L 기능의 명시적 공식

수학에서 L-기능에 대한 명시적 공식은 리만(1859)이 리만 제타 함수에 대해 소개한 L-함수의 복잡한 숫자 0에 대한 합과 주력에 대한 합 사이의 관계다.이러한 명시적 공식은 대수적 숫자 영역의 변별력과 숫자 영역의 지휘자를 경계하는 질문에도 적용되었다.

리만의 명시적 공식

리만은 1859년 논문 "주어진 크기보다 적은 프라임 수에 대하여"에서 에 의해 프라임 카운팅 함수 $π(x)$ 와 관련된 정상화된 프라임 카운팅 함수 $π 0 (x)$ 에 대해 명시적 공식(본 망골트에 의해 1895년까지 완전히 입증되지 않았다, 이하 참조)을 스케치했다.

\pi \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim_{h\to 0}\pi[\,\pi(x+h)+\pi(x-h)\,\right]\

불연속 시 왼쪽에서 한계의 산술적 평균과 오른쪽에서 한계의 산술적 평균을 취한다.^[a]그의 공식은 관련 기능의 측면에서 주어졌다.

f(x)=\pi _{0}(x)+{0(x){1}{1}:{1},\pi _{0}(x^{1/2})+{0}{3}\pi _{0}(x^{1/3})+\codots }}}}

$원권력 n$ p가 로 간주되는.1분의 $1초$ 표준화 된 프라임카운팅 기능은 이 기능으로부터 복구될 수 있다.

\pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,

여기서 $μ (n)$ 는 뫼비우스 함수다.리만의 공식은 그때다.

f(x)=\sum _{\rho }-\log(2)+\int _{x}^{\frac {\d} t}{~t\, (t^{2}-1)~log(t)}}

Riemann zeta 함수의 비경쟁 0 $ρ$ 에 대한 합계를 포함한다.합이 절대적으로 수렴되는 것은 아니지만, 상상의 부분의 절대값의 순서로 0을 취함으로써 평가할 수도 있다.첫 번째 기간에 발생하는 함수 $li$ 는 다이버전트 적분의 Cauchy 기본값이 주는 (설정되지 않은) 대수 적분 함수다.

\li}=\int _{0}^{x}{\frac {d}t}\,\log(t)\,},

제타함수의 0을 포함하는 $li(x ρ)$ 용어는 $li$ 가 0과 1로 분기점을 가지며, 지역 $x$ > $1$ 과 $Re(ρ)$ > $0$ 에서 복합 변수 $ρ$ 의 분석적 지속에 의해 정의되므로, 그 정의에 어느 정도 주의가 필요하다.다른 용어는 또한 0에 해당한다.지배적인 용어 $li(x)$ 는 다중성 -1의 0으로 간주되는 $s$ = $1$ 의 극에서 유래하며, 나머지 작은 용어는 사소한 0에서 유래한다.이 공식은 리만 제타 함수의 0이 "예상" 위치 주변의 프리타임의 진동을 조절한다고 말한다. (이 시리즈의 처음 몇 항의 합계에 대한 그래프는 1977년 자기에를 참조)

앞서 말한 공식에 대한 최초의 엄격한 증거는 1895년 폰 망골트에 의해 제시되었다: 체비셰프의 함수 $ψ$ 에 대한 다음과 같은 공식에 대한 증명으로 시작되었다.

\psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\operatorname {d} s=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})

여기서 LHS는 Mellin의 역변환이다.

\quad \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad

and

\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))

그리고 RHS는 잔여 정리로부터 얻은 다음, 그것을 리만 자신이 실제로 스케치한 공식으로 변환한다.

또한 이 시리즈는 조건상 수렴되므로 0을 초과하는 합은 다시 가상 부분의 순서로 측정해야 한다.^[2]

\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\rightarrow \infty }S(x,T)\quad

where

\quad S(x,T)=\sum _{\rho : \Im \rho  \leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,

.

합을 $S (x, T)$ 로 자를 때의 오차는 항상 절대값에서 $ln(x)$ 보다 작으며, $x$ 의 자연 로그로 나눌 때 $x$ 에서 가장 가까운 prime power까지의 거리로 $x ⁄ T$ 보다 작은 절대값을 갖는다.^[3]

윌의 명시적 공식

명시적 공식을 진술하는 방법에는 몇 가지가 약간 다르다.안드레 웨일의 명시적 공식 형식

{\begin}&\Phi (0)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\pi (\rho )\\\={}\sum _{p,m}{p^{p/2}}:{{F(log(p^{m)})+F(-\log(p^{m}){\Big )}-{{1}{2\pi }\int_{-\inflt }^{\inflt }\varphi (t)\,dt\end{ligned}}}}}}

, where

ρ 제타함수의 비응축 0을 뛰어 넘음
p는 긍정적인 prime을 넘나든다.
m은 양의 정수 위를 달린다.
F는 파생상품이 급속히 감소하는 부드러운 기능이다.
$\varphi$ $\varphi$ 은 $\varphi$ (는) F:의 푸리에 변환이다.

\varphi(t)=\int _{-\infit }^{\f(x)e^{itx}\,dx

$\Phi(1/2+it)=\varphi(t)$
$\Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))$ , where $\psi$ is the digamma function Γ′/Γ.

대략적으로 말해서, 이 명시적인 공식은 제타함수의 0의 푸리에 변환은 몇 가지 기본적인 요소들과 함께 주요 권력들의 집합이라고 말한다.일단 이렇게 말하면, 이 공식은 푸리에 변환이 단일 연산자여서 시간 영역의 스칼라 제품이 주파수 영역의 푸리에 변환의 스칼라 제품과 동일하다는 사실에서 유래한다.

공식의 용어는 다음과 같은 방식으로 발생한다.

오른쪽의 용어는 다음과 같은 로그 파생어에서 비롯된다.

\제타 ^{*}=\감마(s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{p}{1-p^{-s}}}}}}}

p의 오일러 계수에서 prime p에 해당하는 항과 감마 인자(무한에서 오일러 계수)에서 ψ을 포함하는 끝에 있는 항을 사용한다.

왼쪽은 승수로 계산된 ζ의^* 모든 0에 대한 합이므로, 0과 1의 극은 순서 -1의 0으로 계산된다.

Weil의 명시적인 공식은 이렇게 이해할 수 있다.목표는 다음을 작성할 수 있는 것이다.

{\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{ u }}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e

^{-2 u })\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2 u })}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u}}

,

여기서 $λ$ 은 폰 망골트 함수다.

따라서 사소한 0의 푸리에 변환이 대칭된 소수 검정력 + 작은 항과 같도록 한다.물론 관련된 총액은 수렴되지 않지만, 스칼라 제품을 보존한다는 푸리에 변환의 단일 특성을 사용하는 것이 요령이다.

\int_{-\infit _{-\inft \f(u)^{*(u)}\,du=\int _{-\infit }^{-\inft }F(t)^{*(t)\,dt

여기서 $F$ , $G$ $F,G$ 는 $F,G$ $f$ , g $f,g$ 의 푸리에 변환이다 $f,g$ 첫눈에 기능만을 위한 공식으로 보이지만, 사실 많은 경우 $g$ ${\displaysty g}$ 이 분포일 $g$ 때도 작용한다.Hence, by setting $g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]$ (where $\delta (u)$ is the Dirac delta) and carefully choosing a function $f$ and its FouRier transform, 우리는 위의 공식을 얻는다.

기타 산술 함수에 대한 명시적 공식

리만-와일 공식은^{[clarification needed]} 폰 망골트 함수 이외의 산술 함수로 일반화할 수 있다.예를 들어 뫼비우스 기능에 대해서는

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta

'(-2n)}}}}\int

_

{-\infit }^{\infit }dxg(x)e^{-(2n+1/2

)x

}}

x

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}

또한 Louville 기능을 위해 우리는

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g

x)}

.

오일러-파이 함수의 경우 명시적 공식은 다음과 같다.

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n

}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}}

.

In all cases the sum is related to the imaginary part of the Riemann zeros $\rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma$ and the function h is related to the test function g by a Fourier transform, ${\displaystyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\i$ $nfty }h(x)\expxiux$

For the divisor function of zeroth order $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)$ .^{[clarification needed]}

일부 양성에 $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ g $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ ( $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ ) = $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ ( y $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ ) $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ $g(x)=f(ye^{x})e^{ax}$ {\ $displaystyle$ g $(x)=f(ye^{x}e^{ax}})$ 형식의 시험 함수를 사용하면 포아송 합계 공식이 멜린 변환과 관련된 공식으로 변한다.여기 y는 진짜 매개변수 입니다.

일반화

리만 제타 기능은 디리클레 문자 χ의 디리클레 L 기능으로 대체할 수 있다.그러면 원권 합계는 χ(p^m)의 추가요인을 얻게 되고, φ(1)과 φ(0)라는 용어는 L시리즈에 극이 없기 때문에 사라진다.

보다 일반적으로, 리만 제타 함수와 L 시리즈는 대수적 숫자 필드 또는 헤케 L 시리즈의 데데킨드 제타 함수로 대체될 수 있다.그 후 프라임의 합은 프라임의 이상에 대한 합으로 대체된다.

적용들

Riemann이 처음 사용한 명시적 공식은 주어진 숫자보다 작은 소수 수에 대해 정확한 공식을 제공하는 것이었다.이렇게 하려면 F(log(y)를 y^1/2/log(y)로 다른 곳에서 0 ≤ y ≤ x와 0으로 한다.그러면 오른쪽에 있는 합계의 주요 용어는 x보다 작은 소수다.왼쪽의 주항은 φ(1)으로, 소수 정리의 지배적인 용어로 판명되며, 주교정은 제타함수의 비종교적 0에 대한 합이다.(F함수가 평활도 조건을 만족시키지 못한다는 점에서 이 경우를 사용하는 데는 사소한 기술적 문제가 있다.)

힐버트-폴리야 추측

힐베르트에 따르면-Polya 추측, 복합 영점 ρ은 일부 선형 연산자 T의 고유값이 되어야 한다.명시적 공식의 0에 대한 합은 추적에 의해 (적어도 형식적으로) 주어진다.

\sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr}(F({\widehat{T})).\!

광범위한 L-기능에 대한 명시적 공식의 개발은 Weil(1952년)이 주었는데, Weil은 이 아이디어를 먼저 국소 제타-기능으로 확장하고, 이 설정에서 일반화된 리만 가설의 버전을 공식화하여 위상학적 그룹에 일반화된 기능에 대한 긍정의 문장으로 삼았다.알랭 콘의 보다 최근의 연구는 기능분석적 배경까지 훨씬 더 나아가서, 추적 공식의 유효성이 이와 같이 일반화된 리만 가설과 동등한 것을 제공한다.아델릭 공간에 대한 조화적 분석을 통해 Weil의 명시적 공식을 도출한 Meyer(2005)는 약간 다른 관점을 제시하였다.

참고 항목

셀버그 미량 공식

각주

^ 원래의 프라임카운팅 기능은 $~x\geq 3~.$ $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ( x $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ) $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ = $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ( $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ + 1 $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ) ${\$ 을 $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ (를) 통해 모든 x $~x\geq 3~.$ 3 $.$ {\ $displaystyle ~x\geq 3.}$ 에 대해 쉽게 복구할 수 있다.

참조

^ Weisstein, Eric W. 명시적 포뮬러 on MathWorld.
^ 인함(1990) 페이지 77
^ ψ0(x)에 대한 명시적 공식에 대해 혼란스러움

Ingham, A.E. (1990) [1932], The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, reissued with a foreword by R. C. Vaughan (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39789-6, MR 1074573, Zbl 0715.11045
Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 110 (2nd ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94225-4, Zbl 0811.11001
Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie
Weil, André (1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [On "explicit formulas" in the theory of prime numbers], Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] (in French), Tome Supplémentaire: 252–265, MR 0053152, Zbl 0049.03205
von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [On Riemann's paper "The number of prime numbers less than a given magnitude"], Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German), 114: 255–305, ISSN 0075-4102, JFM 26.0215.03, MR 1580379
Meyer, Ralf (2005), "On a representation of the idele class group related to primes and zeros of L-functions", Duke Math. J., 127 (3): 519–595, arXiv:math/0311468, doi:10.1215/s0012-7094-04-12734-4, ISSN 0012-7094, MR 2132868, Zbl 1079.11044
Zagier, Don (1977), "The first 50 million prime numbers", The Mathematical Intelligencer, 1 (S2): 7–19, doi:10.1007/bf03351556
Garcia J.J Mellin Convolution과 그 확장, Perron Formula doi=10.20944/preprint201801.0020.v1
https://encyclopediaofmath.org/wiki/M%C3%B6bius_function#:~:text=%20M%C3%B6bius%20%function%20%20isan, M%C3%B6bius%20an,%20%20%in201832

추가 읽기

Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, vol. 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035
Riesel, Hans (1994), Prime numbers and computer methods for factorization, Progress in Mathematics, vol. 126 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl 0821.11001

[1] 원래의 프라임카운팅 기능은 $~x\geq 3~.$ $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ( x $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ) $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ = $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ( $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ + 1 $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ ) ${\$ 을 $~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~$ (를) 통해 모든 x $~x\geq 3~.$ 3 $.$ {\ $displaystyle ~x\geq 3.}$ 에 대해 쉽게 복구할 수 있다.

[2] Weisstein, Eric W. 명시적 포뮬러 on MathWorld.

[Ing77-3] 인함(1990) 페이지 77

[4] ψ0(x)에 대한 명시적 공식에 대해 혼란스러움

[a]

[2]

[3]

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