지수 반응식

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미분 방정식
장애물 주위의 공기 흐름을 시뮬레이션하는 데 사용되는 Navier-Stokes 미분 방정식
범위
필드 자연과학 공학 천문학 물리학 화학 생물학 지질학 응용 수학 연속체 역학 혼돈 이론 다이너믹 시스템 사회과학 경제학 인구역학
분류
종류들 보통 부분적 차동알지브라질 인터그로 차동 분수 선형 비선형 변수 유형별 종속변수와 독립변수 자율적 콤플렉스 결합/분리됨 정확한 동종/비동종 특징들 주문 연산자 표기법
프로세스와의 관계 차이(구체 아날로그) 스토카스틱 확률적 부분 지연
해결책
존재와 고유성 피카르-린델뢰프 정리 페아노 존재 정리 카라테오도리의 존재 정리 카우치-코왈레프스키 정리
일반 주제 룬스키안 위상 초상화 위상공간 랴푸노프 / 점근증 / 지수 안정성 수렴율 시리즈/적분 솔루션 수치적 통합 디라크 델타 함수
솔루션 방법 감사 특성방법 오일러 지수 반응식 유한차이 (크랭크-니콜슨) 유한요소 무한요소 유한 부피 갤러킨 페트로프-갈러킨 집적인자 적분 변환 섭동 이론 룬게쿠타 변수의 분리 결정되지 않은 계수 모수의 변동
사람
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v t

수학에서 지수 반응과 복잡한 대체라고도 하는 지수 반응 공식(ERF)은 어떤 순서에서도 비균형 선형 보통 미분 방정식의 특정한 해답을 찾기 위해 사용되는 방법이다.^[1][2] 지수 반응 공식은 함수가 다항식, 사인파형, 지수형 또는 세 개의 조합인 경우 계수가 일정한 비균형 선형 일반 미분 방정식에 적용할 수 있다.^[2] 비균형 선형 보통 미분방정식의 일반 용액은 관련 균질 ODE의 일반 용액과 비균질 ODE에 대한 특정 용액의 중첩이다.^[1] 보다 높은 순서의 일반적인 미분방정식을 해결하기 위한 대안적인 방법은 미결정 계수의 방법과 모수의 변동 방법이다.

컨텍스트 및 방법

적용가능성

비균형 미분방정식의 특정 용액을 찾아내는 ${\displaystyle \mathrm{ERF}}$ 방법은 비균형 $방정식$이 f${\displaystyle (}$t${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {e{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}{{}_{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ e ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$t +${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ n$${\$displaystyle$ f$(t)=$를 형성하거나 변형될 수 있는 경우 적용 가능하다.$B_{1}e^{\gamma _{1}t}+B_{2}e^{\gamma _{2}t}+\cdots +B_{n}e^{\gamma _{n}t}}$; where ${\displaystyle B,\gamma }$ are real or complex numbers and ${\displaystyle f(t)}$ is homogeneous linear differential equation of any order. 그런 다음, 지수 반응 공식을 그러한 방정식의 오른쪽 각 항에 적용할 수 있다. 선형성 때문에 우측에 항이 있는 한 지수 응답 공식을 적용할 수 있으며, 중첩 원리에 의해 함께 추가된다.

복합교체

복합교체는 방정식의 비균형 항을 복합 지수함수로 변환하는 방법으로, 주어진 미분 방정식을 복합 지수함수로 만든다.

${\displaystyle \mathrm{미분}}$ 방정식 $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$+ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle y'+y=\cos(t)}$을(를) 고려하십시오$.$

복잡한 교체를 위해 오일러의 공식을 사용할 수 있다.

${\displaystyle {\begin}\cos(t)&=\operatorname {Re}(e^{it})=\operatorname {Re}(\cos(t)+i\sin(t))\\sin(t)&=\operatorname {Im}(e^{it})=\operatorname {Im}(\cos(t)+i\sin(t)\end{aigned}}}$

따라서 차등방정식이 $z{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$+ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ z$'+z=e^{it}}$로 변경되는 경우$.$ $복합{\displaystyle }$ 미분 방정식의 해법은 z (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle z(t)}$로 찾을 수 있으며$,$ 여기서 실제 부분은 원래 방정식의 해법이다.

비균형 항이 정현함수나 지수함수의 관점에서 표현되었을 때 미분방정식을 푸는 데 복합교체가 사용되는데, 이는 복잡한 지수함수의 분화와 통합으로 변환될 수 있다. 이렇게 복잡한 지수함수는 원래 함수보다 조작하기가 쉽다.

비균형 항이 지수함수로 표현되는 경우 ERF 방법 또는 미결정 계수 방법을 사용하여 특정 용액을 찾을 수 있다. 비균형 항을 복합 지수 함수로 변환할 수 없는 경우 파라미터의 변동 라그랑주 방법을 사용하여 해결책을 찾을 수 있다.

선형 시간 변동 연산자

미분방정식은 자연현상을 시뮬레이션하는 데 중요하다. 특히 고차 선형 미분방정식으로 설명되는 현상으로는 스프링 진동, LRC 회로, 빔 편향, 신호 처리, 제어 이론, 피드백 루프가 있는 LTI 시스템 등이 많다.^{[1] [3]}

Mathematically, the system is time-invariant if whenever the input ${\displaystyle f(t)}$ has response ${\displaystyle x(t)}$ then for any constant "a", the input ${\displaystyle f(t-a)}$ has response ${\displaystyle x(t-a)}$. Physically, time invariance means system’s response does no입력 시작 시간에 따라 달라진다. 예를 들어 스프링 질량계가 평형 상태라면 언제 힘을 가했든 같은 방법으로 주어진 힘에 반응하게 된다.

시간 변량계도 선형일 때는 선형 변량계(LTI계)라고 한다. 이러한 LTI 시스템의 대부분은 선형 미분방정식에서 파생되는데, 여기서 비균형 항을 입력신호라고 하고 비균형 방정식의 용액을 응답신호라고 한다. 입력 신호가 기하급수적으로 주어지면 해당 응답 신호도 기하급수적으로 변한다.

다음 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 고려하여 선형 미분 방정식을 정렬하십시오.

${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dy}{dt}}+a_{0}y=f(t)\qquad \qquad \quad (1)}$

을 나타내는

${\displaystyle L=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{1}}}D^{1}+a_{0}}이,}$

${\displaystyle D^{k}={\frac {d^{k}}{dt^{k}}}(k=1,2,\ldots,n),}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서,${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 상수 계수로서$$, 선형 및 시간 변이성이며 LTI 연산자로 알려져 있는 차동 $연산자{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L$을 생성한다. 연산자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 특성 다항식으로부터 얻는다$$.

${\displaystyle P(s)=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{0}}$

여기서 미확정 s를 분화 연산자 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}(으$)로 정식 교체함

$L=P(D)}$

${\displaystyle P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}{n-1}D^{n-1}+\cdots +a_{0}I}$

따라서 등식 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle P(D)y=f(t)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)}$

문제 설정 및 ERF 방법

위의 LTI 미분 방정식을 고려할 때 지수 입력 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= B ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e^{}}$ t ${\$ 여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및 $and$ ${\displaystyle \gamma }$이(가$$)가 주어진다$.$ 그렇다면, 특별한 해결책은

$P{\displaystyle }$ (${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P(\gamma )\neq$ 0$}$만 제공하십시오$.$

증명: $연산자{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle P(D$의 선형성 때문에 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\왼쪽({\frac {Be^{\gamma t}}}}}{P(\gamma )}\오른쪽)={\frac {B}{P(\gamma )}}}P(D)}\quadqquad(3)$

반면에, 그 이후부터.

${\displaystyle P(D)\left(e^{\gamma t}\right)=P(\gamma )e^{\gamma t}}}$

이것을 등식 (3)로 대체하여 생산한다.

${\displaystyle P(D)(y_{p})=P(D)\left({\frac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(D)\left(e^{\gamma t}\right)={\frac {B}{P(\gamma )}}P(\gamma )e^{\gamma t}=Be^{\gamma t}.}$

따라서 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$은(는) 비균형 미분방정식에 대한 특별한 해법이다$$.

따라서 특정 반응 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$에 대한 위의 방정식을 해당 지수 입력에 대한 지수 반응 공식(ERF)이라고 한다$$.

특히,${\displaystyle P}$ ( ${\displaystyle )}$) = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle P(\gamma$)=$0$의 경우, 등식 (2)에 대한 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle y_{p}={\frac {Bte^{\gamma t}{P'(\gamma )}},\qquad P'(\gamma )\neq 0}$

그리고 공명 반응 공식이라고 불린다.

예

2차 선형 비균형 ODE에 대한 특정 솔루션을 찾아봅시다.

${\displaystyle 2x'+x'+x=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)}$

특성 ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$은 $P{\displaystyle (}$s )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {2초\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle P=2s^{2}+s+1$} 입니다$.$ 또한 비균질 용어 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle e^{}}$- t ${\displaystyle \cos }$ cos${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(t)=1+2e^{t}+e^{-t}\cos(t)}$는 다음과 같이 쓸 수 있다$$.

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)+f_{3}(t),f_{1}(t)=1,f_{2}(t)=2e^{t},f_{3}(t)=e^{-t}\cos(t).}$

그런 다음 각각 f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{1}(t), f_{2}($${\displaystyle t}$$)},$ $f$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t )${\displaystyle f_{3}(t$에 해당하는 특정 용액이 발견된다.

First, considering non-homogeneous term, ${\displaystyle f_{1}(t)=1}$. In this case, since ${\displaystyle f_{1}(t)=1=e^{0\cdot t},\gamma =0}$ and ${\displaystyle P(\gamma )=P(0)=1\neq 0}$.

${\displaystyle \mathrm{ERF}}$에서 f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{1}(t)}$에 해당하는 특정 솔루션을 찾을 수 있다$$.

${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}_{}}{}{}_{}}$= ${\displaystyle f\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1{}_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{t}}{}}$) P${\displaystyle \frac{}{}}$( 0${\displaystyle \frac{}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{1}{}}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle x_{1p}={\frac$ {$f_{1}(t)}{$P(0$)}}}}{\frac$ {1$}{1}=1$

마찬가지로 f ${\displaystyle 2{}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{2}(t)}$에 해당하는 특정 솔루션을 찾을 수 있다$.$

${\displaystyle x_{2p}={\frac {f_{2}(t)}{{P(1)}}={\frac {2e^{t}}{4}}={\frac {e^{t}}{2}}}}.}$

3기에 해당하는 DE에 대한 특정 해결책을 찾아보자.

${\displaystyle 2x'+x'+x=e^{-t}\cos(t)}$

이를 위해서는 방정식을 다음과 같은 실제 부분인 복합 값 방정식으로 대체해야 한다.

${\displaystyle 2z'+z'+z=e^{(-1+i)t}.}$

지수 반응 공식(ERF)을 적용하여 생성

${\displaystyle{\begin}z_{p}&={\frac {e^{(-1+i)t}}{P(-1+i)}}}}}}\\&={\frac {ie^{(-1+i)t}{3}}{3}&P(-1+i)=2(-1+i)^{2}+(-1+i)+1=-3i\ended}}}}}}$

그리고 진짜 부분은

${\displaystyle x_{3p}=-{\frac {1}{3}e^{-t}\sin(t).}$

따라서 주어진 방정식인 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 특정 해법은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle x_{p}=x_{1p}+x_{2p}+x_{3p}=1+{\frac{e^{t}}}{2}}-{{3}e^{-t}\sin(t).}$

결정되지 않은 계수의 방법과 비교

미확정 계수법은 비균형 항의 형태에 따라 용액 유형을 적절하게 선택하고 미확정 상수를 결정하여 비균형 방정식을 만족시키는 방법이다.^[4] 반면 ERF 방식은 차등 연산자를 기반으로 한 특수 용액을 얻는다.^[2] 두 방법의 유사성은 계수가 일정하지 않은 비균형 선형 미분방정식의 특별한 용액을 구하는 반면, 고려 중인 방정식의 형태는 두 방법 모두에서 동일하다.

예를 들어, 미결정 계수의 방법으로$$ $y{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {″}^{}}$+ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ y$'+y=e^{t}$의 특정 용액을 찾으려면 특성 방정식 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \lambda }$=${\displaystyle }$± i ${\displaystyle \lambda ^{2}+1=$0,\$lambda$=\$pm$ i$}$을 해결해야 한다$.$ The non-homogeneous term ${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$ is then considered and since ${\displaystyle \gamma =1}$ is not a characteristic root, it puts a particular solution in form of ${\displaystyle y_{p}(t)=$$Ae^{\gamma t$ $여기$서 A ${\displaystyle A}$은(는) 결정되지 않은 상수. 방정식으로 대체하여 임시 상수 산출량 결정

${\displaystyle \lambda ^{2}Ae^{\lambda t}+Ae^{\lambda t}=e^{\lambda t}}}$

그러므로

${\displaystyle A={\frac {1}{\lambda ^{2}+1}.}$

특정 해결책은 다음과 같은 형태로 찾을 수 있다.^[5]

${\displaystyle y_{p}(t)=Ae^{\lambda t}={\frac {e^{\lambda t}}{\lambda ^{2}+1}.}$

On the other hand, the exponential response formula method requires characteristic polynomial ${\displaystyle P(s)=s^{2}+1}$ to be found, after which the non-homogeneous terms ${\displaystyle f(t)=Be^{\gamma t},B=1,\gamma =1}$ is complex replaced. 그런 다음 공식을 사용하여 특정 솔루션을 찾는다.

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {e^{\lambda t}}}}{\frac {e^{\lambda t}{\lambda ^{2}+1}}}}.}$

일반화 지수 반응식

지수 응답 공식 방법은 $P{\displaystyle }$ (${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ $(\displaystyle$P$(\gamma )\neq 0}$의 경우에 논의되었다$.$ $P{\displaystyle }$(${\displaystyle \gamma }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{},}$ P$displaystyle$P$(\gamma )=0,P (\gamma$)=\$neq$ 0$}$의 경우 공명 반응 공식도 고려된다$.$

In the case of ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0,P^{k}(\gamma )\neq 0}$, we will discuss how the ERF method will be described in this section.

$P{\displaystyle }$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle P(D)}$을(를) 일정한 계수를 갖는 다항 연산자로 하고$$, $P{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle m^{}}$) ${\$의 $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$ -th$$ 파생상품으로 한다. 그렇다면 ODE

${\displaystyle P}$( ${\displaystyle D}$) ${\displaystyle y}$= B ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$ t$\},$ 여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}은$($는) 실제 또는$$ 복잡하다.

다음과 같은 특별한 해결책을 가지고 있다.

• ${\displaystyle P(\gamma )\neq 0}$. In this case, a particular solution will be given by ${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Be^{\gamma t}}{P(\gamma )}}}$.(exponent response formula)

• ${\displaystyle P(\gamma )=0}$ but ${\displaystyle P'(\gamma )\neq 0}$. In this case, a particular solution will be given by ${\displaystyle y_{p}(t)={\tfrac {Bte^{\gamma t}}{P'(\gamma )}}}$.(resonant response formula)

• ${\displaystyle P(\gamma )=P'(\gamma )=\cdots =P^{(k-1)}(\gamma )=0}$ but ${\displaystyle P^{k}(\gamma )\neq 0}$. In this case, a particular solution will be given by

위의 방정식을 일반화 지수 반응식이라고 한다.

예

다음 ODE의 특정 솔루션을 찾으려면

$(\displaystyle y''-3y'+2y=6e^{t}.}$

특성 ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$은 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$s )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 초}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle P=s^{3}-3s+2$} 입니다$.$

계산을 통해 다음과 같은 결과를 얻는다.

${\displaystyle P(1)=0,P'(1)=0,P"(1)=6\neq 0.}$

원래 지수 응답 공식은 0으로 나누기 때문에 이 경우에 적용할 수 없다. 따라서 일반화된 지수 반응 공식과 계산된 상수를 사용하여 특정 해법은

${\displaystyle y_{p}(t)={\frac {6t^{2}e^{t}}{P"(1)}}}}}}}{{6}}=t^{2}e^{t}}}}.}$

적용 예

스프링에 매달린 물체의 움직임

변위 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 있는 스프링에 매달린 물체$.$ 작용하는 힘은 중력, 스프링 힘, 공기 저항력, 그리고 다른 외부 힘이다.

Hoke의 법칙에서 사물의 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[6][4]

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+r{dx}{dx}{dt}+kx=F(t}$

여기서 $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle F(t)}$은(는) 외부 힘이다.

이제 드래그가 무시되고 $F{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(t)=$라고 가정한다.$F_{0}\cos(\omega t$ 여기서 $\Omega {\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{\frac{k}{}}}$ m ${\$ (외력 주파수는 자연 주파수와 일치한다. 따라서 사인파 강제 항이 있는 고조파 오실레이터는 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}+kx=F(t)}$

그렇다면, 특별한 해결책은

${\displaystyle x_{p}={\frac {F_{0}}{2{\sqrt {km}}t\sin(\omega t).}$

복합 교체 및 ERF 적용: $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이 복합 DE에 대한 솔루션인$$ 경우

${\displaystyle m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}+kz=F_{0}e^{i\omega t}}$

그러면 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{Re}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle x_{p}=\operatorname {Re}(z_{p})$이 지정된 DE에 대한 해결책이 될 것이다$$.

The characteristic polynomial is ${\displaystyle P(s)=ms^{2}+k}$, and ${\displaystyle \gamma =i\omega }$, so that ${\displaystyle P(\gamma )=0}$. However, since ${\displaystyle P'(s)=2ms}$, then ${\displaystyle P'(\$$감마 )=P'(i\omega )=2m\omega$ i$\neq$ 0$\}.$ 따라서 ERF의 공명 케이스는

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}te^{i\omega t}}{P'(\gamma )}}\right)\\[4pt]&=\operatorname {Re} \left({\frac {F_{0}t(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t))}{2mi\omega }\\[4pt]&=\operatorname {Re} \re({\frac {-F_{0}t(i\cos(\omega t)-\sin(\omega t)))}{2m\omega}}\\[4pt]\&={\frac {F_{0}t\sin(\omega t)}{2m\omega }\\\[4pt]&={{0}{{{\sqrt}}}}}}{{{\m}}}}}}}}}\mega t.\end{정렬}}}$

전기 회로

직렬로 연결된 저항(${\displaystyle }$ ${\displaystyle R}),$ $$캐패시터($C {\displaystyle$ C$}),$ $$코일 와이어(${\displaystyle }$ ${\displaystyle L}),$ 배터리(${\displaystyle }$ ${\displaystyle E})$로 구성된 전기 회로를 흐르는 전류를 고려하십시오.$$ ^[3][6]

이$$ 시스템은 Kirchhoff의 전압 법칙이라 불리는 Kirchhoff에 의해 발견된 일체형 차동 방정식으로 설명되며, $저항기{\displaystyle }$ R ${\displaystyle$ R$\},$ $커패시터{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C$ $인덕터{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle$$L$ $배터리{\displaystyle }$$E$ 전류 I ${\displaystystyle I}$과 다음과 같다.

${\displaystyle LI'(t)+{\frac {1}{1}{C}\int _{t_{0}^{0}I\,ds=\{0}^{0}E\,ds}$

위 방정식의 양쪽을 구별하여 다음과 같은 ODE를 생성한다.

$LI(t)+RI'(t)+{\frac {1}{C}I(t)=E(t)}$

이제 $E{\displaystyle }$ (${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$= E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \sin }$sin${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ t )${\displaystyle E(t)=$라고 가정한다.$E_{0}\sin(\omega _{0}t$ 여기서 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$0 = ${\displaystyle 1\sqrt{\frac{\mathrm{}}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\frac{L}{}}}$ C$${\$displaystyle \omega \0}={\sqrt {\tfrac {1}{$1}{{}}}{{}}}}}{}}}}}}}}}$LC$ (Ω ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 LRC 회로에서는 공명 주파수라고 한다$$. 위의 가정 하에서 입력 $E{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle E(t)}$에 해당하는 출력(특수 솔루션)을 찾을 수 있다$$. 이를 위해 주어진 입력은 다음과 같은 복잡한 형태로 변환될 수 있다.

$[\displaystyle E(t)=E_{0}\sin(\omega _{0}t)=\operatorname {Im}(E_{0}e^{i\omega _{0}t})}$

The characteristic polynomial is ${\displaystyle P(s)=Ls^{2}+Rs+{\frac {1}{s}}}$, where ${\displaystyle P(i\omega _{0})=i\omega _{0}R\neq 0}$. 따라서 ERF로부터 다음과 같은 특정 솔루션을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}I_{p}&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega _{0}t}}}{P(i\omega _{0}}}\오른쪽)\\&=\operatorname {Im} \left({\frac {E_{0}e^{i\omega_{0}t}}{i\omega_{0}R}\오른쪽)\\\&=\operatorname {Im} \좌({\frac {-E_{0})(i\cos(\omega _{0}t)-\sin(\omega _{0}t))}{\omega _{0}R}\\[4pt]&={\frac {-E_{0}\cos(\omega _{0}t)}{\omega _{0}R}\ended}}}}}}}}}}$

복합 게인 및 위상 지연

일반 LTI 시스템 고려

${\displaystyle P(D)x=Q(D)f(t)}$

where ${\displaystyle f(t)}$ is the input and ${\displaystyle P(D),Q(D)}$ are given polynomial operators, while assuming that ${\displaystyle P(s)\neq 0}$. In case that ${\displaystyle f(r)=$$F_{0}\cos(\omega$ t$)\},$ 주어진 방정식에 대한 특정 해결책은

${\displaystyle x_{p}(t)=\operatorname {Re} \left(F_{0}{\frac {Q(i\omega)}}{P(i\omega)}}}e^{i\omega t}\right).}$

물리학과 신호 처리에서 주로 사용되는 다음과 같은 개념을 고려한다.

• 입력의 진폭은 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 입니다$.$ 이것은 입력 수량과 단위가 같다.
• 입력의 각도 주파수는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$이며$,$ 라디안/시간 단위를 가지고 있다. 기술적으로 주파수에는 사이클/시간 단위가 있어야 함에도 불구하고 종종 주파수라고 언급될 것이다.
• 응답의 진폭은 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$ Q${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$/ P${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$) $displaystyle A=F_{0}$ Q$(i\omega )/P(i\omega$) $\}\}.$ 응답량과 단위가 같다.
• 게인은 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= Q ${\displaystyle (i}$ ${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle i}$ Ω ) / P (i ${\displaystyle \Omega }$) $displaystyle$ g$(\omega )= Q(i\omega )/P(i\omega$ 게인은 입력 진폭에 곱하여 응답의 진폭을 얻는 요인이다. 입력 단위를 출력 단위로 전환하는 데 필요한 단위를 가지고 있다.
• 위상 지연은 $\varphi {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{Arg}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (Q}$(${\displaystyle \mathrm{i\Omega }}$)${\displaystyle }$/ P ${\displaystyle (i}$ ${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$)${\displaystyle \phi =-\operatorname {Arg}$ ($Q(i\omega )/P(i\omega )}}$이다$.$ 위상 지연은 라디안의 단위를 가지고 있다. 즉, 차원이 없다.
• 시차는 $\varphi {\displaystyle }$ /${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \phi /\omega$ $\}.$ 시간 단위가 있다. 출력의 피크가 입력의 피크보다 뒤처지는 시간이다.
• 복합 이득은 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle P}$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle$ Q$(i\omega )/P(i\omega )}$ 입니다$.$ 이것은 복잡한 입력을 곱하여 복잡한 출력을 얻는 요인이다.

참조

외부 링크

• 측정 시스템 및 지수 반응 공식
• 일반화 지수 반응식
• LTI 운영자 및 ERF의 기본 사항^{[영구적 데드링크]}