이중 계수(증거 기법)

콤비네이터학에서는 두 가지 방법으로 카운팅이라고도 하는 이중 카운팅은 한 세트의 크기를 계산하는 두 가지 방법임을 입증함으로써 두 가지 표현이 동일하다는 것을 보여주는 콤비네이터 증명 기법이다.반 린트 앤 윌슨(2001)이 "결합에서 가장 중요한 도구 중 하나"^[1]라고 부르는 이 기법에서는, 세트 크기에 대해 두 개의 뚜렷한 표현으로 이어지는 두 가지 관점으로부터 유한 집합을 설명한다.두 표현 모두 같은 집합의 크기가 같기 때문에 서로 같다.

예

곱하기(자연수) 통근

이것은 종종 어린 아이들에게 곱셈을 가르칠 때 사용되는, 이중 셈의 간단한 예다.이러한 맥락에서, 자연수의 곱셈은 반복적인 덧셈으로 소개되고, 그리고 나서, 두 가지 다른 방법으로 직사각형 그리드에 배열된 여러 가지 항목을 세어 보면, 상보적인 것으로 보인다.그리드에 $n$ 의 $n$ $m$ 과 $n$ m $m$ 열이 $m$ 있다고 가정합시다.먼저 $m$ $m$ 개의 $n$ $m$ 항목을 각각 합하여 $n$ 을 세고, $n$ ${\displaystyle$ n $}개$ 의 항목 $n$ 각각에 $m$ $대한$ m ${\displaystyle$ m $} 열$ 을 합하여 항목을 두 번째로 세어 이러한 $특정$ $n$ 에 $n\times m=m\times n$ n ${\$ $displaystyle n}$ 및 $n\times m=m\times n$ = $n\times m=m\times n$ m $m$ $n\times m=m\times n$ $n\times m=m\times n$ $[\displaystyle n\based m=m\based$ n $n\times m=m\times n$

위원회 구성

이중 계수 방식의 한 예는 $n$ ${\displaystyn}명$ 으로부터 $n$ 위원회가 구성될 수 있는 방법의 수를 세어, 그 중 0명이라도 위원회의 일원이 될 수 있도록 한다. $즉$ , n $n$ -element $n$ 세트가 가질 수 있는 하위 집합의 수를 계산한다.위원회를 구성하는 한 가지 방법은 각자에게 가입 여부를 선택하도록 하는 것이다.각 사람은 두 가지 선택권을 가지고 있다. 예스든 아니든. 그리고 이러한 선택들은 다른 사람들의 선택과 무관하다.따라서 $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ = $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ ${\$ 가능성이 $2\times 2\times \cdots 2=2^{n}$ 있다.또는 위원회 크기가 0과 $n$ 사이의 숫자여야 한다는 것을 관찰할 수 있다 $n$ 가능한 각 $크기$ k $k$ 에 대해 $k$ $k$ ${\displaystyle$ k $}명의$ 위원회가 $k$ $n$ $n$ $n$ 명으로부터 구성될 수 있는 방법의 수는 이항 계수다.

{n \선택 k}

따라서 가능한 위원회의 총수는

k=0,1,2,\dots ,n

=

k=0,1,2,\dots ,n

k=0,1,2,\dots ,n

,

k=0,1,2,\dots ,n

,

k=0,1,2,\dots ,n

k=0,1,2,\dots ,n

{\displaystyle k=0,

1, 2

,\dots,n}

에 대한 이항계수의 합이다

k=0,1,2,\dots ,n

두 표현을 동일화하면 정체성이 부여된다.

\sum _{k=0}^{n}{n}{n \선택 k}=2^{n}}

이항 정리의 특수한 경우유사한 이중 계수 방법을 사용하여 보다 일반적인 신원을^[2] 증명할 수 있다.

\sum _{k=d}^{n}{n}{n \선택 k}{k \선택 d}=2^{n-d}{n \선택 d}}

핸드셰이킹

이중 계수 인수로 일반적으로 증명되는 또 다른 정리는 모든 비방향 그래프가 짝수 수의 정점을 포함하고 있다는 것이다.즉, 입사 가장자리 수가 홀수인 정점의 수는 짝수여야 한다.더 구어적으로 말하면, 몇몇이 악수를 하는 파티에서는 짝수 수의 사람들이 홀수 수의 다른 사람의 손을 흔들었을 것이다. 이러한 이유로, 그 결과는 악수 보조정리라고 알려져 있다.

이중 카운트를 통해 이를 입증하려면 $d(v)$ ) $d(v)$ 을(를) 꼭지점 $v$ $v$ 의 정도가 되도록 $d(v)$ 하십시오 $v$ 그래프의 정점 가장자리 근사 횟수는 정점의 정도를 합산하거나 모든 가장자리에 대해 두 개의 근사치를 계산하는 두 가지 다른 방법으로 계산할 수 있다.그러므로

\sum _{v}d(v)=2e

여기서

e

e

은

e

(는) 가장자리 수입니다.따라서 정점의 각도의 합은 짝수인데, 정점의 홀수 수가 홀수 정도를 갖는 경우에는 발생할 수 없다.이 사실은, 이러한 증거와 함께, 그래프 이론의 연구를 처음 시작한 쾨니히스베르크의 일곱 다리들에 관한 1736년 레온하르트 오일러의 논문에서 나타난다.

나무 세기

Cayley의 공식은 두 꼭지점에 1 = 2^{2 − 2} 나무, 세 꼭지점에^{3 − 2} 3 나무, 네 꼭지점에^{4 − 2} 16 = 4 나무가 있다는 것을 암시한다.

루트 포리스트에 방향 지정된 에지 추가

$n$ $n$ 개의 $n$ 고유 정점 집합에서 형성될 수 있는 서로 다른 트리의 $T_{n}$ T $T_{n}$ ${\$ 은(는) 몇 번인가?케일리의 공식은 $T_{n}=n^{n-2}$ = $T_{n}=n^{n-2}$ - $T_{n}=n^{n-2}$ ${\$ 에이그너 & 지글러(1998)는 이 사실에 대한 4개의 증거를 열거하고 있다; 그들은 짐 핏만 때문에 이중 계수 증명이 된 4번째에 대해 쓴다.^[3]

Pitman의 증거는 $두$ 가지 다른 방식으로 n {\ $displaystyle n}$ 정점의 $n$ 빈 그래프에 추가되어 뿌리깊은 트리를 형성할 수 있는 지시된 가장자리 순서의 수를 계산한다.이러한 시퀀스를 형성하는 한 가지 방법은 $T_{n}$ ${\$ 가능한 $T_{n}$ 나무 중 하나에서 시작하여 루트로 $n$ $n$ 꼭지점 $n$ 중 하나를 선택하고 $(n-1)!$ ( $(n-1)!$ - 1 $(n-1)!$ ${\displaystyle (n-1$ ) 중 하나를 선택하는 것이다 $!$ $n-1$ - $n-1$ ${\displaystyle n-1}($ 방향) 에지를 추가할 수 있는 $(n-1)!$ 시퀀스 ${}$ 따라서 이러한 방식으로 형성될 수 있는 총 시퀀스 수는 T $T_{n}n(n-1)!=T_{n}n!$ ( $T_{n}n(n-1)!=T_{n}n!$ - $T_{n}n(n-1)!=T_{n}n!$ = $T_{n}n(n-1)!=T_{n}n!$ $T_{n}n(n-1)!=T_{n}n!$ ${\displaystyle T_{n}n(n-1$ )이다 $!$ $=T_{n}n!}$ ^[3].

이러한 에지 시퀀스를 계산하는 또 다른 방법은 빈 그래프에 에지를 하나씩 추가하고 각 단계에서 사용 가능한 선택 항목 수를 계산하는 것이다. $n-k$ - $n-k$ $n-k$ 가장자리 $n-k$ 모음을 이미 추가한 경우, 이러한 가장자리에 의해 형성된 그래프가 $k$ $k$ 트리가 $k$ 있는 루트 포리스트인 경우, $n(k-1)$ 가장자리에는 n $n(k-1)$ ( $n(k-1)$ - $n(k-1)$ ) ${\displaystyn(k-1)$ 을 $n(k-1)$ 선택할 수 있다. 시작 꼭지점은 $n$ ${\displaysty n}$ 의 $n$ 정점 중 하나일 수 있다.그래프 및 그래프 끝 정점은 시작 정점을 포함하는 트리의 루트 이외의 $k-1$ - $k-1$ $k-1$ 루트 $k-1$ 중 하나일 수 있다.따라서 1단계, 2단계 등으로부터 선택 횟수를 함께 곱하면 총 선택 횟수는 다음과 같다.

\prod _{k=2}^{n(k-1)=n^{n-1}(n-1)!=n^{n-2}n!

에지 시퀀스 수와 이 두 공식을 동일시하면 Cayley의 공식은 다음과 같다.

\displaystyle T_{n}n!=n^{n-2}n!

그리고

\displaystyle T_{n}=n^{n-2}.

아이그너와 지글러가 기술한 바와 같이, 어떤 k에 대해서도 k나무가 있는 뿌리 숲의 수를 세도록 공식과 증거를 일반화할 수 있다.^[3]

참고 항목

추가 예제

반데르몽드의 정체성, 이중 계수로 증명할 수 있는 이항계수 합계에 대한 또 다른 정체성.
정사각형 피라미드 숫자.첫 $번째$ n $n$ 제곱수와 $n$ 세제곱 다항식의 합은 숫자 $x$ ${\displaystyle$ x $x$ $y$ ${\displaystyle y$ $z$ $z$ 의 3배수를 두 번 세어 표시할 수 있다. 여기서 $z$ $z$ ${\displaystystyle z}$ 은 $z$ 다른 두 숫자 중 하나보다 크다.
루벨-야마모토-메샬킨 불평등세트 가족에 대한 루벨의 이 결과에 대한 증거는 평등이 아닌 불평등을 증명하는 데 사용되는 순열에 대한 이중 계수 논쟁이다.
페르마의 작은 정리 증명.이중 계산에 의한 불분명한 증거: 모든 $기본$ p $p$ 과 $p$ (와 $)$ $A$ {\ $displaystyle$ $A$ A $^{p}-A}$ 길이- $A^{p}-A$ $p$ $p$ 단어 $p$ $A$ 에 두 개 이상의 구별되는 기호가 있는 A ${\displaystystyle A}$ - symbol $A$ 문자 위에 $A^{p}-A$ .이러한 단어들은 원형 교대로 서로 변형될 수 $있는$ p {\ $displaystyle p}$ 개의 $p$ 단어 집합으로 분류될 수 있다. 이러한 집합들을 목걸이라고 부른다.따라서 $A^{p}-A=p\cdot {}$ - $A^{p}-A=p\cdot {}$ = p $A^{p}-A=p\cdot {}$ ${\$ A $^{p}-A=p=p$ \cdot $A^{p}-A=p\cdot {}$ 목걸이 수 $)$ 로 $p$ 되며 p{\ $displaystyp p}$ 로 구분된다 $p$
2차 상호주의 증거.아이젠슈타인에 의한 증거는 삼각형의 격자점을 이중으로 세어 또 하나의 중요한 숫자-이론적 사실을 도출한다.

메모들

^ 반 린트 & 윌슨 2001.
^ Garbano, Malerba & Lewinter 2003, Klavzar 2006).
^ ^a ^b ^c 아이그너 & 지글러 1998.

참조

이중 계수는 126페이지에 일반적인 원리로 설명되어 있다; 케이리의 공식에 대한 피트만의 이중 계수는 145-146페이지에 있다Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998), Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag.
Euler, L. (1736), "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" (PDF), Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 8: 128–140. 재인쇄 및 번역.
Garbano, M. L.; Malerba, J. F.; Lewinter, M. (2003), "Hypercubes and Pascal's triangle: a tale of two proofs", Mathematics Magazine, 76 (3): 216–217, doi:10.2307/3219324, JSTOR 3219324.
Klavžar, Sandi (2006), "Counting hypercubes in hypercubes", Discrete Mathematics, 306 (22): 2964–2967, doi:10.1016/j.disc.2005.10.036.
van Lint, Jacobus H.; Wilson, Richard M. (2001), A Course in Combinatorics, Cambridge University Press, p. 4, ISBN 978-0-521-00601-9.

[FOOTNOTEvan_LintWilson2001-1] 반 린트 & 윌슨 2001.

[2] Garbano, Malerba & Lewinter 2003, Klavzar 2006).

[FOOTNOTEAignerZiegler1998-3] 아이그너 & 지글러 1998.

[1]

[2]

[3]

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