K3면

수학에서 복합해석 K3 표면은 사소한 표준다발과 불규칙성이 0인 치수 2의 콤팩트하게 연결된 복합다지관이다. 어떤 분야보다 (알지브라틱) K3 표면은 같은 조건을 만족시키는 매끄러운 적절한 기하학적으로 연결된 대수 표면을 의미한다. 표면의 엔리케스-고다이라 분류에서 K3 표면은 고다이라 치수 0의 4가지 최소 표면 중 하나를 형성한다. 간단한 예는 페르마 4중주 표면이다.

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}}=0}$

복잡한 3공간에

2차원 콤팩트 콤팩트 콤플렉스 토리와 함께 K3 표면은 칼라비–치수 2의 Yau 다지관(및 하이퍼켈러 다지관) 이와 같이, 그것들은 양의 곡선 델 페조 표면(분류하기 쉬운)과 일반 유형의 음의 곡선 표면(기본적으로 분류할 수 없는) 사이에 대수 표면 분류의 중심에 있다. K3 표면은 구조가 곡선이나 아벨의 품종으로 줄어들지 않으면서도 실질적인 이해가 가능한 가장 단순한 대수적 품종으로 간주할 수 있다. 복합 K3 표면은 실제 치수 4를 가지고 있으며, 매끄러운 4-매니폴드의 연구에 중요한 역할을 한다. K3 표면은 Kac-Moody Algebras, 거울 대칭 및 끈 이론에 적용되었다.

복잡한 대수 K3 표면을 복잡한 분석 K3 표면의 광범위한 계열의 일부로 생각하면 유용할 수 있다. 다른 많은 종류의 대수학 품종들은 그러한 비알브라의 변형을 가지고 있지 않다.

정의.

K3 표면을 정의하는 몇 가지 동등한 방법이 있다. 사소한 규약 번들이 있는 콤팩트 복합 표면은 K3 표면과 콤팩트 복합 토리뿐이어서 후자를 제외한 어떤 조건도 추가해 K3 표면을 정의할 수 있다. 예를 들어, 그것은 복잡한 분석 K3 표면을 무반사성 홀로모르픽 2형식으로 치수 2의 단순하게 연결된 콤팩트 복합 다지기로 정의하는 것과 동등하다.(후자 조건에서는 표준다발이 사소하다고 정확히 말한다.)

그 정의에는 몇 가지 변형된 것도 있다. 복잡한 숫자에 걸쳐 일부 저자들은 대수 K3 표면만을 고려한다. (대수 K3 표면은 자동으로 투영된다.)^[1] 또는 K3 표면이 매끄러워지지 않고 du Val 특이점(차원 2의 표준 특이점)을 가질 수 있다.

Betti 번호

복합분석 K3 표면의 베티 번호는 다음과 같이 계산한다.^[2] (유사한 주장은 l-adic 코호몰리를 사용하여 정의된 모든 분야에 걸쳐 대수 K3 표면의 베티 숫자에 대해 동일한 답을 제공한다.) By definition, the canonical bundle ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$ is trivial, and the irregularity q(X) (the dimension ${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$ of the coherent sheaf cohomology group ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$) is zero. 세레 이중성에 의해

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}_{X}=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

그 결과 X의 산술속(또는 홀로모르픽 오일러 특성)은 다음과 같다.

${\displaystyle \chi(X, {\mathcal {O}_{X}):=\sum _{i}(1)^{i}h^{i}(X, {\mathcal {O}_{X})=1-0+1=2.}$

반면 리만-로치 정리(노에더의 공식)는 다음과 같이 말하고 있다.

${\displaystyle \chi(X, {\mathcal {O}_{X}={\frac {1}{1}{12}}}\좌측(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\오른쪽),}$

여기서 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i{}_{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle c_{i}(X)}$은 접선 번들의 i번째 체른 클래스다. $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$이(가) 사소한 것이기$$ 때문에 첫 번째 체르노반 $c{\displaystyle {}_{}}$ 1(${\displaystyle {K\mathrm{}}_{}X{}_{}}$) ${\displaystyle =}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ X${\displaystyle }$) = ${\displaysty c_{1}(K_{X})=$0이므로 c$$ ${\displaystyle 2(}$ X${\displaystyle }$) = ${\displaystyle 24}$ ${\displaysty c_{2}(X)=24$

Next, the exponential sequence ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$ gives an exact sequence of cohomology groups ${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$, and so ${\$$displaystyle H^{1}(X,\mathb {Z} )=0$ 따라서 베티 번호 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}X}$) ${\displaystyle b_{1}(X)}$은 0이고, 푸앵카레 이중성에 $의해{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}X}$) ${\displaysty b_{3}(X)$도 0이다$$. 마지막으로 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$은(는) 위상학적 오일러 특성과 동일하다$$.

$\displaystyle \chi(X)=\sum _{i}-1^{i}b_{i}(X)}$

Since ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$ and ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$, it follows that ${\displaystyle b_{2}(X)=22}$.^[3]

특성.

• 고다이라 구니히코에 의해 어떤 두 개의 복잡한 분석 K3 표면은 매끄러운 4마니폴드처럼 차이점형이다.^[4]
• 모든 복잡한 K3 표면에는 Yum-Tong Siu에 의한 Kahler 지표가 있다.^[5] (아날로그적으로, 그러나 훨씬 더 쉽다: 한 필드 위의 모든 대수 K3 표면은 투영적이다.) Calabi 추측에 대한 Shing-Tung Yau의 해결책에 의해, 모든 복잡한 분석 K3 표면에는 Ricci-flat Kahler 메트릭스가 있다는 것을 따른다.
• K3 표면의 호지 번호는 호지 다이아몬드에 나열되어 있다.

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  이를 보여주는 한 가지 방법은 특정 K3 표면의 자코비안 이상을 계산한 다음 대수 K3 표면의 모듈리에 Hodge 구조의 변형을 사용하여 그러한 모든 K3 표면이 동일한 Hodge 번호를 가지고 있음을 보여주는 것이다. 임의의 K3 표면에 $대해$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle X}$;${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ) ${\displaystyle$ H$^{2}(X;\mathb {Z})}$에서 계산한 Hodge 구조의 부분과 함께 베티 숫자를 계산하여 더 저브라우드로 계산할 수 있다. 이 경우, 호지 대칭 부대 H0(X,Ω X2)≅ C{\displaystyle H^{0}(X, \Omega_{X}^{2})\cong \mathbb{C}}, 따라서 H1(X, XΩ)≅ C20{\displaystyle H^{1}(X,\Omega_{X})\cong\mathbb{C}^{20}}. 예를 들면, K3특성 p을에서 작업;0, 이것이 알렉세이 루다 코프:구소련의 정치가, 이고르 Shafarev에서 나타난다ich.^[6]

• 복합 분석 K3 ${\displaystyle {표면\mathrm{}}^{}}$ X의 경우, H $2{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X\mathbb{}}$, Z${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ Z ${\displaystyle {22}^{}}$ ${\$ H$^{2}(X,\mathb {Z})\cong \mathb {Z}^{22}}$의 교차 형태(또는 컵 제품)는$$ K3 래티스로 알려진 정수에 값을 갖는 대칭 이선형이다. 이것은 짝수 단변형 격자 ${\displaystyle {\mathrm{II}}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {19}_{}}$ ${\${에 이형화되지 않음.$II} _{3,19}}$, or equivalently ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$, where U is the hyperbolic lattice of rank 2 and ${\displaystyle E_{8}}$ is the E8 lattice.^[7]
• 마쓰모토 유키오의 11/8 추측에 의하면 교차로 형태가 짝수인 매끄러운 방향의 4-매니폴드 X는 서명의 절대값의 적어도 11/8배는 두 번째 베티 숫자를 가지고 있다고 한다. 이는 3-19 = -16의 기호를 가진 복잡한 K3 표면의 평등이 유지되기 때문에 사실이라면 최적이다. 이러한 추측은 균일한 교차 형태를 가진 매끄러운 4-매니폴드는 K3 표면과 ${\displaystyle {S2}^{}}$의 연결된 합과 ${\displaystyle {S2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ S ${\$ S$^{2}\time$ S$^{2$}}의 결합한 합에 동형체라는 것을 암시할 수 있다$.$^[8]
• K3 표면과 다른 모든 복잡한 표면은 로버트 프리드먼과 존 모건이 K3 표면이다. 한편, 고다이라·미카엘 프리드먼에 의해, 동형이지만 K3 표면과는 차이점이 없는 매끄러운 복잡한 표면(그 중 일부는 투영적인)이 있다.^[9] 이 "호모토피 K3 표면"은 모두 고다이라 치수 1을 가지고 있다.

예

• 부드러운 육각(도 6) 곡선을 따라 분기된 투영 평면의 이중 커버 X는 속 2의 K3 표면(즉, 도 2g-2 = 2)이다.(이 용어는 $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$2}}$의 일반 하이퍼 평면의 X의 역 영상이 속$$ 2의 부드러운 곡선임을 의미한다.)
• $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 매끄러운 사분위(도 4) 표면은 속 3의 K3 표면이다(도$$ 4).
• 쿠메르 표면은 2차원 아벨 품종 A의 지수로서${\displaystyle \mathrm{action}}$- ${\displaystyle$ a$\mapsto -a}$의 작용이다$.$ 이 결과 A의 2-토션 지점에서 16개의 특이점이 발생한다. 이 단수 표면의 최소 분해능은 K3 표면이라고도 할 수 있다. A가 속 2의 곡선의 자코비안인 경우, 쿠머는 지수 $A{\displaystyle }$/${\displaystyle }$(${\displaystyle }$± $){\displaystyle$ A$/(\pm$1)을 16개의 노드로 이루어진 사분면으로서 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\$에 삽입할 수 있다는$$ 것을 보여주었다.
• 보다 일반적으로, du Val 특이치가 있는 모든 사분위수 표면 Y의 경우, Y의 최소 분해능은 대수 K3 표면이다.
• $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 사분면과 입방체의 교차점은 속 4의 K3 표면(즉, 도 6)이다$$.
• $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에서 3개의 사분위가 교차하는 것은 속 5의 K3 표면(즉, 도 8)이다$$.
• 가중 투영 공간에 du Val 특이치가 있는 K3 표면의 데이터베이스는 여러 개 있다.^[10]

피카르 격자

복합 분석 K3 표면 X의 피카르 그룹 Pic(X)은 X에 있는 복합 분석 라인 번들의 아벨리안 그룹을 의미한다. 대수 K3 표면에서 Pic(X)은 X에 있는 대수 선다발 그룹을 의미한다. 두 정의는 장 피에르 세레의 GAGA 정리에 의해 복잡한 대수 K3 표면에 대해 일치한다.

The Picard group of a K3 surface X is always a finitely generated free abelian group; its rank is called the Picard number ${\displaystyle \rho }$. In the complex case, Pic(X) is a subgroup of ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$. It is an important feature of K3 surfaces that 많은 다른 피카르 숫자가 발생할 수 있다. X 복합 대수 K3 표면의 경우 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 1과 20 사이의 정수일 수 있다$$. 복합해석 사례에서 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$도 0일 수 있다$$.(이 경우 X는 닫힌 복합곡선을 전혀 포함하지 않는다. 대조적으로 대수 표면은 항상 곡선의 연속적인 많은 패밀리를 포함한다.) 특성 p > 0의 대수적으로 닫힌 필드 위에, 피카르 22번과 함께 대칭 K3 표면의 특별한 등급 K3 표면이 등급이 있다.

The Picard lattice of a K3 surface means the abelian group Pic(X) together with its intersection form, a symmetric bilinear form with values in the integers. (Over ${\displaystyle \mathbb {C} }$, the intersection form means the restriction of the intersection form on ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$. Over 일반 필드, 교차 형태는 피카르 그룹과 구분자 클래스 그룹을 식별하여 표면의 곡선의 교차 이론을 사용하여 정의할 수 있다.) K3 표면의 Picard 격자는 항상 균일하며, 이는 정수 ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2${\$개가 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$($){\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X$에 대해 균일하다는$$ 것을 의미한다.

호지 지수 정리란 대수 K3 표면의 피카르 격자에는 시그니처$, ρ$- $1$)가 있음을 암시한다$.$ K3 표면의 많은 성질은 피카르 격자($Picard lattice)$에 의해 정수에 대한 대칭 이선 형태로 결정된다. 이것은 K3 표면의 이론과 대칭 이선형의 산술 사이의 강한 연결로 이어진다. 이 연결의 첫 번째 예로서: 복잡한 분석 K3 표면은 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{Pic}}$( X ) {\$displaystyle u\in$ \operatorname ${Pic} (X)$에 > ${\displaysty u^{2}}}$이 있는 경우에만 대수적이다^[11]

대략적으로 말하면, 모든 복잡한 K3 표면의 공간은 복잡한 치수 20을 가지고 있는 반면, Picard 번호 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$이(가) 있는 K3 표면의 ${\displaystyle \mathrm{공간}}$은 치수 20 -${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 20-\rho }$을(초대칭 케이스 제외)을$$ 가지고 있다.$$ 특히 대수 K3 표면은 19차원 패밀리에서 발생한다. K3 표면의 모듈리 공간에 대한 자세한 내용은 다음과 같다.

K3 표면의 Picard 격자로 어떤 격자가 발생할 수 있는지에 대한 정확한 설명은 복잡하다. 비아체슬라프 니쿨린과 데이비드 모리슨 ${\displaystyle \mathrm{때문}}$에 한 가지 분명한 진술은${\displaystyle }signature{\displaystyle }$ ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle \rho \leq 11}$이(${\displaystyle \mathrm{가}}$) 있는 모든 서명 격자$({\displaystyle }$1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \rho }$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle(1,\rho -1$)는$$ 어떤 복잡한 투영 K3 표면의 피카르 격자란이라는 것이다.^[12] 그러한 표면의 공간은 치수 ${\displaystyle 20}$ -${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 20-\rho }$을(를) 가지고 있다$.$

타원형 K3 표면

일반 사례보다 분석이 쉬운 K3 표면의 중요한 하위 등급은 타원형 진동 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$ X$\to \mathbf {P}{1}{$1}.$$"Ellptic"은 이러한 형태론의 모든 섬유들이 1의 부드러운 곡선임을 의미한다. 단수 섬유는 고다이라에 의해 분류되는 가능한 형태의 단수 섬유를 가진 합리적인 곡선의 조합이다. 단수 섬유의 위상학적 오일러 특성의 합이 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle \chi (X)=24}$이므로$,$ 일반 타원형 K3 표면은 $각각{\displaystyle {}_{}}$ I 1 ${\displaystyle {타입\mathrm{}}_{}}$ ${\$}{1$}($노달 입방 곡선)의 단수 섬유가 정확히 24개 있다.^[13]

K3 표면이 타원인지 여부는 피카르 격자에서 읽을 수 있다. Namely, in characteristic not 2 or 3, a K3 surface X has an elliptic fibration if and only if there is a nonzero element ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ with ${\displaystyle u^{2}=0}$.^[14] (In characteristic 2 or 3, the latter condition may also correspond to a quasi-elliptic fibration.) 따라서 타원형 진동이 K3 표면에서 코디멘션-1 조건이다. 그래서 타원형 진동이 있는 복잡한 분석 K3 표면의 19차원 패밀리와 타원형 진동이 있는 투사형 K3 표면의 18차원 모듈리 공간이 있다.

예: 선 L을 포함하는$$ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle \mathbf {P} ^3}$의 매끄러운 석영 표면 X에는 L에서 투영하여 얻은 타원형 $진동{\displaystyle }$X → P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$X\$to \mathbf {$P$} ^$1}{1$}$가 있다$.$ 모든 매끄러운 사분면(이소모르프까지)의 모듈리 공간은 치수 19를 가지고 있는 반면, 선을 포함하는 사분면 부공간은 치수 18을 가지고 있다.

K3 표면의 합리적 곡선

델 페조 표면과 같은 양의 곡선 형태와는 대조적으로 복잡한 대수학 K3 표면 X는 변형되지 않는다. 즉, 합리적인 곡선의 연속적인 계열에 의해 다루어지지 않는다. 한편, 일반형의 표면과 같은 음의 곡선 형태와는 대조적으로, X는 이성적인 곡선의 큰 이산형 집합(아마도 단수형)을 포함하고 있다. 특히 Fedor Bogomolov와 David Mumford는 X의 모든 곡선이 이성적 곡선의 양의 선형 결합과 선형적으로 동등하다는 것을 보여주었다.^[15]

음으로 곡선된 품종과 또 다른 대조적인 것은 복잡한 K3 표면 X의 고바야시 지표가 똑같이 0이라는 것이다. 그 증거는 대수학 K3 표면 X가 타원곡선의 연속적인 영상 계열에 의해 항상 덮혀 있다는 것을 사용한다.^[16] (X가 타원 K3 표면이 아닌 경우, 이 곡선은 X 단수형이다.) 더 강력한 문제는 모든 복잡한 K3 표면이 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$여기서 "비분해"는 지도의 파생물이 어느 시점에 이형성임을 의미한다)^[17]의 비분해성 홀로모르프 지도를 인정하는가 하는 것이다.$$

시대지도

Define a marking of a complex analytic K3 surface X to be an isomorphism of lattices from ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ to the K3 lattice ${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$. 표시된 복합 K3 표면의 공간 N은 치수 20의 비하우스도르프 복합 다지관이다.^[18] N의 O{O(\Lambda)\displaystyle}(Λ) 직교 그룹에 의해 복잡한 분석 K3표면의 유질 동상은 수업의 세트는 지수지만, 이 몫은 아닌 기하학적으로 의미 있는moduli 공간 때문에 O(Λ){O(\Lambda)\displaystyle}의 작용까지 제대로 불연속된 것은 아니다.예를 들어[19](spac.매끄러운 사분위 표면의 e는 치수 19의 재확인이 불가능하지만, 20차원 N 계열의 모든 복잡한 분석 K3 표면은 임의로 작은 변형을 가지고 있는데, 이는 매끄러운 사분위수에 이형적인 것이다.)^[20] 같은 이유로 최소 2차원 컴팩트 콤플렉스 토리의 의미 있는 모듈리 공간이 없다.

주기 매핑은 K3 표면을 호지 구조로 보낸다. 신중하게 진술할 때, 토렐리 정리는 K3 표면은 호지 구조에 의해 결정된다. 기간 영역은 20차원 복합 다지관으로 정의된다.

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}0\}.}$

The period mapping ${\displaystyle N\to D}$ sends a marked K3 surface X to the complex line ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$. This is surjective, and a local isomorphism, but not an isomorphism (in particulaR 왜냐하면 D는 하우스도르프, N은 그렇지 않기 때문이다. 그러나 K3 표면의 글로벌 토렐리 정리에서는 세트의 지수를 나타내는 지도가 있다고 한다.

$D/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

비굴하다 It follows that two complex analytic K3 surfaces X and Y are isomorphic if and only if there is a Hodge isometry from ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ to ${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$, that is, an isomorphism of abelian groups that preserves the intersection form and sends ${\displaystyle H^{}}$${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$ to ${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$.^[21]

투사형 K3 표면의 모듈리 공간

속 g의 편극화된 K3 표면 X는 L이 원시적인(다른 선다발의 2배 이상이 아닌) 및 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$( L${\displaystyle {}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle g}$ -${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2-2}$와 함께 투영적인 K3 표면으로 정의된다$.$ 이를 도 2g-2의 편광 K3 표면이라고도 한다.^[22]

이러한 가정 하에서 L은 기준점이 없다. 특성 0에서 베르티니의 정리는 선형계 L에 평활곡선 C가 있음을 내포하고 있다. 그러한 모든 곡선은 속(X,L)이 속(g)을 가지고 있다고 하는 이유를 설명한다.

The vector space of sections of L has dimension g + 1, and so L gives a morphism from X to projective space ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$. In most cases, this morphism is an embedding, so that X is isomorphic to a surface of degree 2g−2 in ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$.

각 $g{\displaystyle 2}$ 2 ${\displaystyle g\geq 2}$에 대해 g의 편광 복합 K3 표면의$$ 무reducable ${\displaystyle {bough}_{}}$ moduli space $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {F}_{g}}}}$이 있으며$,$ 그룹 SO(2,19)에 대해서는 시무라 품종의 자리스키 오픈 서브셋으로 볼 수 있다. 각 g에 대해 F ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 치수 19의 준투영 복합 품종이다$$.^[23] Shigeru Mukai showed that this moduli space is unirational if ${\displaystyle g\leq 13}$ or ${\displaystyle g=18,20}$. In contrast, Valery Gritsenko, Klaus Hulek and Gregory Sankaran showed that ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ is of general type if ${\displaystyle g\geq 63}$ or $$${\displaystyle g}$= ${\displaystyle 47,}$ ${\displaystyle 51,}$ ${\displaystyle 55,}$ ${\displaystyle 58,}$ ${\displaystyle 59,}$ ${\displaystyle 61}$ ${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61$ 이 영역에 대한 조사는 Voisin(2008)에 의해 주어졌다.

서로 다른 19차원 모듈리 공간 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$이 복잡하게 겹친다$$. 실제로 최소 2개의 Picard 번호의 K3 표면에 해당하는$$ 각 ${\displaystyle F_{}}$ $g{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$의 코드 분할-1 하위 변수 집합이 카운트할 정도로 무한하다. 그 K3 표면은 2g–2 정도가 아니라 무한히 많은 다른 도들의 편광성을 가지고 있다. 그래서 무한히 많은 다른 모듈리 ${\displaystyle {공간}_{}}$ $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ h ${\$가 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$를 만난다고 말할 수 있다$.$ 이는 부정확한 것으로, 모든 모듈리 공간 ${\displaystyle F_{}}$ $g{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$를 포함하는 잘 정돈된 공간이 없기 때문이다$.$ 다만, 이 개념의 구체적인 버전은 어떤 두 개의 복잡한 대수 K3 표면이라도 대수 K3 표면을 통해 변형과 동등하다는 사실이다.^[24]

More generally, a quasi-polarized K3 surface of genus g means a projective K3 surface with a primitive nef and big line bundle L such that ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$. Such a line bundle still gives a morphism to ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$, but now it may contract finitely many (−2)-곡선, X의 이미지 Y가 단수이도록 한다. (A-2)-표면 위의 곡선은 P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 이형 곡선을 의미한다$$. 속 g의 준극화된 K3 표면의 모듈리 공간은 여전히 차원 19(이전의 모듈리 공간을 열린 부분집합으로 포함)로 되돌릴 수 없다. 형식적으로는 이것을 du Val 특이점이 있는 K3 표면 Y의 모듈리 공간으로 보는 것이 더 효과적이다.^[25]

풍만한 원뿔과 곡선의 원뿔

대수학 K3 표면의 주목할 만한 특징은 피카르 격자(Picard 격자 자동화에 이르기까지)가 풍부한 디비저의 볼록콘을 포함하여 표면의 많은 기하학적 성질을 결정한다는 것이다. 넉넉한 원뿔은 피카르 격자에 의해 다음과 같이 결정된다. 호지 지수 정리로는 실제 벡터 ${\displaystyle {공간\mathrm{}}^{}}$ $N{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 1{}^{}}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle Pic\mathbb{}}$pic${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \otimes }$ R ${\$ N$^{1}(X):$$=\\operatorname {Pic}(X)\otimes \mathb {R}}$에는${\displaystyle \mathrm{서명}}$(${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle -}$ -${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle($${\displaystyle 1}$$,\rho -1)$이 있으며$$$,$ 따라서 N ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle N^{1}(X)$의 요소 집합에는 두 개의 연결된 구성 요소가 있다. 양극 원뿔을 X에 충분한 디비저가 들어 있는 구성 요소라고 부른다.

사례 1: ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle u^{2}=-2}$와 함께$$Pic(X)의 요소 u는 없다. 그러면 넉넉한 원뿔은 양의 원뿔과 같다. 따라서 그것은 표준 원형 원뿔이다.

사례 2: 그렇지 않으면 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{Pic}}$ ${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$} ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2$ 피카르 격자의 뿌리 집합. 뿌리의 직교 보완물은 모두 양극 원뿔을 통과하는 일련의 하이퍼플레인을 형성한다. 그 다음, 넉넉한 원뿔은 양극 원뿔에 있는 이러한 하이퍼플레인의 보완물의 연결된 구성 요소다. 이러한 두 가지 구성 요소는 각 루트 하이퍼플레인 전체에 걸친 반사를 포함하므로 격자 Pic(X)의 직교 그룹을 통해 이형성이 있다. 이런 의미에서 피카르 격자는 풍만한 원뿔을 이형성까지 결정한다.^[26]

Sandor Kovács에 의해, Pic(X)에서 하나의 풍부한 divisor A를 아는 것이 X의 곡선의 전체 원뿔을 결정한다는 관련 진술이 있다. 즉, X에 Picard 번호 ${\displaystyle ∆}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \rho \geq 3}$이(가) 있다고 가정해 보십시오$.$ 루트 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$이(가) 비어 있으면 곡선의 닫힌 원뿔이 양의 원뿔의 닫힘입니다. Otherwise, the closed cone of curves is the closed convex cone spanned by all elements ${\displaystyle u\in \Delta }$ with ${\displaystyle A\cdot u>0}$. In the first case, X contains no (−2)-curves; in the second case, the closed cone of curves is the closed convex cone spanned by all (−2)-curves.^[27] (만약 $\rho {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \rho =$2}인 경우$,$ 한 가지 다른 가능성이 있다: 곡선의 원뿔은 하나의 (-2)-원곡선과 자기 절연 0의 원곡선으로 분리될 수 있다.) 따라서 곡선의 원뿔은 표준 원형 원뿔이거나, 그렇지 않으면 "샤프 코너"가 있다(각 (-2)-원곡선의 원뿔의 고립된 극단에 걸쳐 있기 때문이다.

자동형성군

K3 표면은 그들의 자동모형 집단이 무한하고, 이산적이며, 그리고 매우 비아벨라블적일 수 있다는 점에서 대수적 품종들 사이에서 다소 특이하다. 토렐리 정리 버전에 의해, 복잡한 대수학 K3 표면 X의 피카르 격자는 X의 자동형 집단을 최대 상응까지 결정한다. Namely, let the Weyl group W be the subgroup of the orthogonal group O(Pic(X)) generated by reflections in the set of roots ${\displaystyle \Delta }$. Then W is a normal subgroup of O(Pic(X)), and the automorphism group of X is commensurable with the quotient group O(Pic(X))/W. 한스 스렉 때문에 이와 관련된 진술은 오토(X)가 다면체 기본영역을 가진 X의 네프콘에 작용한다는 것이다.^[28]

문자열 이중성과의 관계

K3 표면은 거의 보편적으로 문자열 이중성에 나타나며 이를 이해하는 데 중요한 도구를 제공한다. 이러한 표면의 스트링 압축은 사소한 것이 아니지만 대부분의 특성을 상세하게 분석할 수 있을 만큼 간단하다. 유형 IIA 문자열, 유형 IIB 문자열, E₈×E₈ 이성질 문자열, 스핀(32)/Z2 이성질 문자열, M-이론은 K3 표면의 압축화에 의해 관련된다. 예를 들어 K3 표면에서 압축된 Type IIA 문자열은 4-토러스(Aspinwall (1996) harvtxt 오류: no target: CITREFAspinwall1996 (도움말)에서 압축된 이질 문자열과 동등하다.

역사

$P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$^{$3}}$의 석영 표면은 Ernst Kummer, Arthur Cayley, Friedrich Schur 및 기타 19세기 기하학자들이 연구했다$$. 보다 일반적으로 Federigo Enriques는 1893년에 다양한 숫자 g의 ${\displaystyle {}^{}}$ $P{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ g ${\$^{$g}}$에 사소한 표준 번들과 불규칙성이 0인$$ 2g-2의 표면이 있다는 것을 관찰했다.^[29] 1909년에 Enriques는 그러한 표면이 모든$g{\displaystyle }$≥ $3$에 대해 존재한다는 것을 보여주었고$,$ Francesco Severi는 그러한 표면의 모듈리 공간이 각 g에 대해 차원 19를 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[30]

André Weil(1958)은 K3 표면에 이름을 붙였고(위의 인용문 참조) 그들의 분류에 대해 몇 가지 유력한 추측을 했다. 고다이라 구니히코는 1960년경에 기본 이론을 완성했고, 특히 대수학적이 아닌 복잡한 K3 표면의 체계적 연구를 최초로 만들었다. 그는 모든 두 개의 복잡한 분석 K3 표면이 변형 등가성이며 따라서 차이점형이라는 것을 보여주었는데, 이는 대수 K3 표면에서도 새로운 것이었다. 나중에 중요한 진전은 일리야 피아테스키-샤피로 및 이고르 샤파레비치(1971)에 의한 복잡한 대수학 K3 표면의 토렐리 정리의 증명이었고, 다니엘 번즈와 마이클 라포포트(1975)에 의한 복잡한 분석 K3 표면으로 확장되었다.

참고 항목

• 엔리케스 표면
• 테이트 추측
• 마티외 밀샤인, K3 표면과 마티외 그룹 M24의 신비한 관계.

메모들

참조

• Aspinwall, Paul (1997), "K3 surfaces and string duality", Fields, strings and duality (Boulder, CO, 1996), World Scientific, pp. 421–540, arXiv:hep-th/9611137, MR 1479699
• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Compact complex surfaces, Springer, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
• Beauville, Arnaud (1983), "Surfaces K3", Bourbaki seminar, Vol. 1982/83 Exp 609, Astérisque, 105, Paris: Société Mathématique de France, pp. 217–229, MR 0728990
• Beauville, A.; Bourguignon, J.-P.; Demazure, M. (1985), Géométrie des surfaces K3: modules et périodes, Séminaire Palaiseau, Astérisque, 126, Paris: Société Mathématique de France, MR 0785216
• Brown, Gavin (2007), "A database of polarized K3 surfaces", Experimental Mathematics, 16 (1): 7–20, doi:10.1080/10586458.2007.10128983, MR 2312974, S2CID 24693572
• Burns, Daniel; Rapoport, Michael (1975), "On the Torelli problem for kählerian K-3 surfaces", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 8 (2): 235–273, doi:10.24033/asens.1287, MR 0447635
• Enriques, Federigo (1893), "Richerche di geometria sulle superficie algebriche", Memorie Accademia di Torino, 2, 44: 171–232, JFM 25.1212.02
• Enriques, Federigo (1909), "Le superficie di genere uno", Rendiconti Accademia di Bologna, 13: 25–28, JFM 40.0685.01
• Gritsenko, V. A.; Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2007), "The Kodaira dimension of the moduli of K3 surfaces", Inventiones Mathematicae, 169 (3): 519–567, arXiv:math/0607339, Bibcode:2007InMat.169..519G, doi:10.1007/s00222-007-0054-1, MR 2336040, S2CID 14877568
• Huybrechts, Daniel (2016), Lectures on K3 surfaces (PDF), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 158, Cambridge University Press, ISBN 978-1107153042, MR 3586372
• Kamenova, Ljudmila; Lu, Steven; Verbitsky, Misha (2014), "Kobayashi pseudometric on hyperkähler manifolds", Journal of the London Mathematical Society, 90 (2): 436–450, arXiv:1308.5667, doi:10.1112/jlms/jdu038, MR 3263959, S2CID 28495199
• Mukai, Shigeru (2006), "Polarized K3 surfaces of genus thirteen", Moduli spaces and arithmetic geometry, Adv. Stud. Pure Math., 45, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 315–326, MR 2310254
• Pjateckiĭ-Šapiro, I. I.; Šafarevič, I. R. (1971), "Torelli's theorem for algebraic surfaces of type K3", Mathematics of the USSR – Izvestia, 5 (3): 547–588, Bibcode:1971IzMat...5..547P, doi:10.1070/IM1971v005n03ABEH001075, MR 0284440
• Rudakov, A.N. (2001) [1994], "K3 surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Scorpan, Alexandru (2005), The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8, MR 2136212
• Severi, Francesco (1909), "Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero" (PDF), Atti del Istituto Veneto, 68: 249–260, JFM 40.0683.03
• Voisin, Claire (2008), "Géométrie des espaces de modules de courbes et de surfaces K3 (d'après Gritsenko-Hulek-Sankaran, Farkas-Popa, Mukai, Verra, et al.)" (PDF), Astérisque, Séminaire Bourbaki. 2006/2007. Exp 981 (317): 467–490, ISBN 978-2-85629-253-2, MR 2487743
• Weil, André (1958), "Final report on contract AF 18(603)-57", Scientific works. Collected papers, II, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 390–395, 545–547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR 0537935

외부 링크

• K3 표면 카탈로그용 등급 링 데이터베이스 홈페이지
• Magma 컴퓨터 대수 시스템을 위한 K3 데이터베이스
• K3 표면의 기하학, 데이비드 모리슨(1988)의 강의.