힐버트 행렬

선형대수학에서 힐버트(1894)가 도입한 힐버트 행렬(Hilbert matrix)은 정사각형 행렬로, 엔트리는 단위 분율이다.

${\displaystyle H_{ij}={\frac {1}{i+j-1}}$

예를 들어, 5 × 5 Hilbert 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac{1}{7}&{\frac {1}{8}&{{8}&{\frac {1}{9}}\end{bmatrix}}.}$

힐버트 행렬은 적분에서 파생된 것으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle H_{ij}=\int _{0}^{1}x^{i+j-2}\,dx,}$

그래미어 매트릭스로서 x의 힘을 얻는거지 다항식별 임의함수의 최소 제곱 근사치에서 발생한다.

힐버트 행렬은 수치 계산에 사용하기 어려운 것으로 악명 높은 잘못된 조건의 행렬의 표준적인 예들이다. 예를 들어, 위 행렬의 2-규격 조건 번호는 약 4.8×10이다⁵.

역사 노트

힐버트(1894)는 근사 이론에서 다음과 같은 질문을 연구하기 위해 힐버트 매트릭스를 도입했다: "I = [a, b]가 실제 간격이라고 가정한다. 그러면 정수 계수를 가진 0이 아닌 다항식 P를 찾을 수 있는가?

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)^{2}dx}$

임의로 복용하는, 주어진 바운드 ε > 0보다 작은가?" 이 질문에 답하기 위해 힐버트는 힐버트 행렬의 결정요인에 대한 정확한 공식을 도출하고 그들의 증상 없는 약물들을 조사한다. 그는 만약 그 간격의 길이 b - a가 4보다 작다면 그의 질문에 대한 답은 긍정적이라고 결론짓는다.

특성.

힐버트 매트릭스는 대칭적이고 긍정적이다. 힐버트 행렬은 또한 완전히 긍정적이다(모든 하위 거주자의 결정요인이 긍정적이라는 것을 의미한다).

힐버트 매트릭스는 행클 매트릭스의 한 예다. 그것은 또한 Cauchy 행렬의 특정한 예다.

결정 인자는 코치 결정 인자의 특별한 경우로서 폐쇄된 형태로 표현할 수 있다. n × n Hilbert 행렬의 결정 요소는

${\displaystyle \det(H)={\frac {c_{n}^{4}}{c_{2n}}}}$

어디에

${\displaystyle c_{n}=\prod _{n-1}^{n-1}i^{n-i}=\prod _{i=1}^{n-1}i!}$

힐버트는 이미 힐버트 행렬의 결정요인이 정수의 역수(OEIS: O005249 in OEIS의 순서 참조)라는 기이한 사실을 언급했는데, 이 역시 정체성에서 따르게 된다.

${\displaystyle {\frac {1}{\det(H)}}={\frac {c_{{n}^{4}}}=n!\cdot \prod \{i=1}{2n-1}{\binom {i}{i/2}}}}}}}}.}$

스털링의 요인 근사치를 사용하여 다음과 같은 점증적 결과를 설정할 수 있다.

${\displaystyle \det(H)\심 a_{n}\,n^{-1/4}(2\pi )^{n}\,4^{-n^{2}},}$

여기서 상수_n $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {12}^{}}$ A${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 0$[\displaystyle$ $^{1/4}\,2^{1/12}\,A^{-3}\poth 0.6450}$을(를$)$ $n{\displaystyle }$→ $∞ {\displaysty$ n\$to\$inft }으로 수렴하고$,$ 여기서 A는 Glaisher-Kinkelincon이다.

Hilbert 행렬의 역행렬은 이항 계수를 사용하여 닫힌 형태로 표현할 수 있으며, 그 입력은 다음과 같다.

${\displaystyle(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){\binom {n+i-1}{n-i}{n-i}{\binom {i+j-1}{i-1}},{i-1},}}},},}$

여기서 n은 행렬의 순서다.^[1] 역행렬의 입력은 모두 정수이며, 기호는 주 대각선에서 양성으로 체커보드 패턴을 형성한다는 것을 따른다. 예를 들어,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{8}}\\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{6}}&{\frac{1}{7}}&{\frac{1}{8}}&{\frac{1}{9}}\end{bmatrix}}^{)}=\left는 경우에는{\begin{배열}{rrrrr}25&, -300&, 1050&, -1400&, 630\\-300&, 4800&, -18900&, 26880&, -12600\\1050&, -18900&, 79380&, -117600&, 56700\\-1400&, 26880&, -117600&, 179200&, -88200\\630&, -12600&, 56700&, -88200&, 44100\end{배열}})올바른 뻗는다.}$

n × n Hilbert 매트릭스의 조건 $번호$는${\displaystyle {O\mathrm{}}^{}}$ ( (${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {1\sqrt{\mathrm{}}}^{}}$+ 2${\displaystyle {}^{}}$) 4 ${\displaystyle n\sqrt{}{}^{}}$/ n )${\$에 따라 증가한다.

적용들

다항 분포에 적용되는 모멘트의 방법은 행클 행렬을 생성하며, [0, 1] 간격에 대한 확률 분포에 근사치하는 특별한 경우 힐버트 행렬을 생성한다. 다항 분포 근사치의 중량 파라미터를 얻으려면 이 행렬을 반전시켜야 한다.^[2]

참조

추가 읽기

• Hilbert, David (1894), "Ein Beitrag zur Theorie des Legendre'schen Polynoms", Acta Mathematica, 18: 155–159, doi:10.1007/BF02418278, ISSN 0001-5962, JFM 25.0817.02. 재인쇄.
• Beckermann, Bernhard (2000). "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices". Numerische Mathematik. 85 (4): 553–577. CiteSeerX 10.1.1.23.5979. doi:10.1007/PL00005392. S2CID 17777214.
• Choi, M.-D. (1983). "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix". American Mathematical Monthly. 90 (5): 301–312. doi:10.2307/2975779. JSTOR 2975779.
• Todd, John (1954). "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix". National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series. 39: 109–116.
• Wilf, H. S. (1970). Finite Sections of Some Classical Inequalities. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-04809-1.