방정식의 차동-알지브라식 계통

미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
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v t

수학에서 방정식(DAEs)의 미분-알골계(differential-algebraic system)는 미분 방정식과 대수 방정식을 포함하거나 그러한 시스템과 동등한 방정식의 체계다. 그러한 시스템은 하나의 독립 변수 t에서 벡터 값 함수 x에 대한 미분 방정식의 일반적인 형태로서 발생한다.

${\dot {x}(t),\,x(t),\,t)=0}$

where ${\displaystyle x:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ is a vector of dependent variables ${\displaystyle x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))}$ and the system has as many equations, ${\displaystyle F=(F_{1}$$,\dots,F_{n}:\mathb {R} ^{2n+1}\to \mathb {R} ^{n$ 이들은 함수 x의 모든 성분의 파생상품에 대해 DAE가 완전히 해결 가능한 것은 아니라는 점에서(즉, 일부 방정식은 대수학), 기술적으로 암묵적 ODE 시스템[명시적으로 나타낼 수 있는]과 DAE 시스템 사이의 구분이 일반 미분 방정식(ODE)과 구별된다.코비언 매트릭스 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{F(u}{}}$, ${\displaystyle \frac{v}{}}$, t${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{u}{}}$ ${\$는 DAE 시스템의 단일 매트릭스다.^[1] 이러한 ODE와 DAE의 구분은 DAE의 특성이 다르고 일반적으로 해결하기 더 어렵기 때문에 만들어진다.^[2]

실용적으로, DAE와 ODE의 구별은 종종 DAE 시스템의 해법이 입력 신호의 파생상품에 의존하며, ODE의 경우처럼 신호 자체에만 의존하지 않는다.^[3] 이 문제는 Schmitt 트리거와 ^[4]같이 이력(hysteresis)이 있는 시스템에서 흔히 발생한다.^[5]

x 대신 종속변수의 벡터$$$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (x,y)}$을(를) 고려하고 DAE가 형식을 갖도록 시스템을 다시 작성할 수 있는 경우 이 차이는 더욱 뚜렷하게 나타난다.

${\dot {x}(t){\dot{x}(t)&=f(x)(t),y(t),\0&=g(x(t),y(t),y(t),t)\\0&=g(t),y(t),t.\end{정렬}}}$

where ${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ and ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}$$.}$

이 형태의 DAE 시스템을 반추출이라고 한다.^[1] 방정식의 후반 g의 모든 용액은 방정식의 전반 f를 통해 x에 대한 고유한 방향을 정의하지만 y에 대한 방향은 임의적이다. 그러나 모든 점(x,y,t)이 g의 해결책은 아니다. 방정식의 x와 전반 f에 있는 변수들은 속성 차이를 얻는다. 방정식의 y와 후반 g의 성분을 대수 변수 또는 계통의 방정식이라고 한다. [대수학이라는 용어는 파생상품이 없다는 의미일 뿐 (추상) 대수학과는 관련이 없다.]

DAE의 해결책은 두 부분으로 구성된다. 첫째, 일관된 초기값을 찾는 것과 둘째로 궤적을 계산하는 것이다. 일관된 초기값을 찾기 위해서는 종종 DAE의 일부 구성요소 기능의 파생상품을 고려할 필요가 있다. 이 공정에 필요한 파생상품의 가장 높은 순서를 분화지수라고 한다. 지수와 일관된 초기값의 계산에서 도출된 방정식은 궤적 계산에도 사용될 수 있다. 반불확실형 DAE 시스템은 차별화 지수를 1로 줄임으로써 암묵적 DAE로 전환될 수 있으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.^[6]

기타 형태의 DAE

DAE와 ODE의 구별은 일부 종속변수가 파생상품 없이 발생한다면 명백해진다. 종속변수의 벡터는 쌍$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle(x,y)}$으로 작성될 수 있으며$$, DAE의 미분방정식 시스템이 양식에 나타난다.

${\displaystyle F\왼쪽({\dot {x},x,y,t\오른쪽)=0}$

어디에

• ${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x$ R n ${\$의 벡터$$는 파생상품이 존재하는 종속 변수(차이변수)이다.
• ${\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ y$},$ $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ m ${\$의 벡터$$는 파생상품이 없는 종속 변수(알지브라질 변수)이다.
• ${\displaystyle t}$ $[\displaystyle t$ 스칼라(일반적으로 시간)는 독립 변수다.
• ${\displaystyle }$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) ${\displaystyle n}$${\displaystyle }$+ m {\$displaystyle$ n$+m}$ 함수의$$ 벡터로서 이러한$$ $n{\displaystyle }$ +${\displaystyle }$m +${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$변수와$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 파생상품의$$ 하위 집합을 포함한다.

전체적으로 DAEs 집합은 함수다.

${\displaystyle F:\mathb {R} ^{{(2n+m+1)}\\to \mathb {R} ^{(n+m)}.}$

초기 조건은 형태 방정식 시스템의 해결책이어야 한다.

${\daptyle F\왼쪽({\dot {x}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

예

데카르트 좌표(x,y)에서 중심인 길이 L의 진자의 거동은 오일러-라그랑주 방정식으로 설명된다.

${\dottyle{\capty}{\dot {x}&=u,&\dot {y}&=v,\\\dot {u}=\pot {v}=\v}=\dot {v}=\potda y-g,\x^{2}+y^{2}{2}}}&=L^{2},\end{aigned}}}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) Lagrange 승수다. 운동 변수 u와 v는 에너지 보존 법칙에 의해 구속되어야 하며 그 방향은 원을 따라 가리켜야 한다. 그 두 가지 조건 모두 그 방정식에 명시되어 있지 않다. 마지막 방정식의 분화는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aigned}&#{\x}\,x+{x}\x}\x+0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\ended{aigned}}}}}$

동작 방향을 원의 접선으로 제한한다. 이 방정식의 다음 파생상품은 다음을 함축한다.

${\displaystyle{\begin{u}&#{\dot{u}\,x+{v}\,y+u\,{\dot{x}+v\,{\dot{y}=0,\\\\Rightarrow &&\lambda(x^{2}+y^{2}-}-y^{2}+v^{2}+v^{})^{{}^{{}^{2}}}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}}}&=0,\end{aigned}}$

and the derivative of that last identity simplifies to ${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$ which implicitly implies the conservation of energy since after integration the constant ${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tf$$rac{1}{1}{$2}}$L^{2}\lambda ={\frac {1}{1$}{2$}}(u^{2}+v^{2}}+gy})$은 운동 에너지와$$ 잠재 에너지의 합이다.

모든 종속 변수에 대한 고유한 파생 변수 값을 얻기 위해 마지막 방정식은 세 배 차이를 보였다. 이는 제한된 기계적 시스템에 일반적인 3의 차별화 지수를 제공한다.

If initial values ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$ and a sign for y are given, the other variables are determined via ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$, and if ${\displaystyle y\neq 0}$ then ${\displaystyle v=-ux/y}$ and ${\displaystyle \lambda =(gy-u^2}$${\displaystyle {}^{}-}$ v ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\$ 다음 지점까지 진행하기 위해서는 x와 u의 파생상품, 즉, 해결할 시스템이 지금이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{정렬}}}$

이것은 지수 1의 반명확한 DAE이다. $({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle (y_{0},v_{0}})$ 및$$ x에 대한 기호로부터 다른 유사한 방정식을 구할 수 있다.

또한 DAE는 비선형 장치를 가진 회로의 모델링에서도 자연적으로 발생한다. DAE를 이용한 변형된 노달 분석은 예를 들어 유비쿼터스인 SPICE 계열의 숫자 회로 시뮬레이터에서 사용된다.^[7] 마찬가지로 프라운호퍼의 Analog Insydes Mathematica 패키지는 순 리스트에서 DAE를 도출한 다음, 어떤 경우에는 방정식을 상징적으로 단순화하거나 해결하는데 사용될 수 있다.^[8][9] (회로의) DAE 지수는 긍정적 피드백이 있는 캐패시터 작동 증폭기를 통해 계단식/커플링으로 임의적으로 높게 만들 수 있다는 점에 유의할 필요가 있다.^[4]

지수 1의 반투명 DAE

형식의 DAE

${\displaystyle {\dot{x}&=f(x,y,t),\0&=g(x,y,t)\end{정렬}}}$

반자동이라고 불린다. 인덱스-1 속성은 g가 y에 대해 해결 가능하다고 요구한다. 즉, 암묵적 ODE 시스템 t에 대한 대수 방정식의 분화로 인한 결과의 분화 지수는 1이다.

${\displaystyle {\dot {x}&=f(x,y,t)\\0&=\nf_{x}g(x,y,t){x}+\nf_{y}g(x,y,t){t}g(x,y,t), _{t}g(x,t), end{lig}}}}$

${\displaystyle det(x}$${\displaystyle \stackrel{}{}\dot{},}$ y ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$)인$$ 경우 (${\displaystyle x\stackrel{}{}}$${\displaystyle \dot{},{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle y\dot{}}$ ) ${\dot{x},\,{\$${\displaystyle \mathrm{dot}}$${y}}}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 해결 가능.${\style \det$ \det \det \det \det $\det \\det$ \{$y}g(x,y, t)\nec)\neq$ 0$.$

충분히 매끄러운 모든 DAE는 거의 모든 곳에서 이 반탐색 지수-1 형태로 축소할 수 있다.

DAE와 응용분야의 수치적 처리

DAE 해결의 두 가지 주요 문제점은 지수 감소와 일관된 초기 조건이다. 대부분의 수치해결기는 형태의 일반적인 미분방정식과 대수 방정식을 필요로 한다.

${\displaystyle {\signified}{\frac {dx}{dt}&=f\왼쪽(x,y,t\오른쪽),\0&=g\왼쪽(x,y,t\오른쪽)\end{정렬}}}$

순수 ODE 해결사가 임의의 DAE 시스템을 솔루션을 위한 ODE로 전환하는 것은 비경쟁적인 작업이다. 활용할 수 있는 기법으로는 팬텔리드 알고리즘과 더미 파생상품 지수 감소 방법이 있다. 또는 일관성이 없는 초기 조건의 높은 지수 DAE의 직접 해결도 가능하다. 이 솔루션 접근방식은 유한 요소에 대한 직교적 정렬 또는 대수적 표현으로 직접 전사를 통해 파생적 요소를 변환하는 것을 포함한다. 이를 통해 어떤 지수의 DAE도 개방형 방정식 형태로 재배열하지 않고 해결할 수 있다.

${\displaystyle {\y,t\right}\dx}{dx}{dt},x,y,t\weight),\0&=g\좌(x,y,t\right)\end{정렬}}}$

모델이 대수 방정식 형태로 변환되면 대규모 비선형 프로그래밍 해결기로 해결할 수 있다(APMonitor 참조).

트랙터블

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다. (2014년 12월)

분화지수, 섭동지수, 트랙터성 지수, 기하 지수, 크로네커 지수 등 수치적 방법에 관한 DAEs Trustability의 여러 척도가 개발되었다.^[10][11]

DAE 구조해석

$dae{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ - method를$$ 사용하여 DAE를 분석한다. DAE에 대해 시그니처 매트릭스 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$= (${\displaystyle {\sigma }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j}})$를 구성하는데$,$ 여기서 각 행은 각 방정식 f ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i$$}}}}$에 해당하고$$ 각 열은 각 변수 ${\displaystyle x_{}}${\$displaystysty$x {\j$}$에 해당된다$.$ The entry in position ${\displaystyle (i,j)}$ is ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$, which denotes the highest order of derivative to which ${\displaystyle x_{j}}$ occurs in ${\displaystyle f_{i}}$, or ${\displaystyle -\infty }$ if ${\displaystyle x_{j}}$ does not occur in ${\displaystyle f_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$

위의 진자 DAE의 경우$,{\displaystyle }$ 변수는 (${\displaystyle x{}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2, x ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle }$x${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v}$,${\displaystyle \lambda }$ )${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}}=(x,y,u,v,\lambda$ )} 입니다$.$ 해당 시그니처 매트릭스:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

참고 항목

• 대수적 미분방정식, 비슷한 이름에도 불구하고 다른 개념
• 지연 미분 방정식
• 부분미분 대수 방정식
• 모델리카 언어

참조

추가 읽기

외부 링크

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations