수렴 행렬

수치 선형대수에서 수렴 행렬은 행렬 지수 아래 0 행렬로 수렴하는 행렬이다.

배경

매트릭스 T의 연속적인 힘이 작아지면(즉, T의 모든 항목이 연속적인 파워로 상승할 때 0에 가까워지면 매트릭스 T는 0 매트릭스로 수렴한다. 비음속 행렬 A의 규칙적인 분할은 수렴 행렬 T를 낳는다. 행렬 A의 반정합성 분할은 반정합성 행렬 T가 된다. 일반적인 반복 방법은 T가 수렴된 경우 모든 초기 벡터에 대해 수렴되며, T가 반 수렴된 경우 특정 조건 하에서 수렴된다.

정의

우리는 n × n 행렬 T를 다음과 같은 경우 수렴 행렬이라고 부른다.

${\displaystyle \lim _{k\to \infit }(\mathbf {T} ^{k}_{ij}=0,})$

(1)

각 i = 1, 2, ..., n 및 j = 1, 2, ..., n에 대해.^[1][2][3]

예

내버려두다

${\displaystyle {\begin{aigned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{1}{4}}{\frac {1}{1}:{2}}\\[4pt]0&{\frac{1}{4}}}}}.\end{정렬}}}$

T의 연속적인 힘을 계산하여, 우리는 얻는다.

${\displaystyle{\begin{정렬}&, \mathbf{T}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac{1}{16}}&{\frac{1}{4}}\\[4pt]0&,{\frac{1}{16}}\end{pmatrix}},\quad\mathbf{T}^{3}={\begin{pmatrix}{\frac{1}{64}}&{\frac{3}{32}}\\[4pt]0&,{\frac{1}{64}}\end{pmatrix}},\quad\mathbf{T}^{4}={\begin{pmatrix}{\frac{1}{256}}&{\frac{1}{32}}\\[4pt]0&.;{\frac{1}{256}}\end{pmatrix},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{{1024}}{\frac {1}{512}\\[4pt]0&{\fract]{1}{1024}}}\end{pmatrix},\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{1}{4096}}}{\frac{3}}}\pt]0&{4096}}\end{pmatrix},\end{t}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고, 대체적으로

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {T}^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}\\[4pt]0&({\frac {1}{4})^{k}\end{pmatrix}}.\end{정렬}}}$

이후

${\displaystyle \lim_{k\to \inflt }\왼쪽 사진\frac {1}{4}\오른쪽)^{k}=0}$

그리고

${\displaystyle \lim_{k\to \inflt }{\frac {k}{2^{2k-1}=0,}$

T는 수렴 행렬이다. 참고 ρ(T)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 졸.1/4부터 T의 ρ(T)T의 스펙트럼 반경을 나타내는 Id}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/4, 있는 유일한 고유치

특성화

T를 n × n 행렬이 되게 하라. 다음 특성은 T가 수렴 행렬인 것과 같다.

1. ${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ‖ ${\displaystyle {}^{}}$k${\displaystyle 0}$= 0$,$ {\$displaystyle \lim _{k$\to $\inft }\mathbf$ {T$}\$mathbf {T$}\{k}\ =0,},$ 일부 자연적인 규범에 대해$$,
2. ${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ k ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \inft }\mathbf {T}\{k$}\ $=0,}$ 모든 자연 규범에$$ 대해$,$
3. ( )< ${\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1$
4. ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0\mathbf{},}$ ${\displaystyle \lim _{k\to \inft }\mathbf {T}^{k}\mathbf {x} =\mathb {0},},$ 모든 x에 대해$$.^[4][5][6][7]

반복적 방법

일반적인 반복 방법은 선형 방정식의 시스템을 변환하는 과정을 포함한다.

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b}}$

(2)

형식과 동등한 체계로.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c}}$

(3)

일부 매트릭스 T와 벡터 c. 초기 벡터 x를⁽⁰⁾ 선택한 후 대략적인 솔루션 벡터의 순서는 계산에 의해 생성된다.

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)=\mathbf {Tx} ^{(k)+\mathbf {c}}}$

(4)

각 kRn{\displaystyle \mathbb{R}^{n}∈ 초기 벡터 x(0) 들어}, 시퀀스{)(k)}k=0∞{\displaystyle \lbrace \mathbf{)}^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty}}(4)로 정의된 각 k에 만일 ρ(T)<>≥ 0과 c≠ 0,(3)의 고유한 방법으로;1,기 위해서는 전진 0.[8][9]≥모자, T입니다 수렴 ^[10][11]행렬

정기분할

행렬 분할은 주어진 행렬을 행렬의 합 또는 차이로 나타내는 식이다. 위의 선형 방정식 (2)의 시스템에서는 A 비송수로 매트릭스 A를 분할할 수 있으며, 즉, 차이로서 기록할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C}}$

(5)

(2)가 상기 (4)와 같이 다시 작성될 수 있도록 한다. 표현식(5)은⁻¹ B 0 0과 C 0 0, 즉⁻¹ B와 C가 음이 아닌 항목만 있는 경우에만 A를 정기적으로 분할하는 것이다. 분할(5)이 행렬 A와 A⁻¹ ≥ 0의 정규 분할인 경우, ρ(T) < 1과 T는 수렴 행렬이다. 따라서 방법(4)이 수렴된다.^[12][13]

반정합행렬

한계치인 경우 n × n 행렬 T를 반정합성 행렬이라고 부른다.

${\displaystyle \lim_{k\to \inft}\mathbf {T} ^{k}}}$

(6)

존재함.^[14] A가 단수일 수 있지만 (2)가 일치한다면, 즉, b가 A의 범위에 있는 경우, 만약$$ T가 반일 경우에만, (4)에 의해 정의된 순서는 모든 x⁽⁰⁾ ∈ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 (2)로 수렴한다. 이 경우 분열(5)을 A의 반반분열이라고 한다.^[15]

참고 항목

• 가우스-사이델법
• 자코비법
• 행렬 목록
• 닐포텐트
• 연속 과완화

메모들

참조

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop (1994), Analysis of Numerical Methods, New York: Dover, ISBN 0-486-68029-0.
• Carl D. Meyer, Jr.; R. J. Plemmons (Sep 1977). "Convergent Powers of a Matrix with Applications to Iterative Methods for Singular Linear Systems". SIAM Journal on Numerical Analysis. 14 (4): 699–705. doi:10.1137/0714047.
• Varga, Richard S. (1960). "Factorization and Normalized Iterative Methods". In Langer, Rudolph E. (ed.). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. pp. 121–142. LCCN 60-60003.
• Varga, Richard S. (1962), Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice–Hall, LCCN 62-21277.