겔판-키릴로프 차원

대수학에서 k-알제브라 A에 대한 우측 모듈 M의 Gelfand-Kirillov 치수(또는 GK 치수)는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {GKdim} =\sup _{V,M_{0}}\imsup _{n\to \fty }\log_{n}\dim_{0}M_{0}V^{n}}}}}}}}}$

여기서 우월감은 모든 유한차원 서브 스페이스 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \subset }$ A ${\displaystyle V\subset A}$ 및$$ $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ M ${\displaystyle M_{0}\subset$ M$}$을(를) 인수한다$.$

대수학은 그 겔판드-키릴로프 치수가 유한하면 다항식 성장을 한다고 한다.

기본 사실

• 한 필드에 걸쳐서 정밀하게 생성된 조합 대수 A의 Gelfand-Kirillov 치수는 A의 Krull 치수(또는 베이스 필드에 걸쳐 A의 분수 영역의 초월 정도)이다.
• 특히 다항 링 $k{\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]$의 GK 치수는 n이다.
• (Warfield) 어떤 실수 r 2 2에 대해서도 GK 치수가 r인 정밀하게 생성된 대수학이 존재한다.^[1]

D-Modules 이론에서

${\displaystyle {Weyl}_{}}$ 대수 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 위에 오른쪽 모듈 M이 주어지면$$Weyl 대수 위에 있는 M의 Gelfand-Kirillov 치수는 M의 치수와 일치하는데, 이는 정의상 M의 Hilbert 다항식의 정도인 것이다.이를 통해 겔판드-키릴로프 차원에 대한 짧은 정확한 순서에서 가덕성을 증명할 수 있으며, 마지막으로 M 차원은 최소한 n이어야 한다고 명시한 번스타인의 불평등을 증명할 수 있다.이것은 최소 치수 n을 가진 것으로서 홀노믹 D-module의 정의로 이어지며, 이들 모듈은 기하학적 랭글랜드 프로그램에서 큰 역할을 한다.

참조

• Smith, S. Paul; Zhang, James J. (1998). "A remark on Gelfand–Kirillov dimension" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 126 (2): 349–352. doi:10.1090/S0002-9939-98-04074-X.
• 쿠티뉴: 대수 D-모듈의 입문서.케임브리지, 1995년

추가 읽기

• Artin, Michael (1999). "Noncommutative Rings" (PDF). Chapter VI.