체비셰프 센터

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기하학에서, 비어 있지 않은 내부를 가진$$ 경계 $세트{\displaystyle }$ Q$${\$displaystyle$ Q$}$의 체비셰프 $중심$은 $전체{\displaystyle }$ 세트 Q ${\displaystyle$ Q$\}$를 둘러싸는 최소 반지름 공의 중심 또는 (그리고 비균등하게) Q ${\displaystyle Q}$의 가장 큰 새겨진 공의 중심이다$.$^[1]

매개변수 추정 분야에서 Chebyshev 센터 접근방식은 타당성 집합 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) 고려하여$$$$ x ${\displaystyle$ Q$}$에 대한$$ 추정기 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle$ {$x}$을(를$)$ 찾으려고 시도하며$,$ $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystystylease$ 오류(예:최악).케이스(case(case.

수학적 표현

체비셰프 센터를 위한 몇 가지 대체적인 표현이 있다.설정된 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) $고려$하십시오${\displaystyle \stackrel{}{.}}$ x $^$ {\$displaystyle {\$$x{\displaystyle \stackrel{}{}}$$\}.$ x $^$ {\$displaystyle {\x}}$을(를) 계산하려면$$:

${\displaystyle \min _{\hat {x},r}\left\{r:\left\{x}-x\right\^{2}\leq r,\forall x\in Q\right\}}}}$

유클리드 표준 norm ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \{}$ ${$ {\$displaystyle \cdot \$ \}$$에 대한 문제 또는 해결 방법:

${\displaystyle \operatorname {\underset {\mathit {\x}{x}}{argmin}\max _{x\in Q}\left\ x-{\hat {x}\right\{2}.}$^[1]

이러한 특성에도 불구하고 체비셰프 센터를 찾는 것은 하드 수치 최적화 문제일 수 있다.예를 들어, 위의 두 번째 표현에서, 설정 Q가 볼록하지 않으면 내측 최대화는 비콘벡스다.

특성.

내부 제품 공간과 2차원 $공간$에서는 Q ${\displaystyle Q}$을(를) 폐쇄하고 경계하며 볼록하게 하면 체비셰프 $센터$가$$Q {\$displaystyle$ Q$}$에 있다는 뜻$.$ 즉 체비셰프 센터 검색은 $일반성$을$$잃지 않고 Q {\$displaysty Q}$ 내부에서 할 수 있다.^[2]

다른 공간에서는 Q ${\displaystyle Q}$이(가) 볼록하더라도$$ Chebyshev 중심이$$Q {\$displaystyle Q}$에 있지 않을 수 있다$.$예를 들어 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 지점의 볼록한 선체에 의해 형성된 사면체$(-$1,1,1,1)인 경우, and{\$displaystyle \ell _{\infty }$ 표준$$ 수율을^[3] $사용$하여 체비셰프 센터를 계산한다.

${\displaystyle 0=\operatorname {\underset {\mathit {\x}{x}}{argmin}\max _{x\in Q}\left\x}\x}\오른쪽\{\\\\\{\inft}^{2}.}$

릴렉스 체비셰프 센터

설정된 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$을(를) $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 타원체의$$ 교차점으로 나타낼 수 있는$$ 경우를 고려하십시오.

${\displaystyle \min _{\x}\max _{x}\left\{x}-x\rift\{2}:f_{i}(x)\leq 0,0\leq i\leq k\right\}}}}}}$

와 함께

${\displaystyle f_{i}(x)=x^{T}Q_{i}x+2g_{i}^{T}x+d_{i}\leq 0,0\leq i\leq k.\,}$

추가 행렬 변수 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$T$ 체비셰프 센터의 내적 최대화 문제를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \min _{\hat{x}\max _{(\Delta ,x)\in G}\좌측\{\hat {x}\우측\{2}-2}{\x}^{x}^{\x}^{\x}^{{\x}}}^{{}}}}}}^{T}x+\operatorname {Tr}(\Delta )\right\}}$

여기서 ${\displaystyle \mathrm{Tr}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ) ${\displaystyle \operatorname {Tr}(\cdot )}$은(는) 추적 연산자 및

${\displaystyle G=\왼쪽\{(\Delta ,x):{\rm {f}_{i}(\Delta ,x)\leq 0,0\leq i\leq k,\Delta =xx^{T}\오른쪽\}}$

${\displaystyle f_{i}(\Delta ,x)=\operatorname {T}(Q_{i}\Delta )+2g_{i}^{T}x+d_{i}.}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$$$${\displaystyle \ge }$ x t {\displaystyle $\$Delta }을(를) 요구하여$$ Δ$$demanding x x x t {\$displaystyle \Delta \geq xx^{$$T},$즉 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$∈ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$$T$$}\{+}$인 S_${+}$에서${\displaystyle {}_{}}$S$$+ {\$displaystyle$ S_${+}}$는 양의 반확정 행렬의 집합이며$$, Min max의 순서를 max min으로 변경(자세한 내용은 참조 참조)하면 최적화 문제를 다음과 같이 공식화할 수 있다.

${\displaystyle RCC=\max_{(\Delta ,x)\in {T}\왼쪽\{-\왼쪽\x\^{2}+\operatorname {Tr}(\Delta )\오른쪽\}}}$

와 함께

${\displaystyle {T}=\왼쪽\{(\Delta ,x):{\rm {{f}_{i}(\Delta ,x)\leq 0,0\leq i\leq k,\Delta \geq xx^{T}}\오른쪽\}}$

이 마지막 볼록 최적화 문제는 완화된 체비셰프 센터(RCC)로 알려져 있다.RCC에는 다음과 같은 중요한 속성이 있다.

• RCC는 정확한 체비셰프 센터의 상한선이다.
• RCC는 독특하다.
• RCC는 실현 가능하다.

구속 최소 제곱

잘 알려진 제약이 있는 최소 제곱(CLS) 문제는 체비셰프 센터의 완화된 버전임을 알 수 있다.^{[citation needed]}

원래의 CLS 문제는 다음과 같이 공식화될 수 있다.

${\displaystyle {\x}_{CLS}=\operatorname {*} {\arg \min }{x\in C}\왼쪽\y-Ax\right\ ^{2}}:$

와 함께

${\displaystyle {C}=\left\{x:f_{i}(x)=x^{T}Q_{i}x+2g_{i}^{T}x+d_{i}\leq 0,1\leq i\leq k\right\}}}}$

${\displaystyle Q_{i}\geq 0,g_{i}\in R^{m},d_{i}\in R.}$

이 문제는 다음과 같은 최적화 문제와 동일하다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \max _{{(\Delta ,{x})\in {V}\좌측\{-\좌측\{x}\우측\^{2}+\operatorname {Tr}(\Delta )}\우측\}}}}$

와 함께

${\displaystyle V=\left\{\begin{array}{c}(\Delta ,x):x\in C{\rm {}\\\\\operatorname {Tr}(A^{T}A\Delta )-2y^{T}A^{T}A^{T}A^{{{}A}A}}A^}}A^{T}x+\왼쪽\y\오른쪽\^{2}-\rho \leq 0,{\rm {{}\Delta \geq xx^{}T}}\\\end{array}\right\}.}$

이 문제가 체비셰프 센터(위에서 설명한 RCC와는 다르지만)의 이완임을 알 수 있다.

RCC vs. CLS

RCC용$$ 솔루션 세트$({\displaystyle x}$ ,${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$) ${\displaystyle (x,\Delta )}$도 CLS용 솔루션이며, 따라서 T${\displaystyle \mathrm{thus}}$ V ${\displaystyle T\in$ V$\}.$ $이것$은 CLS 추정치가 RCC의 그것보다 느슨한 이완의 해결책이라는 것을 의미한다.따라서 CLS는 실제 체비셰프 센터의 상한인 RCC의 상한이다.

모델링 제약 조건

RCC와 CLS 모두 실제 타당성 집합 $[\displaystyle Q}$의 완화에 기초하므로, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 정의된 형식은 완화된 버전에 영향을 미친다$.$이것은 물론 RCC와 CLS 추정기의 품질에 영향을 미친다.간단한 예로서 선형 상자 제약 조건을 고려하십시오.

$l\displaystyle l\leq a^{T}x\leq u}$

대신 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle (a^{T}x-l)(a^{T}x-u)\leq 0.}$

첫 번째 표현은 두 번째 표현에 대한 상한 추정기로 나타나므로 이를 사용하면 계산된 추정기의 품질이 현저히 저하될 수 있다.

이 간단한 사례는 타당성 지역의 완화를 사용할 때 제약 조건의 형성에 많은 주의를 기울여야 함을 보여준다.

선형 프로그래밍 문제

지역 Q가 미세하게 많은 하이퍼플레인의 교차점이라면 이 문제는 선형 프로그래밍 문제로 공식화될 수 있다.^[4]다음과 같이 정의된 폴리토프 Q가 주어지면 다음과 같은 선형 프로그램을 통해 해결할 수 있다.

${\displaystyle Q=\{x\in R^{n}:악스\leq b\}}$

${\displaystyle {\signified}&\max _{r, {\hat {x}&r\\>{\text{s.t.}}}&a_{i}{\hat {x}+\a_{i}\r\leq b_{i}\\\\\text{and}\\nd}&r\geq 0\end}}}}}}$

참고 항목

• 경계구
• 최소 원 문제
• 원곡선(원곡선)
• 중심(지오메트리)
• 중심

참조

• Y. C. 엘다르, A.벡, 그리고 M.Teboulle, "A Minimax Chebyshev Estimator for Bounded Error Assessment," IEEE Trans.신호 프로세스, 56(4): 1388–1397(2007)
• A. 벡과 Y. C. 엘다르 "경계 노이즈가 있는 회귀 분석에서의 정규화: 체비셰프 센터 접근," SIAM J. 매트릭스 항문.Appl. 29(2): 606–625(2007).