포스터 리액턴스 정리

Foster의 리액턴스 정리는 전기 네트워크 분석 및 합성 분야에서 중요한 정리입니다. 이 정리는 수동적이고 손실이 없는 2 단자(원 포트) 네트워크의 리액턴스가 주파수에 따라 항상 엄격하게 단조롭게 증가한다는 것을 나타냅니다. 인덕터와 커패시터의 리액턴스는 주파수에 따라 개별적으로 증가하며 이를 기반으로 일반적으로 수동 무손실 네트워크에 대한 증거를 구축할 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 이 정리의 증명은 1924년 로널드 마틴 포스터에 의해 발표되었지만, 이 원리는 일찍이 미국 전화 및 전신 회사의 포스터의 동료들에 의해 발표되었습니다.

그 정리는 입학과 이민에 대한 포괄적인 개념으로 확장될 수 있습니다. 포스터 정리의 결과는 리액턴스의 0과 극이 주파수와 교대해야 한다는 것입니다. Foster는 이 속성을 사용하여 이러한 네트워크를 실현하기 위한 두 가지 표준 형식을 개발했습니다. 포스터의 작업은 네트워크 합성 개발의 중요한 출발점이었습니다.

증폭기와 같은 능동 부품을 사용하여 Non-Foster 네트워크를 구성하는 것이 가능합니다. 이들은 음의 인덕턴스 또는 캐패시턴스와 동등한 임피던스를 생성할 수 있습니다. 음의 임피던스 변환기는 그러한 회로의 한 예입니다.

설명.

리액턴스는 복잡한 전기 임피던스의 가상 부분입니다. 커패시터와 인덕터는 모두 리액턴스를 가지며(부호는 반대임) 주파수에 따라 다릅니다. 네트워크가 수동적이고 무손실이어야 한다는 사양은 네트워크에 저항기(무손실) 또는 증폭기 또는 에너지원(수동적)이 없음을 의미합니다. 결과적으로 네트워크는 전적으로 인덕터와 커패시터로 구성되어야 하며 임피던스는 순수하게 실수 부분이 0인 허수일 것입니다. Foster의 정리는 네트워크의 입장에 동일하게 적용되며, 즉 수동적이고 무손실 단일 포트의 수용도(입장의 가상 부분)는 주파수에 따라 단조적으로 증가합니다. 이 결과는 임피던스의 역수이기 때문에 반직관적으로 보일 수 있지만 쉽게 증명됩니다. 임피던스가

Z=iX\,

$\scriptstyle X$ 서 $\scriptstyle X$ X {\ $displaystyle$ \ $scriptstyle X}$ 는 $\scriptstyle X$ 리액턴스이고 $\scriptstyle i$ ${\$ 는 $\scriptstyle i$ 허수 단위이며, 다음은 어드미션입니다.

Y={\frac {1}{iX}}=-i{\frac {1}{X}}=iB

여기서 $\scriptstyle B$ ${\$ 은 $\scriptstyle B$ (는) 감수성입니다.

X가 주파수에 따라 단조적으로 증가하는 경우 1/X는 단조적으로 감소해야 합니다. -1/X는 결과적으로 단조적으로 증가해야 하므로 B도 증가하고 있음이 증명됩니다.

네트워크 이론에서 원리나 절차가 임피던스나 어드미션에 동일하게 잘 적용되는 경우가 종종 있는데, 이는 전기 네트워크에 대한 이중성의 원리를 반영하는 것입니다. 이러한 상황에서 임피던스 또는 어드미턴스 중 하나를 의미할 수 있는 불변성 개념을 사용하는 것이 편리합니다. 특정 예제를 계산하고자 할 때까지 단위를 지정하지 않고 수학을 수행합니다. 따라서 포스터의 정리는 다음과 같이 보다 일반적인 형태로 표현할 수 있습니다.

포스터 정리(불투명도 형태)

수동적이고 무손실 원포트의 상상적 불변성은 주파수에 따라 엄격하게 단조롭게 증가합니다.

포스터의 정리는 꽤 일반적입니다. 특히 Foster가 이산 인덕터와 커패시터의 관점에서 공식화했지만 분산 요소 네트워크에 적용됩니다. 따라서 낮은 주파수와 마찬가지로 마이크로파 주파수에서도 적용 가능합니다.^[1]^[2]

예

유도기의 주파수에 대한 반응도	커패시터의 주파수에 대한 반응도
직렬 LC 회로의 주파수에 대한 반응 그림	병렬 LC 회로의 주파수에 대한 리액턴스 그림

다음 예는 여러 개의 간단한 회로에서 이 정리를 보여줍니다.

인덕터

유도기의 임피던스는 다음과 같습니다.

Z=i\omega L\,

\scriptstyle L

{\

L

}

은

\scriptstyle L

(는) 인덕턴스입니다.

ω {\displaystyle

\

scriptstyle \

omega}이(가) 각도 주파수입니다.

그래서 반응은,

X=\omega L\,

검사 결과, 빈도에 따라 단조적으로(그리고 선형적으로) 증가하는 것을 알 수 있습니다.^[3]

축전기

커패시터의 임피던스는 다음과 같습니다.

Z={\frac {1}{i\omega C}

\scriptstyle C

{\

C

}

은

\scriptstyle C

(는) 용량입니다.

그래서 반응은,

X=-{\frac {1}{\omega C}

주파수에 따라 단조적으로 증가하고 있습니다. 커패시터의 임피던스 기능은 인덕터의 어드미션 기능과 동일하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 일반적인 결과는 포스터의 정리를 따르는 모든 불침투함수의 이중 역시 포스터의 정리를 따를 것이라는 것입니다.^[3]

직렬 공진 회로

직렬 LC 회로는 인덕터와 커패시터의 임피던스의 합인 임피던스를 갖습니다.

Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}=i\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}\right)

저주파에서는 리액턴스가 커패시터에 의해 지배되므로 크고 음의 값을 갖습니다. 이는 0으로 갈수록 단조적으로 증가합니다(커패시터 리액턴스의 크기가 점점 작아집니다). 리액턴스는 커패시터와 인덕터 리액턴스의 크기가 동일한 지점(공진 주파수)에서 0을 통과한 후 인덕터 리액턴스가 점진적으로 우세해짐에 따라 단조적으로 계속 증가합니다.^[4]

병렬 공진 회로

병렬 LC 회로는 직렬 회로의 이중화이므로 그 어드미턴스 함수는 직렬 회로의 임피던스 함수와 동일한 형태입니다.

Y=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}

임피던스 기능은,

Z=i\left({\frac {\omega L}{1-\omega ^{2})LC}}\right)

낮은 주파수에서 리액턴스는 인덕터에 의해 지배되며 작고 양의 값을 갖습니다. 이는 인덕터와 커패시터의 감도는 동일하고 반대이며 취소되는 반공진 주파수에서 극 쪽으로 단조적으로 증가합니다. 극을 지나면 리액턴스는 크고 음수이며 정전용량에 의해 지배되는 0으로 증가합니다.^[4]

0과 극

Foster 정리의 결과는 주파수가 증가함에 따라 모든 수동적 투과 함수의 0과 극이 교대해야 한다는 것입니다. 극을 통과한 후 함수는 음이 되며 단조적으로 증가하려면 다음 극에 도달하기 전에 0을 통과해야 합니다.^[1]

투과도 함수의 극과 0은 Foster 네트워크의 주파수 특성을 완전히 결정합니다. 동일한 극과 0을 갖는 두 개의 Foster 네트워크는 그들의 투과율 함수가 동일할 것이라는 점에서 동등한 회로가 될 것입니다. 그들 사이에는 스케일링 팩터 차이가 있을 수 있지만(임피던스의 모든 요소에 동일한 스케일링 팩터를 곱한 것) 두 임피던스 함수의 모양은 동일할 것입니다.^[5]

포스터 정리의 또 다른 결과는 불침투성의 위상이 주파수에 따라 단조적으로 증가해야 한다는 것입니다. 따라서 Smith 관리도의 Foster immittance 함수 그림은 항상 시계 방향으로 차트를 돌면서 빈도가 증가해야 합니다.^[2]

실현

이산 요소(즉, 분산 요소가 아닌)로 구성된 1포트 수동 불변량은 s의 유리 함수로 나타낼 수 있고,

Z(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}

어디에,

\scriptstyle Z(s)

{\

은

\scriptstyle Z(s)

(는) 송금입니다.

\scriptstyle P(s),\ Q(s)

\scriptstyle P(s),\ Q(s)

{\

는

\scriptstyle P(s),\ Q(s)

실수, 양의 계수를 갖는 다항식입니다.

\scriptstyle s

{\displaystyle \scriptstyle

s

}

는 Laplace 변환 변수로, 정상 상태 AC 신호를 처리할

\scriptstyle s

때

\scriptstyle i\omega

{\

displaystyle \

scriptstyle

i\omega}로 대체할 수 있습니다.

이것은 L과 C 원소의 임피던스가 그 자체로 단순한 유리 함수이고 유리 함수의 대수적 조합이 또 다른 유리 함수를 초래한다는 사실에서 비롯됩니다.

이는 외부 회로가 연결된 네트워크의 위치에서 임피던스가 되어 신호로 "구동"하기 때문에 구동점 임피던스라고 불리기도 합니다. Foster는 그의 논문에서 그러한 무손실 합리적 기능이 실현될 수 있는 방법(실현 가능한 경우)을 두 가지 방법으로 설명합니다. Foster의 첫 번째 형태는 다수의 직렬 연결 병렬 LC 회로로 구성됩니다. Foster의 두 번째 형태의 구동점 임피던스는 다수의 병렬 연결 직렬 LC 회로로 구성됩니다. 구동점 임피던스의 구현은 결코 독특하지 않습니다. Foster의 실현은 극 및/또는 영점이 특정 공진 회로와 직접적으로 연관되어 있다는 장점이 있지만, 그 외에도 많은 실현이 있습니다. 아마도 가장 잘 알려진 것은 필터 설계에서 빌헬름 카우어의 사다리 구현입니다.^[6]^[7]^[8]

비포스터 네트워크

Foster 네트워크는 수동적이어야 하므로 전원을 포함하는 능동 네트워크는 Foster의 정리를 따르지 않을 수 있습니다. 이를 비포스터 네트워크라고 합니다.^[9] 특히, 양의 피드백을 갖는 증폭기를 포함하는 회로는 주파수에 따라 감소하는 리액턴스를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 음의 임피던스 변환기 회로로 음의 커패시턴스와 인덕턴스를 생성할 수 있습니다. 이러한 회로는 양의 리액턴스와 같이 ± π/2의 위상을 갖지만 주파수에 대해 음의 기울기를 갖는 리액턴스 진폭을 갖는 투과도 함수를 갖습니다.

이러한 작업은 Foster 네트워크에서 수행할 수 없는 작업을 수행할 수 있기 때문에 관심이 있습니다. 예를 들어, 일반적인 수동형 Foster 임피던스 매칭 네트워크는 이산 주파수의 전송선과 안테나의 임피던스만 일치시킬 수 있으므로 안테나의 대역폭이 제한됩니다. 비-포스터 네트워크는 연속적인 주파수 대역에서 안테나와 일치할 수 있습니다.^[9] 이를 통해 Chu-Harrington 한계를 위반하여 넓은 대역폭을 갖는 소형 안테나를 생성할 수 있습니다. 실용적인 비포스터 네트워크는 활발한 연구 분야입니다.

역사

이 정리는 전화 다중화 애플리케이션을 위한 개선된 필터에 대한 지속적인 조사의 일환으로 American Telephone & Telegraph에서 개발되었습니다. 이 작업은 상업적으로 중요했습니다. 한 회선으로 통화할 수 있는 수를 늘리면 많은 돈을 절약할 수 있었습니다.^[10] 이 정리는 1922년 캠벨에 의해 처음으로 발표되었지만 증명은 없었습니다.^[11] 필터 설계에서 이 정리는 즉시 크게 사용되었으며, 그 당시 필터 설계의 기술 상태를 요약한 1923년 조벨의 획기적인 논문에 증명과 함께 두드러지게 나타납니다.^[12] Foster는 다음 해에 그의 표준 실현 양식을 포함하는 논문을 발표했습니다.^[13]

독일의 Cauer는 Foster의 작업의 중요성을 파악하고 네트워크 합성의 토대로 활용했습니다. Caauer의 많은 혁신들 중에는 Foster의 연구가 그들 사이의 동형을 발견한 후 모든 2-요소 종류의 네트워크로 확장된 것도 있습니다. Caauer는 현재 양의 실수 함수로 알려진 조건인 다항 함수에서 합리적 1포트 네트워크의 실현 가능성을 위한 필요충분조건을 찾는 데 관심이 있었고, 네트워크가 동등한 역문제, 즉 동일한 다항 함수를 가지고 있었습니다. 이 두 가지 모두 네트워크 이론과 필터 설계에서 중요한 문제였습니다. 포스터 네트워크는 실현 가능한 네트워크의 하위 집합에 불과합니다.^[14]

참고문헌

^ ^a ^b 애벌리와 룹싱어-로맥, 8-9쪽.
^ ^a ^b Radmanesh, p.459.
^ ^a ^b 체리, 100-101쪽.
^ ^a ^b 체리, 100-102쪽.
^ 스미스와 골목, 173쪽.
^ ^a ^b 애벌리와 룹싱어-로맥, 9쪽.
^ 체리, 106-108쪽.
^ 몽고메리 등, 157-158쪽.
^ ^a ^b 애벌리와 룹싱어-로맥, 8쪽.
^ 브레이, 62쪽.
^ 체리, 62쪽.
^ Zobel, pp.5,35-37.
^ 포스터, 1924년.
^ E. Cauer et al., p.5.

서지학

Foster, R. M., "A reactance theorem", Bell System Technical Journal, vol. 3, No. 2, pp. 259–267, 1924년 11월.
Campbell, G. A., "전동파 필터의 물리 이론", Bell System Technical Journal, vol. 1, No. 2, pp. 1-32, 1922년 11월.
Zobel, O. J. "균일 및 복합 전자파 필터의 이론 및 디자인", Bell System Technical Journal, vol. 2, No. 1, pp. 1-46, 1923년 1월.
Matthew M. Radmanesh, RF & 마이크로파 디자인 필수품, 저자House, 2007 ISBN 1-4259-7242-X.
제임스 T. Aberle, Robert Loopsinger-Romak, 비포스터 매칭 네트워크를 가진 안테나, Morgan & Claypool Publishers, 2007 ISBN 1-59829-102-5
콜린 체리, 의사소통 회로의 펄스와 과도, 테일러 & 프란시스, 1950.
K. C. A. Smith, R. E. Alley, 전기 회로: 서론, 캠브리지 대학 출판부, 1992 ISBN 0-521-37769-2
캐롤 그레이 몽고메리, 로버트 헨리 디케, 에드워드 M. Purcell, 마이크로파 회로의 원리, IET, 1987 ISBN 0-86341-100-2
E. Caauer, W. Mathis, R. Pauli, "Wilhelm Caauer의 생애와 작업 (1900-1945), 제14차 네트워크와 시스템의 수학적 이론 국제 심포지엄 (MTNS2000), Perpignan, 2000년 6월. 2008년 9월 19일 검색.
브레이, J, Innovation and Communications Revolution, Institute of Electric Engineers, 2002 ISBN 0-85296-218-5

[Aberle8-9-1] 애벌리와 룹싱어-로맥, 8-9쪽.

[Radmanesh459-2] Radmanesh, p.459.

[Cherry100-3] 체리, 100-101쪽.

[Cherry102-4] 체리, 100-102쪽.

[5] 스미스와 골목, 173쪽.

[Aberle9-6] 애벌리와 룹싱어-로맥, 9쪽.

[7] 체리, 106-108쪽.

[8] 몽고메리 등, 157-158쪽.

[Aberle8-9] 애벌리와 룹싱어-로맥, 8쪽.

[10] 브레이, 62쪽.

[11] 체리, 62쪽.

[12] Zobel, pp.5,35-37.

[Foster,_1924-13] 포스터, 1924년.

[14] E. Cauer et al., p.5.

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