프리 리 대수

수학에서 필드 K에 대한 자유 리 대수학은 K-이중성과 자코비 정체성을 교대로 정의하는 관계 이외에 어떠한 강제적인 관계도 없이 세트 X에 의해 생성되는 리 대수다.

정의

세트 X에 의해 생성되는 자유 리 대수학의 정의는 다음과 같다.

X를 집합으로 하고 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle i\colon X\to L}$ X에서 Lie 대수 L로 집합(함수)의 형태론.The Lie algebra L is called free on X if ${\displaystyle i}$ is the universal morphism; that is, if for any Lie algebra A with a morphism of sets ${\displaystyle f\colon X\to A}$, there is a unique Lie algebra morphism ${\displaystyle g\colon L\to A}$ such that ${\displaystyle f=g\circ i}$.

세트 X를 부여하면 X에 의해 생성되는$$ 고유한 자유 리 $대수{\displaystyle }$ L (${\displaystyle }$X${\displaystyle }$) ${\displaystyle L(X)}$이 존재함을 보여줄 수 있다.

카테고리 이론의 언어에서, X에 의해 생성된 리 대수학으로 세트 X를 보내는 펑터는 세트 카테고리에서 리 알헤브라의 카테고리로 가는 프리 펑터다.즉, 건망증이 심한 펑터에게 맡겨진다.

세트 X의 프리 리 대수학 등급은 자연스레 매겨진다.자유 리 대수학의 0단위는 그 집합의 자유 벡터 공간일 뿐이다.

그 대신에 벡터 공간 V의 자유 리 대수학을 필드 K 위에 있는 리 알헤브라의 망각적인 펑터로부터 필드 K 위에 있는 벡터 공간 K의 망각적인 좌뇌로 정의할 수 있다. 즉, 리 대수 구조는 잊어버렸으나 벡터 공간 구조를 기억한다.

범용포락 대수

집합 X에 있는 자유 리 대수학의 보편적 포괄 대수학은 X에 의해 생성된 자유 연관 대수다.푸앵카레-비르호프-위트 정리에 의해 자유 리 대수학의 대칭대수로서 "같은 크기"가 된다(양쪽이 X도 1의 원소를 부여하여 등급이 매겨진 벡터 공간으로서 이형성이라는 의미).이것은 주어진 정도의 자유 리 대수학 조각의 치수를 설명하는 데 사용될 수 있다.

에른스트 비트(Ernst Witt)는 m-element 세트의 자유 리 대수학에서 k의 기본 정류자 수는 목걸이 다항식(polynomial)에 의해 주어진다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle M_{m}(k)={\frac {1}{k}\sum _{d k}\mu(d)\cdot m^{k/d}}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 뫼비우스 함수다.

유한 집합에서 자유 리 대수학의 범용 포락 대수학의 등급이 지정된 이중은 셔플 대수학이다.이것은 기본적으로 알헤브라를 감싸는 보편적인 알헤브라의 구조가 홉프 대수학의 구조를 가지고 있기 때문에, 셔플 제품은 이 대수학에서 콤뮬레이션의 작용을 기술한다.섞기 제품과 혼합물 사이의 상관 관계에 대한 자세한 설명은 텐서 대수학을 참조하십시오.

홀 세트

자유 리 대수학의 명시적 근거는 홀 세트의 관점에서 주어질 수 있는데, 홀 세트는 X의 자유 마그마 안에 있는 특정한 종류의 부분집합이다.자유 마그마의 원소는 이항 나무로 잎은 X의 원소로 표시되어 있다.홀 세트는 필립 홀의 작업을 바탕으로 그룹별로 마셜 홀(1950)이 도입했다.그 후 빌헬름 마그누스는 그것들이 하위 중앙 시리즈에 의해 주어지는 자유 집단의 여과와 관련된 등급이 매겨진 리 대수학으로서 발생한다는 것을 보여주었다.이 서신은 필립 홀과 위트 때문에 집단 이론에서 정류자 정체성에 의해 동기부여되었다.

린던 베이시스

린든어는 홀어의 특수한 경우로서, 특히 린든어에 해당하는 자유 리 대수학의 기초가 있다.이것을 린돈(Lyndon)기조라고 하는데, 로저 린든(Roger Lyndon)의 이름을 따서 명명하였다.(이를 첸-폭스-린던 기반 또는 린던-이라고도 한다.Shirshov 기준이며, 기본적으로 Shirshov 기준과 동일하다.)순서 알파벳의 린든 단어로부터 다음과 같이 정의된 이 알파벳에 자유 리 대수학의 기초에 이르는 편향 γ이 있다.

• w 단어의 길이가 1이면 $\gamma {\displaystyle (w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \gamma(w)=w}($자유 리 대수 생성기로 간주됨)
• w의 길이가 최소 2인 경우, 린다온어 u에${\displaystyle }w{\displaystyle }$ = ${\displaystyle u}$ v ${\displaystyle w=uv},$ v는 가능한 한 긴 시간("표준 인자화")^[1]으로 작성한다.그러면 ${\displaystyle \gamma }$( w${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle \gamma }$ (${\displaystyle u}$) ,${\displaystyle }$]${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \gamma (w)=[\gamma (u),\gamma (v$

셜쇼프-위트 정리

아나톨리 쉬르쇼프(1953)와 위트(1956)는 자유 리 대수학의 어떤 리 아발지브라도 그 자체로 자유 리 대수라는 것을 보여주었다.

적용들

반실행 리 대수학에 대한 세레의 정리는 발전기와 관계에서 반실행 대수학을 구성하기 위해 자유 리 대수학을 사용한다.

링크 그룹의 Milnor 불변수는 이 글에서 논한 바와 같이 링크의 구성요소에 관한 자유 리 대수학과는 관련이 있다.

또한 피연산자 구성에 자유 리 대수법을 사용하려면 피연산자 눕기를 참조하십시오.

참고 항목

• 자유 객체
• 자유대수학
• 자유군

참조

• Bakhturin, Yu.A. (2001) [1994], "Free Lie algebra over a ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Bourbaki, Nicolas (1989). "Chapter II: Free Lie Algebras". Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 0-387-50218-1.
• Chen, Kuo-Tsai; Fox, Ralph H.; Lyndon, Roger C. (1958), "Free differential calculus. IV. The quotient groups of the lower central series", Annals of Mathematics, Second Series, 68 (1): 81–95, doi:10.2307/1970044, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970044, MR 0102539
• Hall, Marshall (1950), "A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups", Proceedings of the American Mathematical Society, 1 (5): 575–581, doi:10.1090/S0002-9939-1950-0038336-7, ISSN 0002-9939, MR 0038336
• Lothaire, M. (1997), Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 17, Perrin, D.; Reutenauer, Christophe; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, Marcel-Paul; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 76–91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
• Magnus, Wilhelm (1937), "Über Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in German), 1937 (177): 105–115, doi:10.1515/crll.1937.177.105, ISSN 0075-4102, JFM 63.0065.01
• Magnus, Wilhelm; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004). Combinatorial group theory (Reprint of the 1976 second ed.). Mineola, NY: Dover. ISBN 0-486-43830-9. MR 2109550.
• Guy Melançon (2001) [1994], "Hall set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Guy Melançon (2001) [1994], "Hall word", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Melançon, Guy (2001) [1994], "Shirshov basis", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Reutenauer, Christophe (1993), Free Lie algebras, London Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799
• Širšov, Anatoliĭ I. (1953), "Subalgebras of free Lie algebras", Mat. Sbornik, New Series, 33 (75): 441–452, MR 0059892
• Širšov, Anatoliĭ I. (1958), "On free Lie rings", Mat. Sbornik, New Series, 45 (2): 113–122, MR 0099356
• Bokut, Leonid A.; Latyshev, Victor; Shestakov, Ivan; Zelmanov, Efim, eds. (2009). Selected works of A.I. Shirshov. Translated by Bremner, Murray; Kochetov, Mikhail V. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser. MR 2547481.
• Witt, Ernst (1956). "Die Unterringe der freien Lieschen Ringe". Mathematische Zeitschrift. 64: 195–216. doi:10.1007/BF01166568. ISSN 0025-5874. MR 0077525.