충실하게 평강하

충실하게 평탄한 하강은 대수 기하학에서 나온 기법으로, 충실하게 평탄한 형태론의 목표물에 대해 결론을 도출할 수 있다.납작하고 굴욕적인 그러한 형태는 흔히 볼 수 있는데, 한 예는 열린 커버에서 나온 것이다.

실제로, 친근한 관점에서, 이 기술은 착실하게 평평한 기저변경을 한 후에 링이나 계략에 대한 어떤 진술을 증명할 수 있게 한다.

"바닐라"는 충실하게 평탄한 하강은 일반적으로 거짓이다. 대신, 충실하게 평탄한 하강은 어떤 미세한 조건(예: 준 컴팩트 또는 유한한 표시의 국소적)에서는 유효하다.

충실하게 평탄한 하강은 벡의 일변도 정리의 특별한 경우다.^[1]

기본형식

$A{\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$을(를) 충실하게 플랫 링 동형상(flat ring homomorphism)이$$ 되게 하라.Given an ${\displaystyle A}$-module ${\displaystyle M}$, we get the ${\displaystyle B}$-module ${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$ and because ${\displaystyle A\to B}$ is faithfully flat, we have the inclusion ${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$. Moreover,we have the isomorphism ${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$ of ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$-modules that is induced by the isomorphism ${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$ andcocycle 조건을 만족하는 경우:

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\reason \varphi ^{2}}$

여기서 $\phi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ ${\displaystyle 2^{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {\mathrm{B}}^{}}$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$ 2 ${\$$N\otimes B^{\otimes 2}{\n\sim }{\\}}{{\\}}}N\otimes$ B$^{\otimes2}}:$ 다음과 같이 주어진다$$.^[2]

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi(n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi(n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi(n\otimes b)\otimes c}$

with ${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$. Note the isomorphisms ${\displaystyle \varphi ^{i}:$$N\otimes B^{\otimes 2}{\n\sim }{\\}}{{\}N\otimes B^{\otime$}}}은$($는) $and{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$에 의해서만 결정되며$$$$ M$.$ {\$displaystystylem$ M$.}$은 $포함$하지 않는다.

Now, the most basic form of faithfully flat descent says that the above construction can be reversed; i.e., given a ${\displaystyle B}$-module ${\displaystyle N}$ and a ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$-module isomorphism ${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B$} $}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 불변$$ 하위 모듈:

${\displaystyle M=\{n\in N \varphi(n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

M${\displaystyle \mathrm{is}}$ B${\displaystyle }$= N ${\displaystyle M\otimes B=N}$과 같은 경우$.$^[3]

자리스키 강하

자리스키 강하(Zariski-)는 단순히 (Zariski--) 오픈 커버에 붙이면 준정합성 피복을 얻을 수 있다는 사실을 가리킨다.그것은 충실하게 평강하행의 특수한 경우지만 하강문제를 부속사건으로 줄이기 위해 자주 사용된다.

세부적으로 $Q{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle o}$ h${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {Q}coh(X)}$은(는) 체계 X에 대한 준정합성 피복의 범주를 나타내도록$$ 한다.Then Zariski descent states that, given quasi-coherent sheaves ${\displaystyle F_{i}}$ on open subsets ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ with ${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$ and isomorphisms ${\displayst$$yle \varphi _{ij:$$F_{i} _{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j} _{U_{i}\cap U_{j}}}$ such that (1) ${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$ and (2) ${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$ on ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_$${k}}$, then exists a unique quasi-coherent sheaf ${\displaystyle F}$ on X such that ${\displaystyle F _{U_{i}}\simeq F_{i}}$ in a compatible way (i.e., ${\displaystyle F _{U_{j}}\simeq F_{j}}$ restricts to ${\displaystyle F{}_{U_i\cap U_j}\simeq F_i{}_{U_i\cap U_j}}$${\displaystyle F _{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i} _{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j} _{U_{i}\cap U_{j}}}$).^[4]

In a fancy language, the Zariski descent states that, with respect to the Zariski topology, ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$ is a stack; i.e., a category ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ equipped with the functor ${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$ the category of (relative) schemes that has an유효 강하 이론Here, let ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$ denote the category consisting of pairs ${\displaystyle (U,F)}$ consisting of a (Zariski)-open subset U and a quasi-coherent sheaf on it and ${\displaystyle p}$ the forgetful functor ${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$.

준접합성층 강하

이 영역에는 다음과 같은 주요 결과에 대한 간결한 진술이 있다: (Scheme S에 대한 준정합성 피복의 프리스트랙은 어떤 S-scheme X에 대해, 프리스트랙의 각 X 포인트가 X에 준정합성 피복이라는 것을 의미한다.)

그 증거는 자리스키 강하와 아핀 사건에서 충실하게 평평한 강하를 이용한다.

여기서 "computer-properties"는 제거할 수 없다. https://mathoverflow.net/questions/127362/counter-example-to-faithfully-flat-descent/를 참조하십시오.

참고 항목

• 아미츠르 콤플렉스
• 힐버트 계획
• 인용구획정

메모들

참조

• SGA 1, Ch VIII – 이것이 주요 참고 사항이다.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Street, Ross (20 Mar 2003). "Categorical and combinatorial aspects of descent theory". arXiv:math/0303175. (2개항의 자세한 논의)
• 안젤로 비스토리, 그로텐디크 토폴로지 노트, 섬유화된 범주 및 하강 이론(2008년 9월 2일 업데이트)
• Waterhouse, William (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117