자코비 트리플 제품

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수학에서 자코비 3중 산물은 수학 정체성이다.

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

x < 1과 y ≠ 0의 복잡한 숫자 x와 y의 경우.

야코비(1829년)가 그의 작품 《다멘다 노바 테오리에 기능》에서 소개하였다.

자코비 트리플 제품 아이덴티티는 타입₁ A의 어핀 루트 시스템에 대한 맥도날드 아이덴티티로, 해당 어핀 카크-무디 대수학에 대한 Weyl 분모 공식이다.

특성.

자코비가 증명하는 근거는 오일러의 오각형 번호 정리에 의존하는데, 그 자체가 자코비 트리플 제품 아이덴티티의 구체적인 사례다.

$x$${\displaystyle }$= ${\displaystyle q\sqrt{}}$ ${\$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$2${\displaystyle }$= - ${\displaystyle q\sqrt{}}${\$displaystyle$ y$^{2}=-{\sqrt{q}}$ . 그러면 다음이 있다$.$

${\displaystyle \phi(q)=\prod _{m=1}^{\inflt }{n=1}{m}\flt }=\sum _{n=-\inflt }^{n1}^{n}-n2}.}$

자코비 트리플 제품도 자코비 세타 기능을 다음과 같이 무한 상품으로 쓸 수 있다.

$x{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$ $y$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ z${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.$$}$

그럼 자코비 세타 함수는

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infit }^{\n^{\rm{i}n^{}}}{\rm}}pi +2\rm {i}nz}$

양식으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=-\nft }^{\nft }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Jacobi Triple Product Identity를 사용하여 제품으로서의 Theta 함수를 기록할 수 있음

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

자코비 트리플 제품을 표현하기 위해 사용되는 많은 다른 명언들이 있다.q-Pochhammer 기호로 표현하면 간결한 형태를 취한다.

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

여기서${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$; ${\displaystyle q{}_{}}$)$∞{\$은 무한 q-Pochhammer 기호다.

라마누잔 세타 기능으로 표현했을 때 특히 우아한 형태를 즐긴다.< ${\displaystyle ab <1}$의 경우 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \sum _{n=-\inflat }^{}a^{\frac{n(n+1)}{2}}\\{2}}=(-a;ab)_{{\inflt }}\{-b;ab)\};(ab;ab;ab);}_{\ft}}$

증명

Let ${\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{-2}\right)}$

xy를 y로 대체하고 새 항을 곱하면 다음이 된다.

${\displaystyle f_{x}(xy)={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}:{1+xy^{2}}:f_{x}(y)}$

그리고, $1{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{z}}$( ${\displaystyle 1}$+ z${\displaystyle }$) ${\$1$+$$z)},$

${\displaystyle f_{x}(xy)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)}$

f는_x > ${\displaystyle y >0}$에 대해 meromorphic이므로 Laurent 시리즈가 있다

${\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=--\infit }^{\infit }c_{n}(x)y^{2n}}}}}$

만족스러운

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}}$

하도록

${\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}x^{2n+1}=\c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}}$

그래서

${\displaystyle f_{x}(y)=c_{0}(x)\sum _{n=-\infit }^{n^{n^{2}}y^{n}}}}}$

G. E. Andrews는 오일러의 두 가지 정체성에 근거하여 다른 증거를 제시한다.^[1]

분석 사례에 대해서는 Afortol을 참조하십시오.^[2]

평가₀ c(x)

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle c_{0}(x)}$을(를) 평가하는 것이 더 기술적이다$$.한 가지 방법은 y=1을 설정하고 분자와 분모를 모두 표시하는 것이다.

${\displaystyle {\frac {1}{c_{0}(e^{2i\pi z})}}={\frac {\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }e^{2i\pi n^{2}z}}{\prod \limits _{m=1}^{\infty }(1-e^{2i\pi mz})(1+e^{2i\pi (2m-1)z})^{2}}}}$

무게 1/2 모듈러로 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$- ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 4 ${\displaystyle \frac{z}{}}${\$displaystyle$z\$mapsto -{\frac${1$}{4z}}$이(${\displaystyle 가}$) 아래 있으며$,$ 이 역시 1-13이고 위쪽 절반 평면에서 경계되기 때문에, 몫은 일정해야 $c{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ($0$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle$c_${0}=c_{0}(0)=$c(0)=1}=1}=1$}=$1$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

참조

• 피터 J. 카메론, 콤비네이터릭: 주제, 기술, 알고리즘, (1994) 캠브리지 대학 출판부, ISBN 0-521-45761-0
• Jacobi, C. G. J. (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (in Latin), Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012
• Carlitz, L (1962), A note on the Jacobi theta formula, American Mathematical Society
• Wright, E. M. (1965), "An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi", Journal of the London Mathematical Society, London Mathematical Society: 55–57, doi:10.1112/jlms/s1-40.1.55