프리들린-갠젤 정리

수학에서는 프레이들린-랑젤 정리(마크 프리들린과 알렉산더 D로 인해) Gotzell)은 확률적 과정의 큰 편차 이론의 결과물이다.대충 말하자면, 프리들린-Gandzell 정리는 Ito 확산의 (scaled-down) 샘플 경로가 평균 경로에서 멀리 벗어날 확률에 대한 추정치를 제공한다.이 문장은 비율 함수를 사용하여 정밀하게 작성된다.프레이들린-고젤 정리는 표준 브라운 운동에 대한 힐더의 정리를 일반화한다.

성명서

B는 원점인 0 r^d R에서 시작하는^d R에 대한 브라운의 표준 운동이 되고, X는^ε 형태의^d Ito 확률적 미분 방정식을 푸는 R 값 이토 확산이 되도록 한다.

${\displaystyle {\begin}dX_{t}^{}=b(X_{t}^{\barepsilon }}\,dt+{\sqrt{\barepsilon }}}\dB_{t}\X_{0}^\varepsilones}}}}}}}}}$

여기서 드리프트 벡터장 b : R → R은^dd 균일하게 립시츠 연속이다.다음으로, Barnach 공간 C₀ = C₀([0, T]; R^d)에서,_∞ 프로세스 패밀리(X^ε)_ε>0는 다음과 같이 주어진 좋은 비율 함수 I : C₀ → R ∪ {+∞}로 큰 편차 원리를 만족시킨다.

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{1}{2}}\int _{0}^{T} {\dot {\omega}_{t}-b(\omega _{t}) ^{2}\,dt}$

Ω이 Sobolev 공간¹ H([0, T]; R^d)에 있을 경우 및 I(Ω) = +m³에 있을 경우.즉, 모든 오픈 세트 G ⊆ C와₀ 모든 클로즈드 세트 F ⊆ C에₀ 대해,

${\displaystyle \limsup \downarrow 0}{\big (}\big)\mathbf {P} {\big [}X^{\big ]}\leq -\inf _{\omega \i(\omega)}$

그리고

${\displaystyle \liminf_{\varepsilon \downarrow 0}{\big [}X^{\big ]{\big ]}\gq -\inf _{\omega \i(\omega)}{\big.}$

참조

• Freidlin, Mark I.; Wentzell, Alexander D. (1998). Random perturbations of dynamical systems. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 260 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xii+430. ISBN 0-387-98362-7. 미스터1652127
• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. MR1619036(5.6장 참조)