거리(그래프 이론)

그래프 이론의 수학 분야에서 그래프에서 두 꼭지점 사이의 거리는 그것들을 연결하는 최단 경로(그래프 측지학이라고도 함)의 가장자리 수입니다.이것은 측지선 거리 또는 최단 경로 ^[1]거리라고도 합니다.두 ^[2]정점 사이에 여러 개의 최단 경로가 있을 수 있습니다.두 정점을 연결하는 경로가 없는 경우, 즉 서로 다른 연결 구성요소에 속하는 경우 일반적으로 거리는 무한대로 정의됩니다.

유향그래프의 경우, 2개의 꼭지점 u와 v 사이의 거리 d(u, v)는 적어도 1개의 유향패스가 존재하는 ^[3]한 호로 이루어진 u에서 v까지의 최단 유향패스의 길이로 정의된다.방향성이 없는 그래프의 경우와는 대조적으로 d(u,v)는 d(v,u)와 반드시 일치하지는 않으며, 따라서 이것은 단지 준 메트릭일 뿐이며, 다른 것은 정의되지 않은 것일 수 있다.

관련 개념

한 세트에 걸쳐 정의된 그래프에서 거리 측면에서 한 점의 집합에 걸쳐 정의된 메트릭 공간을 그래프 메트릭이라고 합니다.(무방향 그래프의) 정점 집합과 거리 함수는 그래프가 연결된 경우에만 메트릭 공간을 형성합니다.

정점 v의 편심률 θ(v)는 v와 다른 정점 사이의 최대 거리이다. 기호에서는,

$\displaystyle \ipsilon (v)=\max_{u\in V}d(v,u).}$

그래프에서 노드가 노드로부터 가장 멀리 떨어져 있는 것으로 간주할 수 있습니다.

그래프의 반지름 r은 정점의 최소 편심 또는 기호로는

$\displaystyle r=\min _{v\in V}\epsilon (v)=\min _{v\in V}\max _{u\in V}d(v,u)}$

그래프의 직경 d는 그래프에 있는 정점의 최대 편심입니다.즉, d는 모든 정점 쌍 사이의 최대 거리 또는 대안으로,

$\displaystyle d=\max _{v\in V}\epsilon (v)=\max _{v\in V}\max _{u\in V}d(v,u)}$

그래프의 직경을 찾으려면 먼저 각 정점 쌍 사이의 최단 경로를 찾습니다.이러한 경로 중 가장 긴 것은 그래프의 지름입니다.

반지름 r 그래프에서 중심 정점은 편심률이 r인 정점, 즉 반지름을 달성하는 정점 또는 θ(v) = r인 정점 v이다.

직경 d 그래프의 주변 정점은 다른 정점과의 거리 d인 정점, 즉 직경을 달성하는 정점입니다.형식적으로 θ(v) = d이면 v는 페리페럴이다.

의사 주변 정점 v는 임의의 정점 u에 대해 v가 u로부터 가능한 한 멀리 떨어져 있으면 u는 v로부터 가능한 멀리 떨어져 있다는 특성을 가진다.형식적으로, 만약 d(u,v) = θ(u)를 갖는 각 정점 v에 대해 θ(u) = θ(v)를 갖는다면, 정점 u는 의사 대칭이다.

주어진 시작 정점으로부터의 거리에 따라 그래프의 정점을 하위 집합으로 분할하는 것을 그래프의 수준 구조라고 합니다.

모든 정점 쌍에 대해 이들을 연결하는 고유한 최단 경로가 있는 그래프를 측지 그래프라고 합니다.예를 들어, 모든 나무는 ^[4]측지학이다.

가중 최단 경로 거리는 가중 그래프에 대한 측지선 거리를 일반화합니다.이 경우 엣지의 무게는 u와 v를 연결하는 모든 경로의 최소 가중치 합계가 엣지의 길이를 나타내거나 복잡한 네트워크의 경우 상호 작용 비용을 나타낸다고 가정합니다. 자세한 내용과 알고리즘은 최단 경로 문제를^W 참조하십시오.

의사 주변 정점을 찾는 알고리즘

많은 경우 주변기기의 스파스 매트릭스 알고리즘은 편심률이 높은 시작 정점을 필요로 합니다.주변 정점은 완벽하지만 종종 계산하기 어렵습니다.대부분의 경우 의사 주변 정점을 사용할 수 있습니다.의사 주변 정점은 다음 알고리즘으로 쉽게 찾을 수 있습니다.

1. $꼭지점 u$를 선택합니다$.$
2. 가능한 한 $멀리{\displaystyle }$있는 $모든$ 꼭지점 중에서$$v{$displaystyle$ v$}$는 최소 정도의 꼭지점으로 $합니다{\displaystyle }$.
3. ( )> (u) \ $displaystyle$ \$explilon$( v ) > \$explilon$ (u )$= v$로 $설정$하고 스텝2로 반복합니다.$그렇지{\displaystyle }$ 않으면$$u \ $displaystyle$u는$$ 의사 정점입니다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들