피카르-베시오트 이론

미분 대수학에서 피카르-베시오트 이론은 필드 확장의 미분 갈루아 그룹을 이용하여 선형 미분 방정식의 해법에 의해 생성된 미분장 확장에 대한 연구다. 주요 목표는 미분 방정식을 언제 사분면으로 풀 수 있는지를 미분 갈루아 집단의 특성으로 기술하는 것이다. 이 이론은 1883년부터 1904년까지 에밀 피카르와 어니스트 베시오에 의해 시작되었다.

콜친(1973년)과 반데르 푸트앤싱어(2003년)는 피카르-베시오트 이론에 대해 자세히 설명한다.

역사

피카르-베시오트 이론의 역사는 보렐(2001, 8장)이 논한다.

피카르-베시오트 이론은 1883년과 1898년 사이에 피카르드에 의해, 그리고 1892년부터 1904년까지 베시오트에 의해 개발되었다(Picard 1908년, 제16II장)와 베시오트(1892년, 1910년)에 요약되었다. 그들의 이론의 주요 결과는 선형 미분 방정식이 그것의 미분 갈루아 그룹이 연결되어 있고 해결 가능한 경우에만 사분면으로 해결될 수 있다고 매우 대략 말한다. 불행히도 그들이 "해결할 수 있다"는 개념이 정확히 정의되거나 그들의 논문에서 일관되게 사용되지 않기 때문에 정확히 무엇을 증명했는지는 말하기 어렵다. 콜친(1946년, 1948년)은 필요한 개념에 대한 정확한 정의를 내렸고 이 정리의 엄격한 버전을 증명했다.

콜친(1952)은 피카르-베시오트 이론을 (몇 번의 통근 파생으로) 부분 차등 분야로 확장시켰다.

코바시크(1986)는 2차 순서의 동종 선형 방정식을 코바시크 알고리즘으로 알려진 사분법으로 해결할 수 있는지 여부를 결정하기 위한 알고리즘을 설명했다.

Picard-Vessiot 확장 및 링

모든 상수가 F에 있고 K가 동질 선형 일반 미분 다항식의 용액과 결합하여 생성될 수 있는 경우 미분장의 확장 F k K를 피카르-베시오트 확장이라고 한다.

A Picard–Vessiot ring R over the differential field F is a differential ring over F that is simple (no differential ideals other than 0 and R) and generated as a k-algebra by the coefficients of A and 1/det(A), where A is an invertible matrix over F such that B = A′/A has coefficients in F. (So A is a fundamental matrix for the differential equation y′ = by.)

류빌의 확장

미분장의 확장자 F differential K는 모든 상수가 F에 있으면 Liouvillian이라고 하며, 유한한 적분수, 적분 지수, 대수함수를 결합하여 K를 생성할 수 있다. 여기서 원소 a의 적분은 y′ = a의 임의의 용액으로 정의되고, a의 적분의 지수화는 y′ = ay의 임의의 용액으로 정의된다.

피카르-베시오트 확장은 차동 갈루아 그룹의 정체성 구성요소가 해결 가능한 경우에만 Louvillian이다(Kolchin 1948, 페이지 38, Van der Put & Singer 2003, Orgion 1.39). 보다 정확히 말하면 대수함수에 의한 확장은 유한 미분 갈루아 그룹에 대응하고, 통합에 의한 확장은 1차원적이고 전능하지 않은 미분 갈루아 그룹의 서브쿼터에 대응하며, 통합의 지수화에 의한 확장은 1차원 a인 미분 갈루아 그룹의 서브쿼터에 대응한다.감량(토리)

원천

• Beukers, Frits (1992), "8. Differential Galois theory", in Waldschmidt, Michel; Moussa, Pierre; Luck, Jean-Marc; et al. (eds.), From number theory to physics. Lectures of a meeting on number theory and physics held at the Centre de Physique, Les Houches (France), March 7–16, 1989, Berlin: Springer-Verlag, pp. 413–439, ISBN 3-540-53342-7, Zbl 0813.12001
• Borel, Armand (2001), Essays in the history of Lie groups and algebraic groups, History of Mathematics, vol. 21, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5, MR 1847105
• Kolchin, E. R. (1946), "The Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 32 (12): 308–311, Bibcode:1946PNAS...32..308K, doi:10.1073/pnas.32.12.308, ISSN 0027-8424, JSTOR 87871, MR 0018168, PMC 1078958, PMID 16578224
• Kolchin, E. R. (1948), "Algebraic matric groups and the Picard–Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations", Annals of Mathematics, Second Series, 49 (1): 1–42, doi:10.2307/1969111, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969111, MR 0024884
• Kolchin, E. R. (1952), "Picard–Vessiot theory of partial differential fields", Proceedings of the American Mathematical Society, 3 (4): 596–603, doi:10.2307/2032594, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032594, MR 0049883
• Kolchin, E. R. (1973), Differential algebra and algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 54, Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-417650-8, MR 0568864
• Kovacic, Jerald J. (1986), "An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations", Journal of Symbolic Computation, 2 (1): 3–43, doi:10.1016/S0747-7171(86)80010-4, ISSN 0747-7171, MR 0839134
• Picard, Émile (1908) [First published 1896], Traité d'analyse (in French), vol. 3 (deuxieme ed.), Gauthier-Villars – via Internet Archive
• van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 328, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44228-8, MR 1960772
• Vessiot, Ernest (1892), "Sur l'intégration des équations différentielles linéaires", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3 (in French), 9: 197–280, doi:10.24033/asens.372
• Vessiot, Ernest (1910), "Méthodes d'intégration élémentaires", in Molk, Jules (ed.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in French), vol. 3, Gauthier-Villars & Teubner, pp. 58–170

외부 링크

• Kovacic, J. J. (2005), Picard–Vessiot theory, algebraic groups and group schemes (PDF), archived from the original (PDF) on 2012-02-26, retrieved 2011-01-01