그램 매트릭스

In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product ${\displaystyle G_{ij}=\left\langle v_{i},v_$는 일반적인 경우에{j}\right\rangle}.[1]행렬 X의 경우 벡터 v1,…,v n{\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}은 기둥{X\displaystyle} 다음 그램 매트릭스 X† X{\displaystyle X^{\dagger}X}은 X⊤ X{\displaystyle에 간편하게는 벡터 좌표 복소수를.X^벡터 좌표가 실제 숫자인 경우$$ $({\top }X}).$

중요한 애플리케이션은 선형 독립성을 계산하는 것이다. 벡터 집합은 그램 결정인자(Gram 행렬의 결정인자)가 0이 아닌 경우에만 선형 독립적이다.

그것은 요르겐 페데르센 그램의 이름을 따서 지어졌다.

예

For finite-dimensional real vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with the usual Euclidean dot product, the Gram matrix is ${\displaystyle G=V^{\top }V}$, where ${\displaystyle V}$ is a matrix whose columns are the vectors ${\displaystyle v_{k}}$ and ${\displaystyle V^{\$$top }}$ is its transpose whose rows are the vectors ${\displaystyle v_{k}^{\top }}$. For complex vectors in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle G=V^{\dagger }V}$, where ${\displaystyle V^{\dagger }}$ is the conjugate transpose of ${\displaystyle V}$.

Given square-integrable functions ${\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ on the interval ${\displaystyle \left[t_{0},t_{f}\right]}$, the Gram matrix ${\displaystyle G=\left[G_{ij}\right]}$ is:

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}^{t_{f}\ell _{i}^{*(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}$

여기서 $\ell {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle \tau }$ ) ${\displaystyle \ell \ell _{$i}^{*}(\$tau$ )은$$$\ell {\displaystyle {}_{}}$ i ($){\displaystyle \ell _{i}(\tau )$의 복잡한 결합체다$.$

For any bilinear form ${\displaystyle B}$ on a finite-dimensional vector space over any field we can define a Gram matrix ${\displaystyle G}$ attached to a set of vectors ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ by ${\displaystyle G_{ij}=B\left(v_{i},v_{j}\right)}$$$. $형식$ B {\displaystyle $B}$이(가) 대칭이면 행렬이 대칭이 된다.

적용들

• 리만 기하학에서 $내장$된 k ${\displaystyle k}$ -차원$$ 리만 $매니폴드{\displaystyle }$ M ⊂ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \subset }$n ${\$과 파라메트리징 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ M ${\displaystyle \phi$:$U\to M}$ for ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{k})\in U\subset \mathbb {R} ^{k}}$, the volume form ${\displaystyle \omega }$ on ${\displaystyle M}$ induced by the embedding may be computed using the Gramian of the coordinate tangent vectors:
  $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\det G}}\ dx_{1}\cdots dx_{k},\quad G=\left[\left\langle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial \phi }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right].}$$

  
  이것은 파라메트리화 표면의 고전적 표면 적분${\displaystyle }\varphi {\displaystyle }$ : ${\displaystyle U}$→ S ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$:$U\to S\subset \mathb {$${\displaystyle R}$$}{3}$ for$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ U$\subset \mathb {R} ^{2$}}$$:
  $${\displaystyle \int _{S}f\dA=\iint _{U}f(\phi(x,y))\\,\왼쪽 {\frac {\partial \phi }\,{\time \}\partial \pi }}\{\partial \dx\dy.}$$

  
• 벡터가 중심 랜덤 변수인 경우 Gramian은 벡터 내 원소 수로 스케일링이 결정되는 공분산 행렬에 대략 비례한다.
• 양자 화학에서 기본 벡터 집합의 Gram 행렬은 겹치는 행렬이다.
• 제어 이론(또는 더 일반적인 시스템 이론)에서, 관리 가능성 Gramian과 관찰 가능성 Gramian은 선형 시스템의 속성을 결정한다.
• 그래미안 행렬은 공분산 구조 모형 적합에서 발생한다(예: 잠시디안과 벤틀러, 1993, 적용 심리 측정, 제18권, 페이지 79–94 참조).
• 유한요소법에서 Gram 행렬은 유한 치수 공간의 함수 근사치로부터 발생하며, Gram 행렬 입력은 유한 치수 보조공간의 기초함수의 내부 산물이 된다.
• 머신러닝에서 커널 기능은 그램 매트릭스로 표현되는 경우가 많다.^[2] (커널 PCA도 참조)
• 실체 위의 그람 행렬은 대칭 행렬이므로 대각선으로 할 수 있고 그 고유값은 음이 아니다. Gram 행렬의 대각선은 단수 값 분해다.

특성.

양성-세미드 완성도

그램 매트릭스는 실제 생산물이 실제 가치로 평가되는 경우에 대칭적이다; 그것은 일반적으로 내부 생산물의 정의에 의해 복잡한 경우인 에르미트어이다.

그램 매트릭스는 양의 세미데핀이고, 모든 양의 세미데핀 매트릭스는 벡터 세트에 대한 그래미안 매트릭스다. 그래미안 매트릭스가 양성-세미드핀라이트라는 사실은 다음과 같은 간단한 파생에서 알 수 있다.

${\displaystyle x^{\dagger }\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}\right\rangle =\left\ \sum _{i}x_{i}v_{i}\right\ ^{2}\geq 0.}$

첫 번째 평등은 매트릭스 곱셈의 정의에서, 두 번째와 세 번째의 내적 생산물의 두 번째와 세 번째, 그리고 마지막은 내적 생산물의 양적 정의에서 따른다. 또한 이는 벡터 v ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 선형적으로 독립된 경우에만(즉$$, 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해$\underset{}{}$for $i_{}$ v $i_{}$ ${}_{}$ 0 ${\textstyle \sum \{i}x_{i}v_{i}\neq$ 0$}).$$$^[1]

벡터 실현 찾기

양의 세미데마인산 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$을$($를) 사용하면 다음과 같이 분해할 수 있다.

${\displaystyle M}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M=B^{\daugger }B$

여기서 $†{\$ $B$$^{\doger }$는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ B$}($또는$$ $M{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle B^{}}$ ${\displaystyle M=B^{\textsf {T}B})$의 결합 전치물이다.

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은$($는) ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \times }$ n {\$displaystyle$ k$}$ $행렬$이며, $여기$서 k$$${\$$displaystyle$ k}은$$(는) $M$의 등급이다$.$ 이러한 분해를 얻기 위한 다양한 방법으로는 숄스키 분해의 $계산$이나 M$${\$displaystystyle M}$의 비음 제곱근을 취하는 것이 포함된다$.$

The columns ${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$ of ${\displaystyle B}$ can be seen as n vectors in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$ (or k-dimensional Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, in the real case). 그러면

${\displaystyle M_{ij}=b^{(i)}\cdot b^{(j)}}}$

$여기$서 도트 제품 $a$$$$\cdot$ b$$= $∑$ $\underset{}{\overset{}{\ell }}$= $\underset{}{\overset{}{1}}$ k $\underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{\ell }$ ${}_{}^{}{}_{}$ ${\ell }_{}$ { { { { { $\textstyle$a$\cdot$b=\$sum _{\ell =$1}a_${\$ell ^{*$b_${}}}}{*$b_{\ell$ ${\displaystyle {}^{}}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$

Thus a Hermitian matrix ${\displaystyle M}$ is positive semidefinite if and only if it is the Gram matrix of some vectors ${\displaystyle b^{(1)},\dots ,b^{(n)}}$. Such vectors are called a vector realization of ${\displaystyle M}$. The infinite-dimensional analog of this statement is Mercer's theorem

벡터 실현의 고유성

If ${\displaystyle M}$ is the Gram matrix of vectors ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, then applying any rotation or reflection of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ (any orthogonal transformation, that is, any Euclidean isometry preserving 0) 벡터의 순서에 따라 동일한 Gram 행렬이 생성된다. 즉, $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle k}$ ${\$$displaystyle$ $k\times k}$직교$$ 행렬 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에 대해 Q ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$의 Gram 행렬${\displaystyle ,<img\; alt="Q"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.838ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="253">}$… ${\displaystyle Q}$ v ${\displaystyle n_{}}$ ${\$도 M$\}$도 입니다$.$

$이것$은 M ${\displaystyle M}$의 두 가지 실제 벡터 실현이 다를 수 있는$$ 유일한 방법이다: 벡터 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle {vn}_{}}$ ${\$는 직교 변환까지 고유하다$$. In other words, the dot products ${\displaystyle v_{i}\cdot v_{j}}$ and ${\displaystyle w_{i}\cdot w_{j}}$ are equal if and only if some rigid transformation of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ transforms the vectors ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ to $w{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle w_{}}$ n ${\${1$},\reason$ ,$w_{n},$ 0$$ ~ 0.

직교 변환 대신 단일 변환을 사용하는 복잡한 경우에도 동일하다. That is, if the Gram matrix of vectors ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ is equal to the Gram matrix of vectors ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k}}$, then there is a unitary ${\displaystyle k\times k}$ matrix ${\displ$$aystyle U}($${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}$ U${\displaystyle }$= ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ U$^{\doger }U=I$의 $경우$ $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= U ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${\displaystyle \}\}\}\}\}\},n}$= {\$displaystystyle$ i$=1,\n$^[3]

기타 속성

• $G{\displaystyle }$= $†{\$이$($가) 있기 때문에 반드시 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {†}^{}}${\$displaystyle$ G$^{\dager$}}이$($가) 통근하는$$ 경우다. 즉, 실제 또는 복잡한 그램 매트릭스 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$도 정상 매트릭스다.
• 어떤 정형외과적 기초의 Gram 행렬은 정체성 행렬이다. 마찬가지로 행의 Gram 행렬 또는 실제 회전 행렬의 열은 ID 행렬이다. 마찬가지로, 단일 행렬의 행 또는 열의 Gram 행렬은 ID 행렬이다.
• $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 또는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ $k{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$에서 벡터의 Gram 행렬의 순위는 이러한 벡터가 확장한 공간의 치수와 같다$$.^[1]

그램결정인자

Gram 결정인자 또는 Gramian은 Gram 행렬의 결정인자다.

${\displaystyle G(x_{1},\dots{n,x_})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle&\langle x_{1},x_{2}\rangle&\dots, \langle\\\langle x_{2},x_{1}\rangle 및 x_{1},x_{n}\rangle,\langle x_{2},x_{2}\rangle&\dots &, \langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots x_{n},x_{1}\rangle 및 \\\langle &,\langle x_{n.},x_{2}\rangle&\dots &,\langle x_{n},x_{n}\rangele \end{vmatrix}.}$

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle x_{}}$ n ${\$이(가) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터라면$$ 벡터에 의해 형성된 평행선 N차원 볼륨의 제곱이다$.$ 특히 벡터는 병렬로토프가 n차원 부피가 0이 아닌 경우에만, 그램 결정요소가 0이 아닌 경우에만, 그램 매트릭스가 비정규적인 경우에만 선형적으로 독립적이다. m = n이면 n차원 벡터의 결정인자의 절대값이 n차원 볼륨이라는 표준 정리까지 줄어든다.

그램 결정인자는 벡터의 외부 제품 측면에서도 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle G(x_{1},\dots,x_{n}}=\ x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n}\{2}.}$

참고 항목

• 제어성 그래미언
• 관측성 그라미언

참조

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.

외부 링크

• "Gram matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 프랭크 존스의 평행사변수집