수렴공간

수학에서 일반화 융합이라고도 하는 융합 공간은 X의 필터 계열과 X의 요소와 관련된 특정 성질을 만족시키는 융합이라는 관계와 함께 설정된 공간이다.수렴 공간은 미터법 수렴과 균일한 수렴을 포함하여 점 집합 토폴로지에서 발견되는 수렴 개념을 일반화한다.모든 위상학적 공간은 표준적인 융합을 발생시키지만 어떤 위상학적 공간에서도 발생하지 않는 비위상적 융합으로 알려진 수렴이 있다.^[1]일반적으로 비토폴로지적인 수렴의 예로는 측정의 수렴과 거의 모든 곳에서 수렴이 포함된다.많은 위상학적 특성들은 융합 공간에 대한 일반화를 가지고 있다.

위상이 설명할 수 없는 융합 개념을 기술하는 능력 외에도, 융합 공간의 범주는 위상적 공간의 범주가 결여한 중요한 범주적 특성을 가지고 있다.위상학 공간의 범주는 유사학 공간의 지수 범주에 포함되지만 지수 범주(또는 동등하게 카르테시안 폐쇄 범주는 아님)가 아니며, 그 자체가 융합 공간의 (역시 지수) 범주의 하위 범주인 것이다.^[2]

정의 및 표기법

예행 및 표기법

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ ${\displaystyle X}$의 전원 세트를 ${\displaystyle \wp (}$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \wp(X$)로$$ 나타낸다$.$$}}$ 부분 집합 $B{\displaystyle \mathcal{}}$$display$ ( X ) $displaystyle {B}\subseteq \wp (X)}$의^[3] $위쪽$ 닫힘 또는 이소톤화는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle {\mathcal{B}^{\uparrow X}=\왼쪽\{S\subseteq X~~B\subseteq S{\text}}일부 }}B\in {\mathcal {B}\}\bigcup _{B\in {b}}{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}}$

and similarly the downward closure of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).$$}$ $B$ ${\displaystyle {\uparrow }^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$= ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ X$}={\mathcal{B}}}($resp).${\displaystyle {\mathcal{B}}^{}}$ ${\displaystyle {\downarrow }^{}}$= ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$X.}에서 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 위쪽으로 닫힌다고 한다$$$.$

$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ 및 $F$ , ${\displaystyle {\mathcal {F}$ 패밀리에 대해 다음과$$ 같이 선언하십시오.

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ if and only if for every ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ there exists some ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ such that ${\displaystyle F\subseteq C}$

or equivalently, if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ then ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$ The relation ${\displaystyle \,\leq \,}$ defines a preorder on ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ If ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},}$ which by definition means ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is said to be subordinate to ${\displaystyle$${\$$mathcal$${C}$보다 $미세$하고 C ,${\displaystyle {\mathcal$ {$C$$},},$ $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\$$mathcal$${F}}$보다 더 조밀한 관계도$$$$${\displaystyle }$후순위라고${\displaystyle }$한다$.$Two families ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ are called equivalent (with respect to subordination ${\displaystyle \,\geq \,}$) if ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}$$.}$

A filter on a set ${\displaystyle X}$ is a non-empty subset ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ that is upward closed in ${\displaystyle X,}$ closed under finite intersections, and does not have the empty set as an element (i.e. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$$$프리필터는 일부 필터에 대해 (후속과 관련하여) 동등하거나 동등하게, 상향 폐쇄가 필터인 모든 세트 제품군이다.A family ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter, also called a filter base, if and only if ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ and for any ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}},}$ there exists some ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$$$ such that ${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$ A filter subbase is any non-empty family of sets with the finite intersection property; equivalently, it is any non-empty family ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ that is contained as a subset of some filter (or prefilter), in which case the smallest (with respect to $$${\displaystyle \subseteq }$ or ${\displaystyle \leq }$) filter containing ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is called the filter (on ${\displaystyle X}$) generated by ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. The set of all filters (resp. prefilters, filter subbases, ultrafilters) on ${\displaystyle X}$$$ ${\displaystyle \mathrm{필터}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {Filters}(X)}($resp)로 표시됨.${\displaystyle \mathrm{프리필터}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname${${\displaystyle \mathrm{Prefilters}}$$} (X$${\displaystyle ),\}}$ ${\displaystyle \mathrm{FilterSubbases}}$$$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle$ $\$$operatorname${${\displaystyle \mathrm{FilterSubbases}}$$},}$$$$$${\displaystyle \},}$ {$UltraFilterfilters}.$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle$ $x\in$ X$}$ 지점에 있는$$ $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ x\in X$}$의 주 필터 또는 이산 필터는 필터${\displaystyle }${${\displaystyle x{\}}^{}}$ ${\displaystyle X^{}}$ .${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}$이다.$}$

수렴공간의 정의

$\xi {\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle X\times }$ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$(${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \wp (\$${\displaystyle \mathrm{wP}}$$)},$F ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \mathrm{\wp }}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal$ {$F}\subseteq \wp$ ($X)}$인 경우 정의하십시오$$.

${\displaystyle \lim {}{\xi }{\mathcal {F}:=\left\{x\in X~~(x,{\mathcal {F}\right)\in \xi \right\}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$인 경우 정의

${\displaystyle \lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\\왼쪽\{\mathcal{F}\subseteq \wp(X)~:\좌측(x,{\mathcal {F}\오른쪽)\in \xi \right\}$

so if ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))}$ then ${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ if and only if ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .}$ The set ${\displaystyle X}$ is$\xi$의 기본 집합 ${\displaystyle \$${\displaystyle \mathrm{xi}}$$}$이라고 하며 ${\displaystyle and}$ ${\displaystyle :=}$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle \left \xi \right :=X$로 표시된다$.$$}$^[1]

비어 있지 않은 $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 대한 선입견은^[1][2][4] 다음 속성을 가진 이진$$ 관계 ${\displaystyle \mathrm{relation}}$ $X{\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathrm{필터}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters}(X)$이다.

1. Isotone: if ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ implies ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}}$
   • 즉, $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 한계점은 모든 미세/하위 계열 $G{\displaystyle \mathcal{}.}$ ${\displaystyle F.}${\$displaystyle {\g}\mathcal {F}$의 한계점이다$$.$}$

또한 다음과 같은 속성이 있는 경우:

2. 중심: $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in$ X$}$인 경우 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle 림}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }${ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\uparrow }^{}}$↑ ${\displaystyle X^{}}$)$${\$displaystyle$ x$\in \lim {}{\xi$}\$left(\{x\}^{putarrow$ X}\$right)}$
   • 즉, ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\in X}$에 대해 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 주체$$/배출 울트라필터가 $x{\displaystyle }$. ${\displaystyle x.}$에 수렴된다는$$ 것이다.

그러면 선입견 $\xi {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\xi}$을(를) $X$에 대한 컨버전스라고^[1] 한다$$$.$ 일반화된 컨버전스 또는 컨버전스 공간(resp. 선입견 공간)은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X}$에 대한 컨버전스전스(resp. 선입견)와 함께$$ $구성$된 쌍이다.

A preconvergence ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ can be canonically extended to a relation on ${\displaystyle X\times \operatorname {Prefilters} (X),}$ also denoted by ${\displaystyle \xi ,}$ by defining^[1]

${\displaystyle \lim {}{\xi }{\mathcal {F}:=\lim {}{\xi }\왼쪽({\mathcal {F}^{\uparrow X}\오른쪽)}$

모든 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ $fil$ ( X ) .${\displaystyle {\mathcal{F}\in \operatorname${Prefilters} ($X)$에 대해$.$$}$ This extended preconvergence will be isotone on ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ meaning that if ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ implies ${\displaystyle 림}$ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ 임 ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}$ G${\displaystyle }$. ${\displaystyle \lim {}{\xi }{\\mathcal {F}\subseteq \lim {}{\xi }{\mathcal {G}}}}}$

예

위상학적 공간에 의해 유도된 수렴

Let ${\displaystyle (X,\tau )}$ be a topological space with ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$ If ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ then ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is said to converge to a point ${\displaystyle x\in X}$ in $$${\displaystyle (X,\tau ),}$ written ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ in ${\displaystyle (X,\tau ),}$ if ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ where ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ denotes the neighborhood filter of ${\di$$splaystyle x}$ in$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (X,\tau .)}$$$ The set of all ${\displaystyle x\in X}$ such that ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ in ${\displaystyle (X,\tau )}$ is denoted by ${\displaystyle \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {F}},}$ or simply $$${\displaystyle lim}$ ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \lim {\mathcal {F},}$ 및$$ 이 세트의 요소를${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$,$τ$)에서$$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal$ ${F}}$의 한계점이라고 한다$.$$$ The (canonical) convergence associated with or induced by ${\displaystyle (X,\tau )}$ is the convergence on ${\displaystyle X,}$ denoted by ${\displaystyle \xi _{\tau },}$ defined for all ${\displaystyle x\in X}$ and all ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operat$$orname {Filters} (X)}$ 기준$$:

${\displaystyle }$$x{\displaystyle \mathcal{}}$${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle 임}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{{}_{}}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {{lim}_{}}_{}}$ $\$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}\mathcal{}}$ {\$displaystyle$ x$\in \lim {}{\$${\displaystyle \mathrm{xi}}$ $_{\$$tau$$}}{\mathcal$ {$F}\$$to x}$인 경우에만$$ 해당됨$.$$}$

Equivalently, it is defined by ${\displaystyle \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}}$ for all ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 일부 위상에 의해 유도되는 (사전)융합은 위상학(사전)융합이라고 하고$$, 그렇지 않으면 비위상학(사전)융합이라고 한다.

힘

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$ 및${\displaystyle }$( ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle \sigma }$) ${\displaystyle (Z,\sigma )}$은 위상학적 공간이며$$, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle C}$(${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle );}$(${\displaystyle }$Z , ${\displaystyle )}$ )$${\$displaystystyle C:$$=C\왼쪽(X,\tau );(Z,\sigma )\오른쪽)$은 연속 지도 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \sigma }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Z,\sigma$)의 집합을 나타낸다$$.$}$ The power with respect to ${\displaystyle \tau }$ and ${\displaystyle \sigma }$ is the coarsest topology ${\displaystyle \theta }$ on ${\displaystyle C}$ that makes the natural coupling ${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle =f(x)}$ into a continuous map ${\displaystyle (X,\tau )\times (C}$${\displaystyle (X,\tau )\time \left$$$$}}$ 전원을 찾는 문제는^[2]${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}$이(가) 로컬로 압축되지 않는 한 해결책이 없다.그러나 위상 대신 수렴을 찾는다면 (지역적 압축성이 없어도) 이 문제를 해결하는 수렴이 항상 존재한다.^[2]즉 위상학 공간의 범주는 유사학(즉 동등하게)의 지수 범주에 포함되어 있지만 지수 범주가 아니다(즉, 카르테시안 폐쇄가 아니다). 그 자체가 수렴의 (역시 지수) 범주의 하위 범주인 것이다.^[2]

기타 명명된 예제

ℝ에서의 표준 수렴

진짜 라인에 있는 표준 통합 X:= R{\displaystyle X:=\mathbb{R}}X{X\displaystyle}에 있는 융합ν{\displaystyle \nu}모든 x에 X)R{\displaystylex\in X=\mathbb{R}∈ 정의된}과 모든 F∈한 필터{\displaystyle{{F\mathcal}}\in\operatorname{Filters}(X)}[1]b형이야(X)⁡y:

${\displaystyle x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}}$ if and only if ${\displaystyle {\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.$$}$

이산 수렴

설정된$$ 비어 있지 않은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$$}$에 대한 이산 선입견 ${\displaystyle {\iota }_{}}$ X$${\$displaystyle x\x$$}$ 및 $모든{\displaystyle \mathcal{}}$ F${\displaystyle \mathrm{filters}}$ 필터 ${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {$F}\$mathcal${F$}\in \operatorname {Filters}(X$^[1]$):$

${\displaystyle }$$x$${\displaystyle }$∈${\displaystyle 림}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}\mathcal{}}$ ${\displaystyle {}_{{}_{}}}$ F ${\$${\displaystyle {\}\}\{\backslash \mathrm{mathcal}}^{}}$${F}.$${\displaystyle {\mathcal$ {$F}~=\{x\}^{\uparrow$ X$}.$$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 선입견 $gence{\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$은(는)${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ . {\$displaystyle$인 경우에만 수렴된다$$.$}$^[1]

빈 수렴

The empty preconvergence ${\displaystyle \varnothing _{X}}$ on set non-empty ${\displaystyle X}$ is defined for all ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$^[1] by: ${\displaystyle \lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .}$

Although it is a preconvergence on ${\displaystyle X,}$ it is not a convergence on ${\displaystyle X.}$ The empty preconvergence on ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ is a non-topological preconvergence because for every topology ${\displaystyle \tau }$ on ${\displaystyle X,}$ the neighborhood fil$ter$는 주어진 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$에서 X ${\displaystyle x\$$in$ $X}$에 ${\displaystyle \mathrm{반드시}}$ x$$$displaystyle$ x$}$로 수렴한다$.$$}$

혼돈 수렴

The chaotic preconvergence ${\displaystyle o_{X}}$ on set non-empty ${\displaystyle X}$ is defined for all ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$^[1] by: ${\displaystyle \lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.}$$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 혼란스러운 선입견은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 경솔한 토폴로지를 부여할$$$$ 때 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 유도하는 표준적인 수렴과 동일하다$$.

특성.

A preconvergence ${\displaystyle \xi }$ on set non-empty ${\displaystyle X}$ is called Hausdorff or T₂ if ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ is a singleton set for all ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).$}[1]그것은 X{\displaystyle Xx\in}∈ 모든 x에 T1만약 lim ξ({x}↑ X)⊆{)}{\displaystyle \lim{}(){}x\ ^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}}와 그것이 T0만약 lim − 1⁡ξ())≠ lim − 1⁡ξ(y){\displaystyle \operatorname{lim}^ᆴᆵ_ᆶ())\neq \operat으로 불린다.ornam$e {lim} ^{-1}{}_{\xi }y}$ 모든 구별되는$$ $x{\displaystyle }$ ,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ .${\displaystyle x,y\in X.}$ 유한 집합에 대한 모든^[1]₁ T 선입견은 Hausdorff이다.^[1]유한 집합의 모든₁ T 수렴은 이산적이다.^[1]

위상학적 공간의 범주는 지수적이지 않지만(즉, 카르테시안 폐쇄) 수렴 공간의 하위 범주를 사용하여 지수 범주로 확장할 수 있다.^[2]

참고 항목

• 카우치 공간
• 위상학적 공간 범주의 특성
• 수렴 필터
• 근접 공간 – 서브셋 사이의 "근접성" 개념을 설명하는 구조
• 위상학적 공간 – 친밀도 개념의 수학 공간

인용구

참조