흥미로운 수 역설

Interesting number paradox

흥미로운 수 역설은 모든 자연수를 "흥미로운" 또는 "흥미로운"으로 분류하려는 시도에서 발생하는 유머러스한 역설입니다.역설은 모든 자연수가 [1]흥미롭다는 것입니다."증거"는 모순에 의한 것입니다: 만약 재미없는 자연수의 비어있지 않은 집합이 존재한다면, 가장 작은 재미없는 수가 존재할 것입니다 – 하지만 가장 작은 재미없는 수는 가장 작은 재미없는 수이기 때문에 그 자체로 흥미롭기 때문에 모순을 만들어냅니다.

숫자에 관한 "흥미성"은 일반적인 용어로는 공식적인 개념이 아니지만, 일부 숫자 이론가들 사이에서는 "흥미성"이라는 선천적인 개념이 존재하는 것 같습니다.유명한 것은 수학자 G. H. 하디와 스리니바사 라마누잔 사이의 흥미롭고 재미없는 숫자에 대한 토론에서 하디는 자신이 탔던 택시의 1729라는 숫자가 "다소 둔한 것 같다"고 말했고, 라마누잔은 즉시 그것이 재미있다고 대답했습니다.두 개의 다른 방법으로 [2][3]두 개의 정육면체의 합인 가장 작은 숫자입니다.

역설적 성질

이런 식으로 모든 수를 분류하려고 하면 역설이나 정의의[4] 반어법이 발생합니다.자연수를 흥미로운 집합과 재미없는 집합으로 가상 분할하는 것은 실패하는 것처럼 보입니다.흥미의 정의는 대개 주관적이고 직관적인 개념이기 때문에 역설을 얻기 위해서는 자기참조의 반유머적인 적용으로 이해되어야 합니다.

흥미로운"이 대신 객관적으로 정의된다면 역설은 완화됩니다: 예를 들어, OEIS(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)의 항목에 나타나지 않는 가장 작은 자연수는 원래 2009년 [5]6월 12일에 11630으로 발견되었습니다.이 정의에 적합한 숫자는 2009년 11월부터 적어도 2011년 11월까지 12407개가 되었고, 2012년 4월 현재 13794개가 되었고, 2012년 11월 3일 현재 OEIS: A218631 수열에 등장할 때까지 계속되었습니다.2013년 11월 이래로,[5] 그 숫자는 적어도 2014년 4월 14일까지, 14228이었습니다.2021년 5월, 그 숫자는 20067이었습니다.(OEIS에서 [6]각 항목에 대해 한정된 수의 항만 나열하기 때문에 이와 같이 흥미롭지 않은 정의가 가능합니다.예를 들어, OEIS: A000027은 모든 자연수의 수열이며, 만약 계속된다면 모든 양의 정수를 포함할 것입니다.그대로, 그 순서는 77까지만 기재되어 있습니다.)관심 있는 숫자 목록에 사용되는 출처에 따라, 다른 다양한 숫자들도 [7]같은 방식으로 관심 없는 것으로 특징지어질 수 있습니다.예를 들어 수학자이자 철학자인 알렉스 벨로스(Alex Bellos)는 2014년에 가장 낮은 재미없는 숫자의 후보는 224라고 제안했는데, 그 이유는 그 당시에 "[영어판] [8][nb 1]위키피디아에 자신의 페이지가 없는 가장 낮은 숫자"였기 때문입니다.

그러나 수학에는 자기 참조를 사용하는 중요한 결과가 많이 있기 때문에(예를 들어 괴델의 불완전성 정리 등), 역설은 [nb 2]자기 참조의 힘의 일부를 보여주기 때문에 많은 학문 분야에서 심각한 문제를 다루고 있습니다.만약 누군가가 숫자 자체보다 [9]더 적은 비트를 포함하는 프로그램에 의해 계산될 수 있는 "흥미로운" 숫자를 정의한다면, 역설은 괴델의 불완전성 정리와 직접적으로 관련될 수 있습니다.마찬가지로, 흥미의 주관적인 느낌을 정량화하려고 노력하는 대신, 숫자를 지정하는 데 필요한 문구의 길이를 고려할 수 있습니다.예를 들어, "11개 미만의 단어로 표현할 수 없는 최소의 숫자"라는 문구는 고유한 숫자를 식별해야 하는 것처럼 들리지만, 문구 자체는 단지 10개의 단어만을 포함하고 있으므로, 문구로 식별된 숫자는 결국 11개 미만의 단어로 표현할 수 있습니다.이것은 베리 [10]패러독스라고 알려져 있습니다.

역사

1945년 에드윈 F. Beckenbach는 The American Mathematical Monthly에 다음을 제안하는 짧은 편지를 출판했습니다.

각각의 양의 정수에 관한 흥미로운 사실이 있다고 추측할 수 있습니다.여기에 그러한 경우라는 "유도에 의한 증명"이 있습니다.물론, 각각의 양의 정수의 인자인 1은 2와 마찬가지로 가장 작은 소수, 3, 가장 작은 홀수 소수, 4, 비버바흐의 수 등에 해당합니다.흥미로운 사실이 없는 각각의 양의 정수들의 집합 S가 공백이 아니라고 가정하고, k를 S의 가장 작은 멤버라고 가정합니다.하지만 이것은 k와 관련된 가장 흥미로운 사실입니다!따라서 S는 가장 작은 부재가 없으므로 공백입니다.그 증거가 [11]유효합니까?

콘스탄스 리드는 1955년 자신의 인기 수학 책인 "제로에서 인피니티"의 첫 번째 판에 역설을 포함시켰지만 이후 [12]판에서는 삭제했습니다.마틴 가드너(Martin Gardner)는 1958년 자신의 사이언티픽 아메리칸(Scientific American) 칼럼에서 이 역설을 "허위"로 제시했는데, 여기에는 증명이 미묘하게 [1]오류가 있다고 알려진 6개의 다른 "놀라운 주장"도 포함되어 있습니다.1980년에 수학 선생님에게 보낸 편지에는 30년 [13]전에 논의된 "모든 자연수는 흥미롭다"는 농담 섞인 증거가 언급되어 있습니다.1977년 그렉 차이틴은 가드너의 역설에 대한 진술을 언급하면서 정의할 수 없는 가장 작은 서수의 존재에 대한 버트런드 러셀의 역설(모든 서수 집합이 가장 작은 원소를 가지고 있고 "가장 작은 정의할 수 없는 서수"가 [4][14]정의처럼 보일 것임에도 불구하고)과의 관계를 지적했습니다.

호기심 많고 흥미로운 숫자들의 펭귄 사전(1987)에서 데이비드 웰스는 39가 "첫 번째 흥미롭지 않은 숫자인 것 같다"고 언급했는데, 이 사실이 그것을 "특히 흥미롭게" 만들었으며, 따라서 39는 흥미롭고 [15]무뎌야 한다고 말했습니다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 2023년 9월 현재 이 숫자는 265입니다.
  2. ^ 예를 들어, 괴델, 에셔, 바흐#를 보라.이 글의 이 절처럼 테마 자체도 자체 참조에 대한 위키 링크를 언급하고 포함합니다.

참고문헌

  1. ^ a b Gardner, Martin (January 1958). "A collection of tantalizing fallacies of mathematics". Mathematical games. Scientific American. 198 (1): 92–97. doi:10.1038/scientificamerican0158-92. JSTOR 24942039.
  2. ^ Singh, Simon (15 October 2013). "Why is the number 1,729 hidden in Futurama episodes?". BBC News Online. Retrieved 15 October 2013.
  3. ^ Baez, John C. (2022-02-28). "Hardy, Ramanujan and Taxi No. 1729". The n-Category Café. Retrieved 2022-10-14.
  4. ^ a b Chaitin, G. J. (July 1977). "Algorithmic information theory". IBM Journal of Research and Development. 21 (4): 350–359. doi:10.1147/rd.214.0350.
  5. ^ a b Johnston, N. (June 12, 2009). "11630 is the First Uninteresting Number". Retrieved November 12, 2011.
  6. ^ Bischoff, Manon. "The Most Boring Number in the World Is ..." Scientific American. Retrieved 2023-03-16.
  7. ^ Greathouse IV, Charles R. "Uninteresting Numbers". Archived from the original on 2018-06-12. Retrieved 2011-08-28.
  8. ^ Bellos, Alex (June 2014). The Grapes of Math: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life. illus. The Surreal McCoy (1st Simon & Schuster hardcover ed.). N.Y.: Simon & Schuster. pp. 238 & 319 (quoting p. 319). ISBN 978-1-4516-4009-0.
  9. ^ Bennett, Charles H. (2007). "On Random and Hard-to-Describe Numbers". In Calude, Cristian S. (ed.). Randomness and Complexity, from Leibniz to Chaitin. World Scientific. pp. 3–12. doi:10.1142/9789812770837_0001. ISBN 978-9-812-77082-0. OCLC 173808093. 처음에는 1979년에 인쇄물로 유통되었습니다.
  10. ^ Yanofsky, Noson S. (2013). The Outer Limits of Reason: What Science, Mathematics, and Logic Cannot Tell Us. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pp. 26–28. ISBN 978-1-4619-3955-9. OCLC 857467673.
  11. ^ Beckenbach, Edwin F. (April 1945). "Interesting integers". The American Mathematical Monthly. 52 (4): 211. JSTOR 2305682.
  12. ^ Hamilton, J. M. C. (1960). "Review of From Zero to Infinity, 2nd ed". Mathematics Magazine. 34 (1): 43–44. doi:10.2307/2687853. JSTOR 2687853?. MR 1571022.
  13. ^ Gould, Henry W. (September 1980). "Which numbers are interesting?". The Mathematics Teacher. 73 (6): 408. JSTOR 27962064.
  14. ^ Russell, Bertrand (July 1908). "Mathematical logic as based on the theory of types". American Journal of Mathematics. 30 (3): 222–262. doi:10.2307/2369948. JSTOR 2369948.
  15. ^ Wells, David (1987). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books. p. 120. OCLC 17634415.

추가열람