모둘리 계략

수학에서 모듈리 체계는 알렉산더 그로텐디크가 개발한 체계의 범주에 존재하는 모듈리 공간이다.대수 기하학의 몇몇 중요한 모듈리 문제들은 체계 이론만으로 만족스럽게 해결될 수 있는 반면, 다른 문제들은 '기하학적 객체' 개념의 일부 확장을 필요로 한다(알지브라질 공간, 마이클 아르틴의 대수적 스택).

역사

그로텐디크와 데이비드 뭄포드(기하학적 불변론 참조)의 작업은 1960년대 초 이 지역을 개방했다.모듈리 문제에 대한 더 대수적이고 추상적인 접근법은 그것들을 대표 가능한 펑터 문항으로 설정한 다음, 표현 가능한 펑터 문항을 체계로 선별하는 기준을 적용하는 것이다.이 프로그램적 접근법이 효과가 있을 때, 그 결과는 미세한 모듈리 방식이 된다.보다 기하학적인 사상의 영향 아래, 정확한 기하학적 포인트를 주는 계략을 찾기에 충분하다.이는 모듈리 문제가 세트(타원곡선의 이형성계급을 말한다)와 함께 자연적으로 오는 대수구조를 표현하는 것이라는 고전적 발상에 가깝다.

그 결과는 거친 모듈리 계략이다.그것의 정교함의 부족은 대략적으로 말하면, 그것은 미세한 모듈리 체계에 내재된 것을 개체의 가족들에게 보증하지 않는다는 것이다.뭄포드가 자신의 저서 기하학적 불변론에서 지적한 바와 같이, 훌륭한 버전을 갖고 싶어할 수도 있지만, 그러한 대답을 할 수 있는 기회를 가지고 질문을 받기 위해서는 반드시 해결해야 하는 기술적 문제(레벨 구조 및 기타 '표식')가 있다.

마쓰사카 테루히사는 현재 마쓰사카의 큰 정리라고 알려진 결과를 증명하여 거친 모둘리 계략의 존재를 위해 모둘리 문제에 필요한 조건을 확립했다.^[1]

예

Mumford는 만약 g > 1이 되면, 준투영적인 g의 매끄러운 곡선의 거친 모듈리 체계가 존재한다는 것을 증명했다.^[2]헝가리 Kollár의 최근 조사에 따르면,"수학과 이론 물리학의 많은 분야에서 주요 문제들에 관련된과 흥미로운 부유한 본질적인 기하학을 가지고 있다."[3]Braungardt는 의문 Belyi의 정리 수학적 숫자의 밭에 그 형태에 더 높은 차원의 품종까지 generalised 수 있는 제시했다.그것들은 일반적으로 곡선의 모듈리 공간의 유한한 étale 커버에 대한 혼합이라는 것을 의미한다.^[4]

안정된 벡터 번들의 개념을 사용하여, 어떤 매끄러운 복잡한 다양성의 벡터 번들에 대한 거친 모듈리 체계가 존재한다는 것을 보여주었고, 준프로젝티브라고 하는 것은: 진술은 준프로젝터성의 개념을 사용한다.^[5]수학물리학에서는 특수한 인스턴트온 묶음의 거친 모듈리 공간을, 어떤 경우에는 고전적인 원뿔 기하학상의 물체로 식별할 수 있다.^[6]

참조

• "Moduli theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

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