딜린-맘포드 스택

대수 기하학에서 Deligne-Mumford 스택은 다음과 같은 스택 F이다.

• (i) 대각선 형태론 $F{\displaystyle }$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \times }$ F ${\displaystyle F\to F\time F}$은(는) 표현 가능하고 준 컴팩트하며 분리된다.
• (ii) 체계 U와 étale의 굴욕적 $지도{\displaystyle }$U → ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U\to$ F$}($아틀라스라 함)가 있다.

피에르 들랭과 데이비드 뭄포드는 1969년 고정 산술 속 안정된 곡선의 모듈리 공간이 적절한 부드러운 델랭-뭄포드 스택임을 증명하면서 이 개념을 도입했다.

「에탈」이 「매끈매끈」으로 약해지면, 그러한 스택을 대수적 스택(Michael Artin의 뒤에 Artin 스택이라고도 한다)이라고 한다.대수적 공간은 Deligne-Mumford이다.

Deligne-Mumford 스택 F에 대한 중요한 사실은 B가 준 컴팩트인$$$F{\displaystyle }$ $){\displaystyle F (B)}$의 X는 단지 미세하게 많은 자동화만을 가지고 있다는 것이다.Deligne-Mumford 스택은 그룹노이드에 의한 프레젠테이션을 허용한다. 그룹노이드 구성을 참조하십시오.

예

아핀 스택

Deligne-Mumford 스택은 일반적으로 스태빌라이저가 유한 그룹인 일부 품종의 스택 지수를 취함으로써 구성된다.예를 들어 C ${\displaystyle n_{}}$ =${\displaystyle {}_{}⟨}$ ${\displaystyle a{a}^{}}$ a n${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle C_{n}=\langle a^{n}=1\$angle a^{n$$}=1\$rangele}}}$이(가$)$ 부여한$$ $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {$C} ^{$2}}:

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mapsto }$ (${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$) $\\displaystyle a\cdot \colon (x,y)\mapsto (\zeta _{n}x,\zeta _{n}y$

그러면 스택 지수$[{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle C{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle [\mathb {C} ^{2}/C_{n}]}$는 원점에 비삼각 안정기가 있는 아핀 매끄러운 딜린-맘포드 스택이다$$.이것을${\displaystyle }$(${\displaystyle Sch}$/ C${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ 위에 있는 groupoids에서 fibrated한 범주로 생각하려면 $scheme$ S → C → C${\$에 의해 범주가 주어진다.

${\displaystyle {\text}{Spec}(\mathb {C}[s^{n}-1))\time {\text{Spec}(\mathb {C}[x,y])(S)\mathb {c}[x,y]))\rightarrow {\text}(S)}).}$

만약 $우리$가 A ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \text{Sch}/\text{Spec}}$ ${\displaystyle (Z\mathbb{}}$ [${\displaystyle {\zeta n}_{}}$ $){\displaystyle \mathb$ {$A} ^{2}/{\text{Sch}/{\text{Spec}}(\mathb${Z$}[\zeta _{$n$\}])\}$에 대한 그룹 액션을 고려한다면 조금 더 일반적일 수 있다는 점에 유의하십시오.

가중 투영 선

비중요 예제는 가중 투영 공간/변수에 대한 스택 인수를 취할 때 제시된다.For example, the space ${\displaystyle \mathbb {P} (2,3)}$ is constructed by the stack quotient ${\displaystyle [\mathbb {C} ^{2}-\{0\}/\mathbb {C} ^{*}]}$ where the ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$-action is given by

$\displaystyle \cdot(x,y)=(\data ^{2}x,\data ^{3}y).}$

이 지수는 유한 집단이 아니기 때문에 안정제 및 각각의 스태빌라이저 그룹이 있는 지점을 찾아야 한다는 점에 유의하십시오.Then ${\displaystyle (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y)}$ if and only if ${\displaystyle x=0}$ or ${\displaystyle y=0}$ and ${\displaystyle \lambda =\zeta _{2}}$ or ${\displaystyle \lambda =\zeta _{3}}$, respectively, showing that the only stab일라이저는 유한하므로 스택은 Deligne-Mumford이다.

스택 곡선

비예시

Deligne-Mumford 스택의 한 가지 간단한 예는${\displaystyle }$[${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$/ ${\displaystyle C{\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle [pt/\mathb {C} ^{*}}]$이다. 이 스택은 무한 안정화 기능이 있기 때문이다$$.이 양식의 스택은 Artin 스택의 예다.

참조

• Deligne, Pierre; Mumford, David (1969), "The irreducibility of the space of curves of given genus", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 36 (1): 75–109, CiteSeerX 10.1.1.589.288, doi:10.1007/BF02684599, MR 0262240