점에서 선까지의 거리

유클리드 기하학에서 점에서 선까지의 거리는 주어진 점으로부터 무한 직선상의 어떤 점까지의 최단 거리다. 선에 대한 점의 수직 거리, 선에서 가장 가까운 점에 점을 결합하는 선 세그먼트의 길이입니다. 그것을 계산하는 공식은 몇 가지 방법으로 도출되고 표현될 수 있다.

점에서 선까지의 거리를 아는 것은 다양한 상황에서 유용할 수 있다. 예를 들어, 도로에 도달하기 위한 최단 거리를 찾는 것, 그래프에 산란을 계량화하는 것 등이다. 데밍 회귀 분석의 선형 곡선 적합 유형에서 종속 변수와 독립 변수의 분산이 같을 경우 적합치의 불완전한 정도가 회귀선으로부터 점의 수직 거리로 각 데이터 점에 대해 측정되는 직교 회귀가 발생한다.

데카르트 좌표, 평행 좌표.

방정식에 의해 정의된 선

방정식 도끼 + b + c = 0으로 주어진 평면의 선의 경우, 여기서 a, b 및 c는 모두 0이 아닌 a와 b를 가진 실제 상수인 경우 선에서 점까지의 거리(x₀₀, y)는 다음과^{[1][2]: p.14} 같다.

${\displaystyle \csname {distance}(ax+by+c=0,(x_{0},y_{0})={\frac {ax_{0}+by_{0}+c }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}.}}.}$

(x₀, y₀)에 가장 가까운 이 선의 점에는 다음과 같은 좌표가 있다.^[3]

${\displaystyle x={\frac {bx_{0}-ay_{0}-ac}{a^{2}+b^{2}}}}{\text{과 }}{\y={\frac {aabx_{0}+ay_{0}-bc}{a^{2}+b^{2}}.}$

수평선 및 수직선

선의 일반 방정식에서 도끼 + by + c = 0, a와 b는 c도 0이 아니면 모두 0이 될 수 없으며, 이 경우 방정식은 선을 정의하지 않는다. 만약 a=0과 b≠ 0, 직선과 방정식 y을 했다−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}이 수평이다..mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}c/b. (x₀, y₀)에서 이 선까지의 거리는 공식에 따라 길이 y₀ - (-c/b) = by₀ + c / b의 수직선 세그먼트를 따라 측정된다. 마찬가지로 수직선(b = 0)의 경우 수평선 세그먼트를 따라 측정했을 때 동일한₀ 점과 선 사이의 거리는 축 + c / a이다.

두 점으로 정의된 선

라인이 P₁ = (x₁, y)와₁ P₂ = (x₂, y₂) 두 점을 통과할 경우 라인에서 (x₀, y₀)까지의 거리는 다음과 같다.^[4]

${\displaystyle \operatorname {distance}(P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0})={\frac { (x_{2}-x_{1})(y_{1}-y_{0}-(x_{1}-x_{0})(y_{2}-y_{1}) }{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1}^{1}:{1}}}}}}}}}}}}}}:{2}}.}$

이 표현의 분모는 P와₁ P의₂ 거리다. 분자는 (x₀, y₀), P₁, P₂ 세 점에 정점이 있는 삼각형의 두 배 면적이다. 자세한 내용은 § 좌표 사용 삼각형 영역을 참조하십시오. 이 표현식은 h = 2A/b에 해당하며, 삼각형 영역에 대한 표준 공식을 재배열하여 얻을 수 있다. A = 1/2 bh, 여기서 b는 변의 길이, h는 반대 정점으로부터의 수직 높이.

점 및 각도로 정의된 선

선이 각도 θ로 P = (P_x, P)를_y 통과하면 선까지의 어느 점(x₀₀, y)의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {distance}(P,\theta ,(x_{0},y_{0})= \cos(\theta )(P_{y}-y_{0})-\sin(\theta )(P_{x}-x_{0}) }}}}}}}}}}}}}$

교정쇄

대수적 증거

이 증거는 선이 수직도 수평도 아닌 경우에만 유효하다. 즉, 우리는 선의 방정식에서 a와 b가 모두 0이 아니라고 가정한다.

등식 도끼 + by + c = 0이 있는 선은 -a/b 기울기를 가지므로 이에 수직인 선은 기울기 b/a(부 역수)를 갖는다. (m, n) 선 도끼 + by + c = 0의 교차점과 그 점을 통과하는 선(x₀₀, y)의 교차점이 되도록 한다. 이 두 점을 통과하는 선은 원래 선과 수직이기 때문에

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}={\frac {b}{a}}}.}$

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $a{\displaystyle }$( ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$- b${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle m}$)${\displaystyle }$= 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$을(를) 제곱하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}$

자, 생각해봐.

${\displaystyle {\property}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}&=a^{0}-m(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}\\&=왼쪽(a^{2}+b^{2)^{2}\오른쪽)\왼쪽(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\오른쪽)\end{aigned}}}}$

위의 제곱 방정식을 사용하여. 하지만 우리는 또한,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

(m, n)은 축 + by + c = 0에 있으므로 그러므로,

${\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}}\오른쪽)\왼쪽(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\오른쪽)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

이 두 점에 의해 결정된 선분할의 길이를 얻는다.

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}={\frac {ax_{0}+by_{0}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}.}$^[5]

기하학적 증거

이 증거는 선이 수평 또는 수직이 아닌 경우에만 유효하다.^[6]

좌표(x₀, y₀)가 있는 점 P에서 등식 Ax + By + C = 0으로 수직선을 떨어뜨린다. 수직 R의 발에 라벨을 붙인다. P를 통해 수직선을 그리고 주어진 선 S와 교차점에 라벨을 붙인다. 라인의 어느 지점 T에서든, 길이 B의 주어진 선과 수평 측면에 하이포텐유즈 TU와 함께 수평 및 수직 라인 세그먼트인 직삼각형 TVU를 그린다(도표 참조). ∆TVU의 수직면에는 경사가 -A/B이므로 길이 A가 된다.

∆PRS와 ∆TVU는 모두 직삼각형이고 toPSR ≅ ≅ ≅ tuTUV는 평행선 PS와 UV(둘 다 수직선)에 대한 횡단각이기 때문에 비슷한 삼각형이다.^[7] 이 삼각형의 해당 면은 같은 비율이므로:

${\displaystyle {\frac {\overline {PR}}{{\overline {PS}}}}}}}{\frac {\overline {TV}}}{\overline {}}}}TU}}}.}$

점 S에 좌표(x₀,m)가 있으면 PS = y₀ - m이고 P에서 선까지의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline{PR} ={\frac {y_{0}-m B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}.}$

S가 통화 중이기 때문에 m의 값을 찾을 수 있고,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

그리고 최종적으로 다음을 얻는다.^[8]

${\displaystyle {\overline{PR} ={\frac {Ax_{0}+By_{0}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}}}.}$

이 증빙의 변형은 P에 V를 배치하고 삼각형 ∆UVT의 면적을 두 가지 $방법$으로 계산하여 ${\displaystyle 해당\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{DT}}}$ U${\displaystyle \text{'}}$ = V $displaystyle$ D ${\overline {\$displaystyle $D$을(를) 얻는 것이다.$TU}}$= ${\overline{$VU$}}{\overline{VT}}}}$ 여기서$$ D는 P로부터 ∆UVT의 저선용에 끌어들이는 ∆UVT의 고도다. 거리 공식은 T ${\displaystyle \stackrel{}{U}}$s $displaystyle {\overline}$을(를) 표현하는 데 사용될 수 있다.$TU}}},$${\displaystyle V\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{U}}$의 $displaystyle${VU$\}\},$ ${\displaystyle V\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{T}}$의 {\$displaystyle$ ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle ${\overline{VT}}$ 등식 계수와 관련하여$$ 표시된 공식을 구한다${\displaystyle \stackrel{}{}}$^{[citation needed]}

벡터 투영 증명

P를 좌표(x₀₀, y)가 있는 점으로 하고 주어진 선에 방정식 도끼 + by + c = 0이 되도록 한다. 또한 Q = (x₁, y)를₁ 이 선의 어떤 점으로 하고 n 벡터(a, b)를 지점 Q에서 시작하도록 한다. 벡터 n은 선에 수직이며, 점 P에서 선까지의 거리는 n에 $있는$ Q ${\displaystyle \stackrel{}{P}}$→ ${\$의 직교 투영 길이와 같다. 이 투영의 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle d={\frac {\overrightarrow {QP}\cdot \mathbf {n}{\mathbf {n} \}}}.}$

지금

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$ so ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ and ${\disp$$laystyle \mathbf {n} \ ={\sqrt {a^{2}+b^{2$$}$$}}},}$

이리하여

${\displaystyle d={\frac {a(x_{0}-x_{1}+b(y_{0}-y_{1}}}{}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}}}.}$

Q는 선상의 점이기 때문에${\displaystyle }c{\displaystyle }$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}1}$ - b ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle$ c$=-ax_{1$}-$by_{1$ ^[9]등등

${\displaystyle d={\frac {x_{0}+by_{0}+c }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}.}$

비록 거리는 계수로 주어지지만, 기호는 점의 어느 쪽이 정상 벡터(a,b)의 방향에 의해 결정되는 의미에서 선의 어느 쪽에 있는가를 결정하는 데 유용할 수 있다.

다른 공식

선에서 점까지의 최단 거리를 찾기 위해 다른 표현을 만들 수 있다. 또한 이 파생은 선이 수직 또는 수평이 아님을 요구한다.

P 지점에는 좌표(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$가 주어진다.$$ 선의 방정식은 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y=mx+k}$ 에 의해 주어진다$.$ 점 P를 통과하는 해당 선의 정규 $방정식$은${\displaystyle }$y = ${\displaystyle \frac{{x\mathrm{}}_{}}{}}$0 - ${\displaystyle \frac{}{}}$m + ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle$ y$={\frac {x_{0}-x}{m}+y_{$0}}}{$0}}$가 주어진다$.$

이 두 선이 교차하는 지점은 원래 선에서 P 지점과 가장 가까운 지점이다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}+y_{0}.}$

x를 위해 이 방정식을 풀 수 있어

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}.}$

교차점의 y 좌표는 x의 이 값을 원래 선의 방정식으로 대체함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}+1}+k.}$

Using the equation for finding the distance between 2 points, ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$, we can deduce that the formula to find the shortest distance between a line and a point is the following:

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac { k+mx_{0}-y_{0} }{\sqrt {1+m^{2}}}}.}$

방정식 도끼 + by + c = 0인 라인에 대해 m = -a/b 및 k = - c/b라는 점을 상기하면 대수적 단순화를 조금만 하면 이를 표준식으로 줄일 수 있다.^[3]

벡터 제형

선의 방정식은 다음과 같이 벡터 형태로 주어질 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}}$

여기서 a는 선상의 점이고 n은 선 방향의 단위 벡터다. 그리고 스칼라 t가 변하기 때문에 x는 선의 위치를 알려준다.

이 선에 대한 임의 점 p의 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\ (\mathbf {p} -\mathbf {a} )-((\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \ .}$

이 공식은 $다음$과 같이 도출할 수 있다: p${\displaystyle }$- ${\displaystyle p\mathbf{}}$- p - $displaystyle \mathbf$ {p$} -\mathbf {$a}은$($는) a에서 p 지점까지의 벡터다$$. 그러면${\displaystyle }$(${\displaystyle p\mathbf{}}$- ${\displaystyle a\mathbf{})}$ ${\displaystyle \cdot n\mathbf{}}$ ${\$ -$\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n}}$은(는) 선에 투영된 길이임$$.

${\displaystyle \mathbf {a} +(\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n}}$

선에$$ ${\displaystyle p\mathbf{}}$ -${\$ -$\mathbf {a}$을(를) 투영하는 벡터로서 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$에 가장 가까운 선의 점을 나타낸다$.$ 따라서

${\displaystyle(\mathbf {p} -\mathbf {a})-(\mathbf {p} -\mathbf {a})\cdot \mathbf {n}\mathbf {n}}}$

선에 수직인$$ ${\displaystyle p\mathbf{}}$ -${\$ -$\mathbf {a}$의 구성 요소. 점으로부터 선까지의 거리는 그 벡터의 표준일 뿐이다.^[4] 이 보다 일반적인 공식은 2차원으로 제한되지 않는다.

또 다른 벡터 제형

벡터 공간이 직교이고 선이 a점을 통과하여 방향 벡터 n을 갖는 경우 p점과^[10] 선 사이의 거리는

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n},\mathbf {p}}={\frac {\reft\\\\mathbf {a} -\mathbf {n}\n}{\mathbf {n}}}}}}}}.}$

교차 제품은 치수 3과 7에만 존재한다는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 헤세 정상형
• 선상교차로
• 두 선 사이의 거리
• 점에서 평면까지의 거리
• 스큐 라인#거리

메모들

참조

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), "Distance from a line or plane to a point", American Mathematical Monthly, 59 (4): 242–243, doi:10.2307/2306514, JSTOR 2306514
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 978-0-618-62719-6
• Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-45773-4
• Weisstein, Eric W. "Point-Line Distance--3-Dimensional". MathWorld.

추가 읽기

• Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (2nd ed.), Springer, p. 86, ISBN 9783642309588