펑크 변환

일체형 기하학의 수학 분야에서는 펑크 변환(민코프스키-라고도 한다)이 있다.펑크 변환, 펑크-라돈 변환 또는 구형 라돈 변환)은 구의 큰 원에 함수를 통합하여 정의한 적분 변환이다. 1911년 폴 펑크가 민코프스키(1904)의 작품을 바탕으로 도입했다. 라돈 변환과 밀접한 관련이 있다. 펑크 변환을 연구하게 된 최초의 동기는 구체에 졸 메트릭스를 기술하는 것이었다.

정의

펑크 변환은 다음과 같이 정의된다. R의³ 2-sphere S에서² ƒ을 연속 함수로 한다. 그런 다음, 단위 벡터 x의 경우,

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {u} \in C(\mathbf {x})}f(\mathbf {u})\,ds(\mathbf {u} )}$

x에 수직인 모든 단위 벡터로 구성된 원 C(x)의 길이 ds에 대해 적분을 수행한다.

${\displaystyle C(\mathbf {x} )=\{\mathbf {u}\in S^{2}\mid \mathbf {u} \cdot \mathbf {x} =0\}}}$

반전

펑크 변환은 모든 홀수 기능을 소멸시키므로 ƒ이 짝수일 때 그 사건에 관심을 국한시키는 것은 당연하다. 이 경우 펑크 변환은 짝수(연속) 기능을 심지어 연속적인 기능까지 가져가고, 더 나아가서는 되돌릴 수 있다.

구형 고조파

구체의$$ 모든 정사각형 통합함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle f\in L^{2}(S^{2})$는 구형 고조파 Y ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$로 분해할 수 있다.

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infit }\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}(n,k)Y_{n}^{k}}.}$

F의 펑크 변환은 읽는다.

${\displaystyle Ff=\sum _{n=0}^{n}^{n}^{n}P_{n}(0){\hat{f}(n,k)Y_{n}^{k}}}}}}}}}}}}}$

여기서$$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$

${\displaystyle P_{2n}(0)=(-1)^{n}\,{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6n}}}=(-1)^{\frac {(2n-1)!!}{{(2n)!!}}}$

공평한 가치로 이 결과는 펑크(1913년)가 보여줬다.

헬가슨의 반전 공식

또 다른 반전 공식은 헬가슨(1999년) 때문이다. 라돈 변환과 마찬가지로, 반전 공식은 다음에 의해 정의된 이중 변환 F*에 의존한다.

${\displaystyle (F^{*}f)(p,\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi \cos p}\p}int _{\\mathbf {u}\cdot \mathbf {u} =\sin p}f(\mathbf {u} )\}.$

x점으로부터 원호 거리 p의 원 위에 원함수 ƒ의 평균값이다. 역변환:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{1}{2\pi }}}\{\frac {d}}{du}}\int _{0}^{u}F^{*}(FF)(\cos^{-1}v,\mathbf {x})v(u^{2}-v^{2}^{,dv\right\}_{u=1}.}$

일반화

고전적 제형은 회전군 SO(3) 아래에는 불변한다. Funk 변환을 (Bailey et al. 2003) 때문에 특수 선형 그룹 SL(3,R) 하에서 불변하게 하는 방식으로 공식화하는 것도 가능하다. ƒ은 R에³ 대한 도 -2의 균일한 함수라고 가정한다. 그런 다음 선형 독립 벡터 x 및 y의 경우 선 적분 기준 함수 function을 정의하십시오.

${\displaystyle \varphi(\mathbf {x},\mathbf {y})={\frac {1}{2\pi }}\point f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y})(u\,du)}$

원점을 한 바퀴 둘러 싸고 있는 단순한 닫힌 곡선을 인수한다. 차동형식

${\displaystyle f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y})(u\,property-v\,du)}$

closed의 동질성에 따르는 닫힘. 변수의 변화에 의해 φ은 만족한다.

${\displaystyle \phi(a\mathbf {x} +b\mathbf {y},c\mathbf {x} +d\mathbf {y})={\\\frac {1}{ad-bc }}}}\pi(\mathbf {x},\mathbf {y}),}, {y}),}}}}}}}}}}}}}},}$

따라서³ R의 외부 사각형에서 도 -1의 균일한 기능을 제공한다.

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )=\phi(\mathbf {x},\mathbf {y}).}$

Fƒ : λR²³ → R 함수는 ƒ이 구에 있는 함수의 -2 동질 확장이고 λR과²³ 연관된 투영공간이 구에 있는 모든 원의 공간과 동일시되는 경우 펑크 변환에 동의한다. 또는 λR을²³ SL(3,R) 비변동 방식으로³ R과 식별할 수 있으므로 Funk 변환 F 맵은 R³\{0}에서 °2의 균일한 기능까지 부드럽게 하여 R³\{0}에서 °1의 균일한 기능도 부드럽게 한다.

적용들

펑크-라돈 변환은 (Tuch 2004)에 도입된 확산 MRI를 위한 Q-Ball 방법에 사용된다. 볼록 기하학의 교차로 본체와도 관련이 있다. Let ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$ be a star body with radial function ${\displaystyle \rho _{K}({\boldsymbol {x}})=\max\{t:t{\boldsymbol {x}}\in K\},}$ ${\displaystyle x\in S^{d-1}}$. 그러면 K의 교차로 본체 IK는 반경 함수 $\rho {\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle K_{}}$= ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ K ${\$$IK}=F\rho _{K}$ 참조$.$ (가드너 2006, 페이지 305).

참고 항목

• 라돈 변환
• 구면 평균

참조

• Bailey, T. N.; Eastwood, Michael G.; Gover, A. Rod; Mason, L. J. (2003), "Complex analysis and the Funk transform" (PDF), Journal of the Korean Mathematical Society, 40 (4): 577–593, doi:10.4134/JKMS.2003.40.4.577, MR 1995065
• Dann, Susanna (2010), On the Minkowski-Funk Transform, arXiv:1003.5565, Bibcode:2010arXiv1003.5565D
• Funk, Paul (1913), "Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien", Mathematische Annalen, 74 (2): 278–300, doi:10.1007/BF01456044.
• Funk, Paul (1915), "Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung", Mathematische Annalen, 77 (1): 129–135, doi:10.1007/BF01456824, MR 1511851.
• Guillemin, Victor (1976), "The Radon transform on Zoll surfaces", Advances in Mathematics, 22 (1): 85–119, doi:10.1016/0001-8708(76)90139-0, MR 0426063.
• Helgason, Sigurdur (1999), The Radon transform, Progress in Mathematics, 5 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2, MR 1723736.
• Minkowski, Hermann (1904), "About bodies of constant width", Mathematics Sbornik, 25: 505–508
• Tuch, David S. (2004). "Q-Ball imaging". Magn. Reson. Med. 52 (6): 1358–1372. doi:10.1002/mrm.20279. PMID 15562495.
• Gardner, Richard J. (2006), Geometric Tomography, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86680-4