극단 그래프 이론

Turan graphT(n,r)는 극단적 그래프의 예다. 이 값은 (r + 1)-크리크가 없는 (r + 1) 꼭지점에 있는 그래프에 대해 가능한 최대 에지 수를 가지고 있다. T(13,4) 입니다.

극단적 그래프 이론은 그 자체가 수학의 영역인 결합학의 한 분야로, 극단적 결합론과 그래프 이론의 교차점에 놓여 있다. 본질적으로, 극단적 그래프 이론은 그래프의 글로벌 특성이 지역 하부 구조에 어떻게 영향을 미치는지 연구한다. 다양한 그래프 속성, 둘 다 세계적인( 같은 번호의 vertices과 가장자리)과 지방(특정 subgraphs의 존재 같은), 극치 그래프 이론에서 항상 별 문제 최적화 문제: 어떻게 또는 작은 큰 그래프의 매개 변수에 할 수 있는 한 추진될 수 있는 사이에 양적과 연결된 극치 그래프 이론 거래에[1]결과 있다그래프가 충족해야 하는 몇 가지 제약조건이 있다면? ^[2] 이러한 최적화 문제에 대한 최적의 해결책인 그래프를 극한 그래프라고 하며 극한 그래프는 극한 그래프 이론에서 중요한 연구 대상이다.

극단적 그래프 이론은 램지 이론, 스펙트럼 그래프 이론, 계산 복잡성 이론, 첨가 결합 이론과 같은 분야와 밀접하게 관련되어 있으며 확률론적 방법을 자주 채택하고 있다.

역사

극단적 그래프 이론은 가장 엄밀한 의미에서 헝가리인들이 개발하고 사랑한 그래프 이론의 한 분야다.

Bollobás (2004) ^[3]

맨텔의 정리(1907)와 투란의 정리(1941)는 극단적 그래프 이론 연구에 있어서 최초의 이정표 중 일부였다. ^[4] 특히 투란의 정리는 나중에 에르드-스톤 정리(1946년)와 같은 결과의 발견에 동기가 될 것이다.^[1] $이$ 결과는 H $H$ -free $H$ 그래프에서 색도 숫자를 최대 에지 수와 연결하기 때문에 놀랍다. Erdős-Stone에 대한 대안적인 증거는 1975년에 제시되었고, 극단적 그래프 이론 문제의 해결에서 필수적인 기술인 Szemerédi 규칙성 보조기법을 활용했다.^[4]

주제 및 개념

그래프 컬러링

피터슨 그래프에는 3번 색상이 있다.

그래프 $G$ $G$ 의 적절한 (버텍스) 색상은 $G$ 한 $G$ 두 정점이 동일한 색을 $가지지$ 않도록 G {\displaystyle $G}$ 의 정점을 색상으로 나타낸 것이다 $G$ $.$ $G$ $G$ 을(를) 적절하게 색상으로 표시하기 위해 필요한 최소 색 $G$ 를 G{\ $displaystyle G}$ 라고 $\chi (G)$ , $G$ $\chi (G)$ ( G $\chi (G)$ ) $\chi (G)$ 로 표시한다 $\chi (G)$ 특정 그래프의 색도 수를 결정하는 것은 극한 그래프 이론에서 근본적인 질문이다. 영역과 관련 영역의 많은 문제가 있기 때문이다.s는 그래프 색상으로 공식화될 수 있다.^[2]

Two simple lower bounds to the chromatic number of a graph $G$ is given by the clique number $\omega (G)$ —all vertices of a clique must have distinct colors—and by $V(G) /\alpha (G)$ , where $\alpha (G)$ is the indep엔덴스 번호, 주어진 색상의 정점 집합이 독립된 집합을 형성해야 하기 때문이다.

A greedy coloring gives the upper bound $\chi (G)\leq \Delta (G)+1$ , where $\Delta (G)$ is the maximum degree of $G$ . When $G$ is not an odd cycle or a clique, Brooks' theorem states that the upper bound can be reduced to $\Delta (G)$ $\Delta (G)$ ) ${\displaystyle \Delta (G$ $G$ $G$ 이 평면 그래프일 $G$ 때, 4색 $G$ 에서는 G{\ $displaystyle G}$ 이(가) 최대 4개의 색수를 가지고 $G$ 있다고 명시한다.

일반적으로 주어진 그래프에 규정된 수의 색상이 있는지 여부를 결정하는 것은 NP-hard인 것으로 알려져 있다.

정점 색소 외에도 가장자리 색소와 같은 다른 종류의 색소도 연구된다. The chromatic index $\chi '(G)$ of a graph $G$ is the minimum number of colors in a proper edge-coloring of a graph, and Vizing's theorem states that the chromatic index of a graph $G$ is either $\Delta (G)$ or ${\displa$ $ystyle \Delta (G)+1$

금지된 하위 그래프

금지된 서브그래프 문제는 극단적 그래프 이론의 중심 문제 중 하나이다. 그래프 $G$ ${\$ $displaystyle G}$ 을(를) 지정하면 $,$ 금지된 하위 그래프 문제는 G {\ $displaystyle$ n} -vertex $n$ g $G$ 에 $\operatorname {ex} (n,G)$ 대한 하위 그래프를 포함하지 $않는$ n ${\displaystyle$ n $}$ $-vertex {ex}(n$ $,$ $G)$ 에서 ex $⁡($ $\operatorname {ex} (n,G)$ )의 최대 에지수를 요구한다.

$G=K_{r}$ = $G=K_{r}$ $G=K_{r}$ ${\$ 가 완전한 그래프인 $G=K_{r}$ 경우, 투란의 정리는 $\operatorname {ex} (n,K_{r})$ ⁡ ( $\operatorname {ex} (n,K_{r})$ $\operatorname {ex} (n,K_{r})$ $\operatorname {ex} (n,K_{r})$ ) ${\displaystyle \operatorname {ex}(n, K_{r})$ 에 정확한 값을 부여하고 $\operatorname {ex} (n,K_{r})$ 이 최대값을 나타내는 모든 그래프를 특징짓는다. 이러한 그래프를 투란 그래프라고 한다. For non-bipartite graphs $G$ , the Erdős–Stone theorem gives an asymptotic value of $\operatorname {ex} (n,G)$ in terms of the chromatic number of $G$ . The problem of determining the asymptotics of $\operatorname {ex} (n,G)$ when $G$ $G$ 은 $G$ (는) 초당적 그래프가 열려 $,$ G {\ $displaystyle G}$ 이(가) 완전한 $G$ 초당적 그래프일 경우 이를 Zarankiewicz 문제로 알려져 있다.

동형성 밀도

그래프 $G$ ${\$ $displaystyle G}$ 에 $H$ 있는 $그래프$ H{\ $displaystyle$ H}의 $t(H,G)$ 동형성 $t(H,G)$ $t(H$ , $G$ ) $t(H,G)$ {\ $displaystyle$ G $}$ 의 꼭지점 $G$ 에서 G ${\$ $displaystyle G$ }의 꼭지점 집합으로 $H$ 임의로 선택한 지도가 그래프 $G$ 동형성일 확률도 설명한다 $G$ . $G$ $G$ 의 하위 그래프로 그래프 $H$ $H$ 이(가) 발견되는 $H$ 빈도를 설명하는 하위 그래프의 밀도와 밀접한 관련이 있다 $G$

금지된 서브그래프 문제는 $G$ $G$ -밀도 $G$ 0으로 그래프의 에지 밀도를 최대화하는 것으로 재조정할 수 있으며, 이는 다양한 그래프 $H$ ${\displaystyle H$ 에 $t(H,G)$ 대한 $t(H,G)$ ( $t(H,G)$ , G $t(H,G)$ ) ${\displaystytle t, G}$ 관련 불평등인 그래프 동형성 불평등의 형태로 자연스럽게 일반화로 이어진다. 고밀도 그래프의 한계로 발생하는 개체인 그래핀까지 동형체 밀도를 확대함으로써 그래프 동형체 밀도를 통합의 형태로 작성할 수 있으며, 카우치-슈바르츠 불평등과 쾰더의 불평등과 같은 불평등을 이용하여 동형체 불평등을 도출할 수 있다.

동형성 밀도와 관련된 주요 개방적 문제는 시도렌코의 추측으로, $G$ $G$ 의 에지 밀도 측면에서 $G$ 초당적 그래프의 동형성 밀도에 대한 엄격한 하한을 $그래프$ G $G$ 에 명시하고 있다 $G$

그래프 정규성

일반 칸막이에 있는 부품 사이의 가장자리는 "랜덤 유사" 방식으로 작동한다.

Szemerédi의 정규성 보조정리에서는 다음과 같은 의미에서 모든 그래프는 '정규적'이라고 기술하고 있다: 주어진 그래프의 꼭지점 세트는 경계된 수의 부분으로 분할할 수 있다. 대부분의 부품 쌍들 사이의 초당적 그래프가 무작위적인 초당적 그래프처럼 작동한다.^[2] 이 분할 영역은 원래 그래프의 특성에 대한 정보를 나타내는 구조 근사치를 제공한다.

규칙성 보조정리법은 극단적 그래프 이론의 중심적 결과물이며, 또한 적층 결합법과 계산 복잡성 이론의 인접 분야에도 수많은 응용이 있다. (Szemerédi) 규칙성 외에도 강한 규칙성, 프리제-칸난 약한 규칙성 등 그래프 규칙성의 밀접한 관련성이 있는 개념과 하이퍼그래프로의 규칙성 확대도 연구되었다.

그래프 규칙성의 적용은 종종 레마와 제거 레마의 계산 형태를 이용한다. 가장 간단한 형태에서 그래프 계산 보조정리기는 서브그래프의 개수를 추정하기 위해 정규 파티션의 부품 쌍 사이의 정규성을 사용하며, 그래프 제거 보조정리에는 주어진 서브그래프의 복사본이 거의 없는 그래프를 주어진다면 소수의 가장자리를 제거하여 서브그래프의 모든 복사본을 제거할 수 있다고 명시되어 있다.

참고 항목

관련분야

기법과 방법

정리 및 추측(위에서 언급한 것 외에)

참조

^ ^a ^b Diestel, Reinhard (2010), Graph Theory (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 169–198, ISBN 978-3-642-14278-9, archived from the original on 2017-05-28, retrieved 2013-11-18
^ ^a ^b ^c Alon, Noga; Krivelevich, Michael (2008). "Extremal and Probabilistic Combinatorics". In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 562–575. doi:10.1515/9781400830398. ISBN 978-0-691-11880-2. JSTOR j.ctt7sd01. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. OL 19327100M. Zbl 1242.00016.
^ Bollobás, Béla (2004), Extremal Graph Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43596-1
^ ^a ^b Bollobás, Béla (1998), Modern Graph Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 103–144, ISBN 978-0-387-98491-9

[:0-1] Diestel, Reinhard (2010), Graph Theory (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 169–198, ISBN 978-3-642-14278-9, archived from the original on 2017-05-28, retrieved 2013-11-18

[pcm-2] Alon, Noga; Krivelevich, Michael (2008). "Extremal and Probabilistic Combinatorics". In Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (eds.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. pp. 562–575. doi:10.1515/9781400830398. ISBN 978-0-691-11880-2. JSTOR j.ctt7sd01. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. OL 19327100M. Zbl 1242.00016.

[3] Bollobás, Béla (2004), Extremal Graph Theory, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43596-1

[b104-4] Bollobás, Béla (1998), Modern Graph Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 103–144, ISBN 978-0-387-98491-9

[2]

[3]

[4]

[1]

Search