무기한금액

수학에서는 무기한의 합 연산자(또한 antidifference 사업자로 알려진),∑ x{\textstyle \sum_{)}에 의해 표시된}또는− 1{\displaystyle\Delta ^{)}Δ은 전방 차 분연 산자의 역수 Δ},[1][2][3]은 선형 연산자,{\Delta\displaystyle}. 그것은톤으로 전방 차 분연 산자와 관련된 것그는 indefinite integrated 는 파생상품과 관련이 있다.그러므로,

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,}$

좀 더 명시적으로, $\underset{}{만약}\underset{}{}($ $x$ $f$($x$ )$$= F$$( x$$) {\$textstyle \sum$ \$sum _{x}f($x)=$F($x$)\},$ .

$[\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,}$

F(x)가 주어진 f(x)에 대해 이 함수 방정식의 해법이라면, 기간 1이 있는 모든 주기 함수 C(x)에 대해서도 F(x)+C(x)가 그렇다.따라서 각 비한정 금액은 실제로 기능 일가를 나타낸다.그러나 칼슨의 정리 때문에 뉴턴 시리즈 확장과 동등한 해법은 첨가 상수 C까지 독특하다.이 고유한 솔루션은 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{}}$ ${\displaystyle \frac{D{}^{}}{}}$- 1 ${\$의 공식 파워 시리즈 형식으로 나타낼 수 있다$.$

이산 미적분학의 기본 정리

다음 공식을 사용하여 확정금액을 계산할 수 있다.^[4]

${\displaystyle \sum \{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

정의들

라플라스 합계식

${\displaystyle \sum \sum _{x}f(x)=\int_{0}^{x}f-\sum _{k=1}^{k=1}{k_{k}\delta ^{k-1f(x)}{k!}}}+C}$

여기서 ${\displaystyle c_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}\frac{\mathrm{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{\mathrm{x}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\displaystyle \frac{\gamma }{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$- k${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c_{k}=\int _{0}^{1}{\frac {\gamma (x+1){\\\\$$감마(x-k+1)}:{dx}$는 제1종류의 카우치 번호로, 제2종류의 베르누이 번호로도 알려져 있다.^{[5][citation needed]}

뉴턴 공식

${\displaystyle \sum \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{k=1}{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\왼쪽(0\오른쪽)+C=\sum _{k=1}^{\inflt }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x{}_{}}$) ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle \gamma \frac{\mathrm{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$+ 1${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\gamma }{}}$( x${\displaystyle \frac{}{}}$- k${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$) ${\$$감마(x-k+1)}}$은(는) 하강 요인이다.

포크하버 공식

${\displaystyle \sum \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\inflit }{\frac {f^{(n-1)}{n!}}}{n}(x)+C\...}$

방정식의 우측이 수렴되는 경우.

뮬러 공식

${\displaystyle \underset{}{lim}}$ ${\displaystyle \underset{}{x}}$→${\displaystyle \underset{}{}}$+ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to {+\f(x)=0,}$인^[6] 경우

$\displaystyle \sum \sum \{n=0}^{\n=0}}\f(n)-f(n+x)\오른쪽)+C.}$

오일러-마클라우린 공식

${\displaystyle \sum_{x}f(x)=\int_{0}^{0}{x}f(t)-{\frac{1}{1}:{2}}f(x)++\sum _{k=1}^{\frac{B_{2k}}{{{k)!}}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

상수 항 선택

종종 비한정 합계의 상수 C는 다음 조건으로부터 고정된다.

내버려두다

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

그런 다음 상수 C는 조건으로부터 고정된다.

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

또는

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

대신에 라마누잔의 합계를 사용할 수 있다.

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

또는 1시에

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\re }f(x)=-F(1)}$

각각^[7][8]

부품별 합계

부품별 비한정 합계:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\델타 g(x)=f(x)g-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\델타 g(x)+\sum _{x}g(x)\델타 f(x)=f(x)g-\sum _{x}\Delta f(x)\델타 g(x)}$

부품별 명확한 합계:

$\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\델타 g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

기간 규칙

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(가) $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle f(x)}$의 기간인$$ 경우

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$이(${\displaystyle 가}$) $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$(x)}$의 반주기인 경우$,$ 즉 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle T)}$=${\displaystyle }$- f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$인 경우

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

대체용도

일부 저자는 "확정되지 않은 합계"라는 문구를 사용하여 상한의 숫자 값이 주어지지 않는 합을 기술한다.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

이 경우 합계에 대한 폐쇄형 표현식 F(k)는 다음의 해결책이다.

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

텔레스코핑 방정식이라고 한다.^[9]역차이 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla$} 연산자의$$ 역차이다.앞에서 설명한 이산 미적분학의 기본 정리를 이용한 전방 반비례 연산자와 관련이 있다.

무기한 총액 목록

이것은 다양한 기능의 무기한 총계 목록이다.모든 함수가 기초함수의 관점에서 표현할 수 있는 비한정 총액을 가지는 것은 아니다.

합리적 함수의 반론

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x^{2}}-{2}}-{\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {B_{a+1}(x)}{a+1}C,\,a\notin \mathb {Z}^{-}}$

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle \zeta }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \mathrm{x}}$) ${\displaystyle B_{a}(x)=-a\zeta(-a+1,x$ 버누이 다항식 순서에 따라 일반화됨.

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\frac {(-1)^{a-1}\psi^{(-a-1)}}{\감마(-a)}}+C,\,a\in\mathb {Z}^{-}}}$

여기서 $\psi {\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle n{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$은(는) 다감마 함수다.

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x}=\display(x)+C}$

여기서 $\psi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \psi (x)}$은 digamma 함수다.

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}-{a+1}{a+1}(x)+++C}$

지수함수의 반추론

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}+C}$

특히,

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

로그 함수의 반선호

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}\감마(x)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(a^{x-1}\감마(x))+C}$

쌍곡선 함수의 반선호도

${\displaystyle \sinh ax={1}{1}:{1}\frac 이름 {csch} \lefts\frac {a}{2}}\오른쪽)\cosh \left\frac {a}{2}}-ax\오른쪽)++C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={1}{1}:{1}\frac 이름 {csch} \reflac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)++C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

여기서 ${\displaystyle {\psi q}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \filename _{q}(x)}$은(는) q-digamma 함수다.

삼각함수의 반선호도

${\displaystyle \sin \ax=-{\frac {1}{1}:{2}}:\csc \좌측\frac {a}{2}}\우측)\cos \좌측\프락 {a}{2}}-ax\우측)+C\...\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={1}:{1}:{1}\frac \csc \leftd\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{a}}}}}}\right)+C\...\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{1}{1}{4}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}-{1}{1}{4}-{\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}\frome^{2ia}\lift(x-{\frac {}}{pi}\오른쪽)+C\...\,\,a\neq {\frac {n\pi}{2}}:}$

여기서 ${\displaystyle {\psi q}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \filename _{q}(x)}$은(는) q-digamma 함수다.

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\pi _{e^{2i}\왼쪽(x+{\frac {}}{pi }2}}\오른쪽)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi_{e^{2ia}}{a}+C\\\\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}:}$

역 쌍곡선 함수의 반선호도

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{1}:{2}}\ln \left({\frac {1}{a}\right)}{\Gamma \left(x+{1}{a}}\rig)}{rigma\right+)C}$

역삼각함수의 반비례

${\displaystyle \sum _{x}\arctan acx={{i}{2}}\ln \left({\frac {i}{a}}}}}}}{\Gamma (x-{\frac {i}}}}}}}\오른쪽)++C}$

특수 기능의 참조 방지

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma(x)=(-1)^{x+1}\Gamma(x){\frac {\gamma(1-x,-1)}{e}+C}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}(s}$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \Gamma(s,x)}$은 불완전한 감마함수다.

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}:{a+1}:{a+1}++C}$

여기서 ($){\$는 하강 요인이다.

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp}{a}(x)=\ln_{a}{a}(x)}{a}^{x}+C}$

(초음파 함수 참조)

참고 항목

• 무기한상품
• 시간 척도 미적분학
• 대체 캘컬리의 파생상품 및 통합 목록

참조

추가 읽기

• "차이 방정식:애플리케이션 소개", 월터 G. 켈리, 앨런 C.피터슨, 2001, ISBN 0-12-403330-X
• 마르쿠스 뮐러.비인정자 항 수를 추가하는 방법 및 비정상적인 무한 합산을 생성하는 방법
• 마르쿠스 뮬러, 디어크 슐레이셔.분수 합과 오일러와 같은 정체성
• S. P. 폴리아코프.추가적 최소화와 함께 합리적인 기능의 무한정 합계.프로그램미로바니, 2008년, 34권, 2호.
• "완료-차이 방정식과 시뮬레이션", Francis B.힐데브란트, 1968년 콘스탄티스 홀