{}모든 }}$

채프먼-로빈스 결합은 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\theta }(\delta (X))\geq \sup _{\Delta }{\frac {\left[g(\theta +\Delta )-g(\theta )\right]^{2}}{\operatorname {E} _{\theta }\left[{\tfrac {p(X;\theta +\Delta )}{p(X;\theta )}}-1\right]^{2}}}.}$

위의 하한에 있는 분모는 $정확히{\displaystyle }$ p (${\displaystyle \cdot ;}$ ${\displaystyle \theta ;}$$δ$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ )의$display$ 2 {\$displaystyle$ p(\$cdot;\theta$ +\$Delta )}$에 대한 ${\displaystyle p}$ ( ; ;${\displaystyle }${; δ; δ)의 $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$${\displaystystyle$ p$(\cdot ;\ta$ )이다$.$

크라메르-라오 바운드와의 관계

채프만-로빈스 바운드 내에서의 우월적 표현은 Δ → 0일 때 크래머-라오 바운드 보드의 규칙성 조건을 가정하여 크래머-라오 바운드로 수렴된다.이는 두 가지 한계가 모두 존재할 때, 차프만-로빈스 버전이 적어도 크레이머-라오 바운드만큼 항상 빡빡하다는 것을 의미하며, 많은 경우 실질적으로 빡빡하다는 것을 의미한다.

채프먼-로빈스 구속은 훨씬 더 약한 규칙성 조건에서도 유지된다.예를 들어 확률밀도함수 p(x; θ)의 차이성에 대해서는 어떠한 가정도 하지 않는다.p(x; θ)가 구별할 수 없는 경우, 피셔 정보가 정의되지 않으며, 따라서 Cramér-Rao 바운드가 존재하지 않는다.

참고 항목

• 크라메르-라오 바운드
• 추정 이론

참조

추가 읽기

• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998), Theory of Point Estimation (2nd ed.), Springer, pp. 113–114, ISBN 0-387-98502-6