DF-공간

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기능분석 분야에서 DF-스페이스(DF)는 국소적으로 볼록한 메트리즈블 위상 벡터 공간과 국소적으로 공유되는 특성을 갖는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간은 국소적으로 볼록한 메트리즈블 위상 벡터공간이다.그들은 위상학적 텐서 제품 이론에서 상당한 역할을 한다.^[1]

DF 스페이스는 처음에 알렉산더 그로텐디크에 의해 정의되었고 그에 의해 (그로텐디크 1954년) 하프 오류: 대상이 없음: CITREFGrotendiek1954 (도움말)에서 자세히 연구되었다.그로텐디크는 다음과 같은 메트리징 가능한 공간의 강한 이중성의 특성에 의해 이러한 공간을 소개하도록 유도되었다.If ${\displaystyle X}$ is a metrizable locally convex space and ${\displaystyle V_{1},V_{2},\ldots }$ is a sequence of convex 0-neighborhoods in ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ such that ${\displaystyle V:=\cap _{i}V_{i}}$ absorbs every strongly bounded set, then $$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$은(는) $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}}}}}에 있는 0-이웃이다($$여기서$$ $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ $X_$${b}^{\primeprim }).$ 강한 이중 토폴로 $부여$된$$X ${\data$.^[2]

정의

국부적으로 볼록한 위상 벡터 공간(TV) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 DF-공간이며, 다음과 같은 경우^[1] (DF)-공간이기도 하다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 계산 가능한 준봉제 공간($즉{\displaystyle {}^{}}$, X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$의 등가 부분 집합의 모든 강력 경계 카운트 가능한 결합은$$ 등가성 공간이며,
2. ${\displaystyle }$$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ $X}$은(는) 경계된 기본 시퀀스($,$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 1, B${\displaystyle {}_{}}$ , …${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$ $B_{1},B_{2},\$ldots $}$의 경계된 하위 집합이 일부 Bi ${\${i$}$에 포함되도록$$ 카운트$$).$$^[3]

특성.

• Let ${\displaystyle X}$ be a DF-space and let ${\displaystyle V}$ be a convex balanced subset of ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle V}$ is a neighborhood of the origin if and only if for every convex, balanced, bounded subset ${\displaystyle B\subseteq X,}$ ${\displaystyle B\cap V}$$B{\displaystyle .}$ ${\displaystyle B.}$의 원점 부근이다. 따라서$$^[1], DF-공간에서 국부적으로 볼록한 공간으로 선형 지도가 제한되는 경우, 도메인의 각 경계 부분 집합에 대한 제한이 지속된다.^[1]
• DF 공간의 강한 이중 공간은 프레셰트 공간이다.^[4]
• 모든 무한차원 몬텔 DF 공간은 순차적 공간이지만 프레셰트-우르손 공간은 아니다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) DF 공간 또는 LM 공간이라고 가정하십시오.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 순차적 공간인 경우 이 공간은 미터링 가능하거나 몽텔 공간 DF 공간이다.
• 모든 준완전한 DF 공간은 완성된다.^[5]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완전한 핵 DF 공간이라면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 몽텔 공간이다.^[6]

충분한 조건

프레셰트 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_$${b}^{\prime }}$의 강력한 이중 공간 ${\displaystyle X_{}^{}}$는 DF 공간이다$$.^[7]

• 메트리저블 국부 볼록한 공간의 강한 이중은^[8] DF 공간이지만 대화 내용은^[8] 일반적으로 사실이 아니다(반복적인 것은 모든 DF 공간은 일부 메트리저블 국부 볼록한 공간의 강한 이중 공간이라는 것이다).이로부터 다음과 같다.
  • 모든 표준 공간은 DF 공간이다.^[9]
  • 모든 바나흐 공간은 DF 공간이다.^[1]
  • 경계 집합의 기본 순서를 가진 모든 비정상적인 공간은 DF-공간이다.
• DF 공간의 모든 하우스도르프 지수는 DF 공간이다.^[10]
• DF 공간의 완성은 DF 공간이다.^[10]
• DF-공간 시퀀스의 국부적으로 볼록한 합은 DF-공간이다.^[10]
• DF-스페이스의 순서에 대한 귀납적 한계는 DF-스페이스다.^[10]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) DF-spaces라고 가정합시다.그리고 이 공간의 완성뿐만 아니라 투영 텐서 제품도 DF-공간이다.^[6]

하지만

• 비독점적 DF-공간(즉, 모든 인자가 0이 아닌 치수를 가지고 있음)의 무한 생산물은 DF-공간이 아니다.^[10]
• DF 공간의 폐쇄 벡터 하위공간이 반드시 DF-공간은 아니다.^[10]
• Metrizable 로컬 볼록한 TVS의 강한 듀얼에 이형화되지 않은 완전한 DF-스페이스가 존재한다.^[10]

예

Metrizable 국소 볼록한 공간의 강한 이중성을 가진 TVS-이형성이 아닌 완전한 DF-스페이스가 존재한다.^[10]DF 스페이스가 아닌 폐쇄 벡터 서브스페이스가 있는 DF 스페이스가 존재한다.^[11]

참고 항목

• 배럴드 스페이스
• 반범위가 있는 공간
• F-공간 – 완전한 변환 변이성 메트릭을 갖는 위상 벡터 공간
• LB-공간
• LF-공간
• 핵 공간 – 힐버트 공간과 다른 유한 치수 유클리드 공간의 일반화
• 투영 텐서 제품

인용구

참고 문헌 목록

• Grothendieck, Alexander (1954). "Sur les espaces (F) et (DF)". Summa Brasil. Math. (in French). 3: 57–123. MR 0075542.
• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [Topological Tensor Products and Nuclear Spaces]. Memoirs of the American Mathematical Society Series (in French). Providence: American Mathematical Society. 16. ISBN 978-0-8218-1216-7. MR 0075539. OCLC 1315788.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Pietsch, Albrecht (1979). Nuclear Locally Convex Spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 66 (Second ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-05644-9. OCLC 539541.
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Wong, Yau-Chuen (1979). Schwartz Spaces, Nuclear Spaces, and Tensor Products. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 726. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09513-2. OCLC 5126158.

외부 링크

• Ncatlab의 DF-공간