헤케 문자

수 이론에서, 헤케 캐릭터는 디리클레 L 기능보다 큰 L 기능의 클래스를 구성하기 위해 에리히 헤케에 의해 소개된 디리클레 문자의 일반화다. 그리고 디데킨드 제타 기능 및 리만 제타 기능과 유사한 기능 방정식을 가진 특정한 다른 기능들을 위한 자연스러운 설정이다.

헤케 캐릭터에 가끔 사용되는 이름은 독일어 용어 그뢰젠차라크터(흔히 그뢰센차라크터, 그로스엔캐릭터 등)이다.

IDE를 사용한 정의

헤케 문자는 숫자 필드 또는 전역 함수 필드의 IDE 클래스 그룹의 문자다.투영 지도와의 조성을 통해 주 아이디얼에서 사소한 아이디얼 그룹의 문자에 고유하게 대응한다.

이 정의는 등장인물의 정의에 따라 달라지며, 이는 저자마다 약간 다르다.0이 아닌 복잡한 숫자에 대한 동형성("Qasicharctor"라고도 함) 또는 C("유니터리")에 있는 단위 원에 대한 동형성으로 정의될 수 있다.어떤 퀘이차락터(이데레 클래스 그룹의)도 규범의 실제 힘을 곱한 단일 문자로서 고유하게 쓰일 수 있으므로, 두 정의 사이에는 큰 차이가 없다.

헤케 문자 χ의 지휘자는 χ이 헤케 문자 m모드 m일 정도로 가장 큰 이상 m이다.여기서 우리는 모든 v-adic 구성요소가 1 + mO에_v 있는 유한한 이델의 그룹에서 χ(이데일 그룹의 문자로 간주됨)이 사소한 경우 χ은 헤케 문자모드 m이라고 말한다.

이상을 이용한 정의

헤케로 거슬러 올라가는 헤케 캐릭터의 원래 정의는 부분적인 이상에 대한 캐릭터의 관점이었다.숫자 필드 K의 경우, m = mm를_f∞ K-mulus로 하고, "완료 부분"인_f m은 K와 m의_∞ 일체형 이상, "무한 부분"은 K의 실제 위치의 (공식) 제품이다.나는 K의 분수 이상의 그룹 상대적으로 그리고 그럼 어디 1근처에 m의 요인들이 multiplicities에 따라 각각의 장소에서 있(를)주요 분수 이상의 서브 그룹의 의미:각 한정된 장소로 mf에 v자 mf는데 가장 의미하자, ordv(한 − 1)적어도 mf에 v의 해설자로서의, 그리고 eac에 긍정적 크다.h아무도알 m∞에.저는에서 조금이라도 복잡한 숫자로 계수 m을 가진 헤케 캐릭터는 그룹 준동형은 이상(를)에 그럼의 값은 값으로 이동 지속적인 불완전 변태의 K각 지역 componen의 모든 아르키메데스의 성공의 증식력이 있는 그룹의 제품과 그 영이 아닌 복소수와 같은지.동형성의 t는 (지수에서) 동일한 실제 부분을 가진다.(여기서 우리는 K의 다양한 Archimedeans에 해당하는 임베딩을 사용한 Archimedeans의 K 제품에 A를 내장하고 있다.)따라서 Heck 캐릭터는 지수 I_m/P인_m 레이 클래스 modulo m에 정의될 수 있다.

엄밀히 말하면, 헤케는 완전히 긍정적인 발전기를 인정하는 사람들을 위해 주요 이상에 대한 행동에 관한 규정을 만들었다.그래서 위에서 주어진 정의의 관점에서, 그는 실제로 모든 실제 장소들이 나타나는 모둘리(moduli)와 함께 일했을 뿐이다.무한대 부분_∞ m의 역할은 이제 무한대 타입의 개념으로 요약된다.

정의 간의 관계

이상적 정의는 이상적 정의보다 훨씬 더 복잡하며, 헤케의 정의에 대한 동기는 디리클레 L-함수의 개념을 이성적 개념에서 다른 숫자 분야로 확장하는 L-기능(Heck L-functions)^[1]을 구축하는 것이었다.헤케 문자 χ의 경우 L-함수는 디리클레 시리즈로 정의된다.

${\displaystyle \sum _{(I,m)=1}\chi(I)N(I)^{-s}=L(s,\chi )}$

헤케 캐릭터의 계량적 m에 상대적으로 가장 적합한 본질적 이상에 대해 수행됨.N(I) 표기법은 이상적인 규범을 의미한다.부분군 P에_m 있는 헤케 문자의 행동을 지배하는 일반적인 실제 부품 조건은 이러한 디리클레 시리즈가 어떤 오른쪽 반면에서 절대적으로 수렴된다는 것을 암시한다.Heck는 이러한 L-기능이 전체 복잡한 평면에 공상형 연속성이 있다는 것을 증명했으며, 캐릭터가 사소한 경우 s = 1에서 순서 1의 단순한 폴을 제외하고 분석적이다.원시 헤케 문자(원시 디리클레 문자와 유사한 방식으로 계수에 대해 정의됨)에 대해 헤케는 이러한 L-기능이 문자의 L-함수와 복잡한 결합문자의 L-함수와 관련된 함수 방정식을 만족한다는 것을 보여주었다.

idele 클래스 그룹의 문자 ψ을 고려하십시오. ψ은 주 아이디얼에 1이고 모든 무한 장소를 포함하는 예외적인 유한 집합 S에 있는 단위 원에 대한 지도로 간주한다.그 후 ψ은 이상 집단 I의^S 성격 χ을 생성하며, S에서가 아닌 프라임 이상에 자유로운 아벨리아 집단을 생성한다.^[2]S에 없는 각 prime p에 대한 균일화 요소 π을 취하여 I에서^S I까지의 지도 π을 p 좌표에서 π이고 다른 곳에서는 1인 idele의 클래스에 매핑하여 정의한다.χ을 π과 ψ의 합성어가 되게 한다.그러면 χ은 이상군에서 인물로서 잘 정의된다.^[3]

반대 방향에서 I의^S 허용 가능한 문자 χ이 주어지면 독특한 idele class 문자 ψ에 대응한다.^[4]여기서 허용은 1모드 m인 이상에 문자 χ이 1이 되도록 세트 S에 근거한 계량 m의 존재를 말한다.^[5]

비독점적으로 존재할 때 무한형이라는 것은 이러한 문자가 유한한 순서가 아님을 의미한다는 점에서 문자는 '크다'라고 할 수 있다.유한 순서 헤케 문자는 어떤 의미에서 계급장 이론에 의해 모두 설명된다: 그들의 L-기능은 아르틴 상호주의가 보여주는 바와 같이 아르틴 L-기능이다.그러나 가우스 분야처럼 단순한 분야라도 심각한 방식으로 유한한 순서를 넘어서는 헤케 문자를 가지고 있다(아래 예 참조).나중에 복잡한 곱셈 이론의 발전은 '큰' 문자의 적절한 위치가 중요한 등급의 대수적 품종(또는 동기까지도)을 위해 하세-윌 L 기능을 제공하는 것이었다는 것을 보여주었다.

특례

• 디리클레 문자는 유한 질서의 헤케 문자다.그것은 어떤 계량 m에 관한 1인 완전히 긍정적인 주요 이상들의 집합에 대한 가치들에 의해 결정된다.^[5]
• 힐버트 캐릭터는 지휘자 1의 디리클레 캐릭터다.^[5]힐버트 문자 수는 필드의 클래스 그룹의 순서다.계급장 이론은 힐베르트 계급장의 갈루아 그룹 캐릭터로 힐베르트 문자를 식별한다.

예

• 합리적인 숫자의 분야에서, 이상 등급 그룹은 p-adic 정수의 모든 단위 그룹과 함께 양의 reals Ⅱ의⁺ 곱에 이형적이다.그래서 퀘이차락터는 디리클레 문자로 표준의 힘의 산물로 쓰일 수 있다.
• 도체 1의 가우스 정수의 헤케 문자 χ은 형식이다.

χ(a) = a(a/ ⁴ⁿ)

s 가상 및 n 정수의 경우, 여기서 a는 이상적인 (a)의 생성자다.유일한 단위는 i의 힘이기 때문에, 지수에서 4의 인수는 캐릭터가 이상에 대해 잘 정의되어 있음을 보장한다.

테이트의 논문

Heck의 L에 대한 함수 방정식에 대한 최초의 증거는 명시적인 세타 함수를 사용했다.에밀 아르틴의 감독하에 작성된 존 테이트의 1950년 프린스턴 박사학위 논문은 폰트랴긴 이중성을 체계적으로 적용하여 어떤 특별한 기능의 필요성을 제거하였다.이와사와 겐키치가 1950년 ICM 토크의 주제였던 이와사와 겐키치에 의해 이와 유사한 이론이 독자적으로 전개되었다.1966년 Weil에 의한 부르바키 세미나에서 나중에 개혁한 결과, 테이트의 증명 일부가 분포 이론에 의해 표현될 수 있다는 것을 보여주었다: 주어진 by에 의한 아이디얼의 작용에 의한 K의 아델 그룹에 대한 분포 공간(슈워츠-브루하트 시험 기능에 대한)은 차원 1이다.

대수학 헤케 문자

대수학 헤케 문자는 대수학 값을 취하는 헤케 문자인데, 그것들은 1947년 Weil에 의해 A형이라는₀ 이름으로 소개되었다.그러한 문자는 학급장 이론과 복잡한 곱셈 이론에서 발생한다.^[6]

실제로 E는 가상의 2차 필드 K에 의해 복잡한 곱셈을 갖는 숫자 필드 F에 대해 정의된 타원 곡선이며, K가 F에 포함되어 있다고 가정한다.그 다음 F에 대한 대수학 헤케 문자 χ이 있는데, 예외적으로 S 세트는 E가 무한의 장소와 함께 나쁜 감소의 프라임 집합이다.이 캐릭터는 좋은 감소가 가능한 프라임 이상 p에 대해 χ(p)가 프로베니우스 내형성의 특징적인 다항식의 뿌리라는 속성을 가지고 있다.결과적으로 E에 대한 Hasse-Weil zeta 함수는 χ과 그것의 복잡한 결합에 대한 두 Diriclet 시리즈의 산물이다.^[7]

메모들

참조

• Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967). Algebraic Number Theory. Academic Press. Zbl 0153.07403.
• Heilbronn, H. (1967). "VIII. Zeta-functions and L-functions". In Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraic Number Theory. Academic Press. pp. 204–230.
• Husemöller, Dale H. (1987). Elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111. With an appendix by Ruth Lawrence. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96371-5. Zbl 0605.14032.
• Husemöller, Dale (2002). Elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (second ed.). Springer-Verlag. doi:10.1007/b97292. ISBN 0-387-95490-2. Zbl 1040.11043.
• W. Narkiewicz (1990). Elementary and analytic theory of algebraic numbers (2nd ed.). Springer-Verlag/Polish Scientific Publishers PWN. pp. 334–343. ISBN 3-540-51250-0. Zbl 0717.11045.
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• J. 테이트, 숫자 분야의 푸리에 분석과 헤케의 제타 함수(테이트의 1950년 논문)는 대수적 숫자 이론 edd J. W. S. Cassels, A에 재인쇄되었다. Fröhlich(1967) 페이지 305–347. Zbl 1179.11041
• Tate, J.T. (1967). "VII. Global class field theory". In Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht (eds.). Algebraic Number Theory. Academic Press. pp. 162–203. Zbl 1179.11041.
• Weil, André (1966), Functions Zetas et Distributions (PDF), vol. 312, Séminaire Bourbaki