확산 몬테카를로

확산 몬테카를로(DMC) 또는 확산 양자 몬테카를로(Monte Carlo^[1])는 그린의 함수를 이용해 슈뢰딩거 방정식을 푸는 양자 몬테카를로 방식이다.DMC는 잠재적으로 숫자로 정확하며, 이는 양자 시스템에 대해 주어진 오차 내에서 정확한 지상 에너지를 찾을 수 있다는 것을 의미한다.실제로 계산을 시도할 때 보손의 경우 알고리즘은 시스템 크기에 따라 다항식으로 스케일링되지만 페르미온의 경우 DMC는 시스템 크기에 따라 기하급수적으로 스케일링된다.이것은 페르미온에 대한 정확한 대규모 DMC 시뮬레이션을 불가능하게 만들지만, 고정 노드 근사치로 알려진 영리한 근사치를 채택한 DMC는 여전히 매우 정확한 결과를 산출할 수 있다.^[2]

프로젝터 방식

알고리즘의 동기를 부여하기 위해, 슈뢰딩거 방정식을 한 차원의 잠재적 입자에 대해 살펴보자.

${\displaystyle i{\frac {\partial t}{\partial t}{{\partial t}=-{\prac {1}{2}}: {\partial ^{2}\psi(x,t)}{\partial x^{2}}+V(x,t)\psi(x,t)}$

표기법은 연산자 방정식의 관점에서 작성하면 약간 응축할 수 있다.

${\displaystyle H}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{2}{}\frac{{\mathrm{}}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 + ${\displaystyle V\frac{{}^{}}{}}$( x$$) $displaystyle H=-{\$frac {1}{$1}:{2}}:{\frac$ {\$partial$ ^{2$}}:{\partial x^{2}}}+V(x$ .

그럼 이제 우리가 할 수 있다.

${\displaystyle i{\frac {\partial \Psi(x,t)}{\partial t}{\partial t}=H\Psi(x,t),}$

$여기$서 H$${\$displaystyle H}$은(는) 단순한 숫자나 함수가 아니라 연산자임을 명심해야 한다.고유함수라고 하는 특수함수가 있는데, $여기$서 H ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= E ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle H\Psi (x)=E\Psi$ (x$)\},$ $여기$서 E ${\displaystyle E}$은 숫자다.이러한 기능은 파형 기능에 대한 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 연산자의$$ 동작을 어디에서 평가하든 항상 동일한 숫자 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$을(를) 얻기 때문에 특별하다$.$이러한 기능을 정지 상태라고 하는데, 어느 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$에서 시간 파생은 항상 같기$$ 때문에, 파동 함수의 진폭은 시간에 따라 결코 변하지 않기 때문이다.파동 함수의 전체 위상은 측정할 수 없으므로, 시스템은 시간에 따라 변경되지 않는다.

우리는 보통 가장 낮은 에너지 고유값인 접지 상태를 가진 파동 기능에 관심이 있다.우리는 슈뢰딩거 방정식의 약간 다른 버전을 쓰려고 하는데, 에너지 고유값이 같을 것이다. 하지만, 진동하는 대신 수렴이 될 것이다.여기 있다:

${\displaystyle }$-${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}((x}{}}$, ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ t${\displaystyle \frac{}{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle }$E 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \mathrm{\psi }(x}$ ,${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) {(x ) ${\displaystyle -{\frac {\partial \psi(x,t)}{\partial$ t$}}=(H-E_{0})\psi(x,t$

시간 파생 모델에서 상상의 숫자를 제거하고 지상 에너지인 E ${\$의 일정한 오프셋으로 추가했다.우리는 실제로 지상 에너지를 알지 못하지만, 나중에 소개할 에너지를 스스로 일관성 있게 결정할 수 있는 방법이 있을 것이다.우리의 변형 방정식(일부 사람들은 이것을 상상 시간 슈뢰딩거 방정식이라고 부른다)은 몇 가지 좋은 성질을 가지고 있다.먼저 주목해야 할 것은 만약 우리가 지상 상태파 기능을 추측하게 되면 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle H\Phi _{0}(x)=$$E_{0}\Phi _{0}(x)}$ 시간$$ 파생상품은 0이다.${\displaystyle \mathrm{}}$ 접지 상태는 아니지만 직교하지 않는 다른 파형 함수( ( ${\displaystyle \Psi }$ )$$로 시작한다고 가정합시다.그러면 우리는 그것을 고유특성의 선형 합으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Psi =c_{0}\Phi _{0}+\sum _{i=1}^{\infit }c_{i}\피 _{i}}$

이것은 선형 미분 방정식이기 때문에 각 부분의 작용을 따로 살펴볼 수 있다.우리는 이미 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 정지해 있다고$$ 결정했다.$\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}.$$${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$이 가장 낮은 에너지 고유함수이므로$$ ${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 연관 고유값은 E > > ${\$$1$} 특성을 만족한다고$$ 가정하자.$E_{0}}$.따라서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 시간 파생상품은 음이$$ 되며, 결국 0으로 되어 우리는 지상 상태만 남게 된다.또한 이러한 관찰을 $통해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle E_{0}}$을(를) 확인할 수 있다$.$우리는 시간을 통해 전파될 때 파동 기능의 진폭을 주시한다.이 값이 증가하면 오프셋 에너지의 추정치를 줄이십시오.진폭이 감소하면 오프셋 에너지의 추정치를 높이십시오.

확률적 구현

이제 우리는 그것을 시간 내에 전진적으로 ${\displaystyle {전파}_{}}$하고 E 0${\$0}}을 적절히$$ 조절하면서 주어진 해밀턴의 지반 상태를 찾아내는 방정식을 갖게 되었다.그러나 이것은 여전히 고전적인 역학보다 더 어려운 문제인데, 왜냐하면 입자의 단일 위치를 전파하는 대신에, 우리는 전체 기능을 전파해야 하기 때문이다.고전역학에서는 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle \tau }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle \mathrm{}v}$v ( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ 0.5 F${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle x(t+\tau )=x(t)+\tau v(t)+0.5$를 설정하여 입자의 움직임을 시뮬레이션할 수 있었다.$F(t)\tau ^{2}},$${\displaystyle \tau }}$의 시간 범위에 걸쳐 힘이 일정하다고 가정하면$,$ 그 대신 슈뢰딩거 방정식을 상상하는 시간 동안, 우리는 그린의 함수라는 특수 함수와 통합된 콘볼루션을 사용하여 정시에 전방으로 전파한다.So we get ${\displaystyle \Psi (x,t+\tau )=\int G(x,x',\tau )\Psi (x',t)dx'}$. Similarly to classical mechanics, we can only propagate for small slices of time; otherwise the Green's function is inaccurate.입자의 수가 증가함에 따라 모든 입자의 좌표에 걸쳐 통합해야 하기 때문에 적분체의 차원성도 증가한다.우리는 몬테카를로 통합에 의해 이러한 통합들을 할 수 있다.

참조

• Grimm, R.C; Storer, R.G (1971). "Monte-Carlo solution of Schrödinger's equation". Journal of Computational Physics. 7 (1): 134–156. Bibcode:1971JCoPh...7..134G. doi:10.1016/0021-9991(71)90054-4.
• Anderson, James B. (1975). "A random-walk simulation of the Schrödinger equation: H+3". The Journal of Chemical Physics. 63 (4): 1499. Bibcode:1975JChPh..63.1499A. doi:10.1063/1.431514.
• B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. & P.J. Reynolds (1994). Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry. World Scientific. doi:10.1142/1170. ISBN 978-981-4317-24-5.{{cite book}}: CS1 maint: 작성자 매개변수 사용(링크)