핸들 분해

수학에서 m-manifold M의 손잡이 분해는 결합이다.

\emptset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{M}=M

여기서 각 $M_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ $i$ {\ $displaystyle i}$ - 핸들을 $i$ 부착하여 $M_{i-1}$ $M_{i-1}$ $M_{i-1}$ $M_{i-1}$ {\ $displaystyle M_{i-1}$ 에서 얻는다 $M_{i}$ . 핸들 분해는 위상학적 공간에 대한 CW-deposition과 같다. 핸들 분해의 목적은 대부분 CW-complex와 유사하지만 부드러운 다지관의 세계에 적응하는 것이다. 따라서 i-핸들은 i-cell의 부드러운 아날로그 방식이다. 다지관의 손잡이 분해는 모스 이론을 통해 자연적으로 발생한다. 핸들 구조의 변경은 Cerf 이론과 밀접하게 연관되어 있다.

1핸들 3개가 부착된 3볼.

동기

하나의 0셀과 하나의 n셀을 가진 n-sphere의 표준 CW 구성을 고려한다. 매끄러운 다지관의 관점에서 볼 때, 이것은 구의 퇴행적인 분해로서, 이 분해의 $S^{n}$ 으로 $S^{n}$ $S^{n}$ ${\$ 의 매끄러운 구조를 볼 수 있는 자연스러운 방법이 없기 때문에, 특히 0셀 근처의 매끄러운 구조는 특성 지도 $\chi :D^{n}\to S^{n}$ : $\chi :D^{n}\to S^{n}$ D $\chi :D^{n}\to S^{n}$ → $\chi :D^{n}\to S^{n}$ 의 거동에 따라 달라진다. $\chi :D^{n}\to S^{n}$ $S^{n-1}$ $\chi :D^{n}\to S^{n}$ s $S^{n-1}$ - $S^{n-1}$ 1 ${\$ $}{$ n-1 $}$ 의 인접 지역에 있는 $\chi :D^{n}\to S^{n}$ s $^{n$ $S^{n-1}$ $to$ S^{n $}$

CW-descompositions의 문제는 세포용 지도를 부착하는 것이 다지관 사이의 매끄러운 지도 세계에 살고 있지 않다는 것이다. 이 결함을 바로잡기 위한 발아적 통찰력은 관형 인접성의 정리다. Given a point p in a manifold M, its closed tubular neighbourhood $N_{p}$ is diffeomorphic to $D^{m}$ , thus we have decomposed M into the disjoint union of $N_{p}$ and $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ glued 그들의 공통의 경계선을 따라 여기서 중요한 문제는 접착 지도가 차이점형이라는 것이다. 마찬가지로, $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ in $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ ( $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ p $){\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ 의 매끄러운 내장 호를 취하십시오 $M\setminus \operatorname {int} (N_{p})$ 관 인접성은 $I\times D^{m-1}$ $I\times D^{m-1}$ $I\times D^{m-1}$ $I\times D^{m-1}$ - $I\times D^{m-1}$ ${\$ D $^{m-1}$ 와 차이점이다 $I\times D^{m-1}$ This allows us to write $M$ as the union of three manifolds, glued along parts of their boundaries: 1) $D^{m}$ 2) $I\times D^{m-1}$ and 3) the complement of the open tubular neighbourhood of the arc in ${\displaystyle M\setminus$ $\operatorname {int} (N_{p})}$ . Notice all the gluing maps are smooth maps—in particular when we glue $I\times D^{m-1}$ to $D^{m}$ the equivalence relation is generated by the embedding of $(\partial I)\times D^{m-1}$ in $\partial D^{m}$ $\partial D^{m}$ 관형근린정리에 의해 매끈매끈하게 펴지는 ${\displaystyle \partial$ D $^{m$

손잡이 분해는 스티븐 스마일(Stephen Smale)의 발명품이다.^[1] 그의 원래 제형에서 m-manifold M에 j 핸들을 부착하는 과정은 f $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ : $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ - $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ - $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ → $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ $f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M$ ${\displaystyle f:$ $S^{j-1}\time D^{m-j}\$ time D^{m-j}\ $to \partial M$ $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ H $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ = $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ D $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ - $H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}$ ${\$ D $^{m-j}.$ 매니폴드 $M\cup _{f}H^{j}$ ∪ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ ${\$ $H^{j}}$ (in words, M union a j-handle along f ) refers to the disjoint union of $M$ and $H^{j}$ with the identification of $S^{j-1}\times D^{m-j}$ with its image in $\partial M$ , i.e.:

M\컵 _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\time D^{m-j}\right)/\sim }

where the equivalence relation $\sim$ is generated by $(p,x)\sim f(p,x)$ for all $(p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}$ .

다지관 N은 J 핸들이 미세하게 많은 M의 조합이 N과 다른 경우 J 핸들을 부착하여 M으로부터 얻어진다고 한다. 핸들 분해의 정의는 도입부와 같다. 따라서 다지관은 공의 분리된 결합에 차이가 있을 경우 0-핸들만으로 손잡이 분해를 한다. 두 가지 유형의 핸들(예: 일부 고정 j의 경우 0-핸들 및 j-핸들)을 포함하는 연결된 다지관을 핸들 본체라고 한다.

용어.

M 유니언을 형성할 때 j-핸들 H $H^{j}$ ${\$ H $^{j}}$

M\컵 _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\time D^{m-j}\right)/\sim }

$f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ ( $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ - $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ { 0 $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ ) $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ ${\displaystyle f(S^{j-1}\time \{0\}}\subset M})$ 은 부착 $f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M$ 구체로 알려져 있다.

$f$ $f$ 은(는) 일반적인 번들을 사소한 것으로 보이게 하기 때문에 부착된 구체의 골격이라고 부르기도 $f$ 한다.

${\$ $H^{j}}$ 는 $H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ f $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ ${\$ 에 있는 $H^{j}$ H $H^{j}$ {\ $displaystyle$ H $^{j}}$ 의 벨트 구이다 $\{0\}^{j}\times S^{{m-j-1}}\subset D^{j}\times D^{{m-j}}=H^{j}$ . $H^{j$

g k-핸들을 디스크 $D^{m}$ {\ $displaystyle$ D^{ $m}$ 에 부착하여 얻은 다지관은 속 g의 (m,k)-핸들 본체다 $D^{m}$ .

코보르디즘 발표회

코보디즘의 핸들 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ 는 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ = $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ 0 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ M 1 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ {\ $displaystyle \partial W=M_\cup M_{1}}$ 과 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ (와) 오름차순 결합으로 구성된다.

W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\cdots \subset W_{m+1}=W

where M is m-dimensional, W is m+1-dimensional, $W_{-1}$ is diffeomorphic to $M_{0}\times [0,1]$ and $W_{i}$ is obtained from $W_{i-1}$ by the attachment of i-handles. 손잡이 분해는 다지관의 경우 다지관의 경우 위상학적 공간에 대한 세포 분해와 유사하지만, 거미줄의 핸들 표시는 공간 쌍에 대한 상대적 세포 분해와 경계를 가진 다지관의 경우다.

모스 이론적 관점

Morse 함수 $f:M\to \mathbb {R}$ : $f:M\to \mathbb {R}$ → R ${\$ $M\to \mathbb {R} }$ on a compact boundaryless manifold M, such that the critical points $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M$ of f satisfy $f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})$ , and provided

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

< f

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

(

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

> t

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

<

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

(

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

) >

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

<

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

- 1

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

<

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

(

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

)

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

>

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k}

{\

})><

1}<f(p_{2})<cdots <t_{k-1}>{k}t_{k

,}}}},},},},.

then for all j, $f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$ is diffeomorphic to $(f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}$ where I(j) is the index of the critical point $p_{j}$ . 지수 I(j)는 Hessian이 음수확정인 $T_{p_{j}}M$ 접선 $T_{p_{j}}M$ $T_{p_{j}}M$ p p $T_{p_{j}}M$ $T_{p_{j}}M$ $T_{p_{j}M$ 의 최대 하위 공간의 치수를 가리킨다.

지수가 $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ( $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ) $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ≤ $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ( $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ) $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ⋯ $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ( k ) ${$ ≤ ≤ ( ( ( ( $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ ( ( { { { { { { { $\ \leq$ I( $2)\leq$ \cdots $\leq$ I( $k)$ 를 $I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)$ 만족한다면 이는 M의 핸들 분해이며, 더욱이 모든 매니폴드에는 그러한 M의 핸들 분해 기능이 있다. 마찬가지로 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ cob $W$ $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ = M $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ M $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ ${\$ $W}$ $\partial W=M_\cup M_{$ 1}의 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ 코보디즘 $W$ ${\$ displaystyle W}과 $\partial W=M_{0}\cup M_{1}$ $f:W\to \mathbb {R}$ : $f:W\to \mathbb {R}$ → R ${\$ $내부$ 의 모르스(Morse)이고 경계에서 일정하며 증가하는 지수 특성을 만족하는 $f:W\to \mathbb {R}$ W $\to \mathb {R} }$ 은(는) 코보디즘 W의 유도 핸들 표시가 있다.

M에서 f가 모르스 함수일 때 -f도 모르스 함수다. 해당 핸들 분해/표시를 이중 분해라고 한다.

몇 가지 주요 이론과 관찰

폐쇄적이고 방향성이 있는 3-매니폴드의 희가아드 분할은 3-매니폴드를 그들의 공통 경계를 따라 두(3,1)-핸들바이드의 결합으로 분해하는 것으로, 희가아드 분할 표면이라고 불린다. 희가드 스플리팅은 3마니폴드의 손잡이 분해로 볼 때, 0과 1핸들의 결합은 (3.1)핸들몸이며, 3과 2핸들 역시 (이중 분해의 관점에서) (3.1)핸들몸이므로 희가드 스플리팅은 몇 가지 자연적인 방법으로 발생한다. 3-매니폴드가 삼각측량 T를 가지고 있는 경우, 첫 번째(3,1)-핸들바디는 1-골격 $T$ 의 규칙적인 이웃이고 $T^{1}$ 다른(3,1)-핸들바디는 이중 1-골격의 규칙적인 이웃이다.
두 핸들을 연속으로 부착할 때 $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ ∪ $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ f $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ ) ∪ $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ g $(M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}$ j ${\$ $H^{i}\컵 _{g}$ $H^{j$ $j\leq i$ 지도 부착을 위해 $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ j $j\leq i$ i ${\displaystyle j\leq$ i $j\leq i$ 즉, 이 다지관은 형태의 다지관 $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ H $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ ) $(M\cup H^{j})\cup H^{i}$ ${\$ H $^{i})$ 과 차이점형이다.
$M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ $M\cup _{f}H^{j}$ ${\$ 의 경계 $H^{j}}$ 는 프레임 구체 $f$ ${\displaystyle$ $\partial$ M $}$ 을 $f$ 를) 따라 서지된 $\partial M$ ∂ $\partial M$ ${\displaystyle$ f $}$ 과(와) 다른 형태다 $M\cup _{f}H^{j}$ . 이것은 수술, 손잡이, 모스 기능 사이의 주요 연결고리 입니다.
As a consequence, an m-manifold M is the boundary of an m+1-manifold W if and only if M can be obtained from $S^{m}$ by surgery on a collection of framed links in $S^{m}$ . For example, it's known that every 3-manifold bounds a 4-manifold (similarly oriented and spin 3-manifolds bound orie레네 톰의 거미줄 연구로 인해 각각 4마니폴드(nted)와 스핀(spinnifolds)이 나왔다. 따라서 모든 3-매니폴드는 3-sphere의 프레임 링크 수술을 통해 얻을 수 있다. 지향적인 경우, 이 프레임 링크를 원들의 분리된 결합을 프레임으로 내장하는 것으로 줄이는 것은 관습적이다.
H-코보르디즘의 정리는 매끄러운 다지관의 손잡이 분해를 단순화함으로써 증명된다.

참고 항목

참조

메모들

^ S. Smale, "다지관 구조상" 아머. J. 수학 , 84 (1962) 페이지 387–399

일반참조

A. 코신스키, 차동다지관 제138권 순수 및 응용수학, 학술언론(1992)
로버트 곰프 및 안드라스 스킵시츠, 4마니폴드 및 커비 미적분학, (1999년) (수학 대학원 20권), 미국수학협회, 프로비던스, RI ISBN 0-8218-0994-6

[1] S. Smale, "다지관 구조상" 아머. J. 수학 , 84 (1962) 페이지 387–399

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