리틀우드 추측

수학에서 리틀우드 추측은 1930년경 존 에덴소 리틀우드가 제안한 디오판타인 근사치의 공개 문제^[update](2021년 5월 기준)이다.그것은 어떤 두 개의 실수 α와 β에 대해서,

${\displaystyle \liminf _{n\to \inft}\\n\\\vert n\alpha \vert \vert=0,}$

여기서 ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \Vert \,\Vert }$은(는) 가장 가까운 정수에 대한 거리.

공식화 및 설명

이는 다음을 의미한다: 평면에서 점(α, β)을 취한 후 점의 순서를 고려한다.

(2α, 2β), (3α, 3β), ... .

이들 각각에 대해 정수 x 좌표로 가장 가까운 선까지의 거리를 정수 y 좌표로 가장 가까운 선까지의 거리로 곱한다.이 제품은 반드시 기껏해야 1/4이 될 것이다.그 추측은 이 일련의 값들이 수렴될 것인지에 대한 어떠한 설명도 하지 않는다; 그것은 일반적으로 그렇지 않다.이 추측에 따르면 한계는 열등하다고 하며, 거리가 역수보다 더 빨리 붕괴되는 연속성이 있다고 한다.

o(1/n)

리틀오 표기법으로

추가 추측과의 연관성

이것은 숫자의 기하학적 결과에서, 세 개의 실제 변수에서 세 개의 선형 형태의 제품의 0이 아닌 격자점에 대한 최소값으로, 그 함축은 1955년 J. W. S. Cascels와 Swinnerton-Dyer에 의해 보여졌다.^[1]이것은 집단 이데올로기적 용어로 다른 방법으로 공식화될 수 있다.현재 n 3 3에 대해 유지될 것으로 예상되는 또 다른 추측이 있다: 그것은 G_n = SL(R), = = SL_n(Z), 그리고 G에서 대각 행렬의 부분군 D의 관점에서 명시되어 있다.

추측: Dg가 비교적 소형(G/G)인 G/N에 대해, Dg는 닫힌다.

이것은 차례로 리 그룹에 대한 마굴리스에 대한 일반적인 추측의 특별한 경우다.

부분 결과

보렐은 1909년 추측의 진술을 위반하는 예외적인 실쌍(α,3β) 집합이 르베그 측도 0이라는 것을 보여주었다.^[2]Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss는 Hausdorff 치수 0이 있어야 한다는 것을 보여주었다^[3];^[4] 사실 박스 카운팅 치수 0의 많은 콤팩트 세트들의 조합이다.그 결과는 상위 집단의 대각선으로 가능한 작용에 대한 측정 분류 정리를 사용하여 증명되었고, 린덴스트라우스와 바락 바리스에 의해 증명된 격리 정리가 있었다.

이러한 결과는 추측을 만족시키는 비경쟁 쌍이 존재함을 암시한다: 1 n> 0 ${\displaystyle \inf _{n\geq 1}n\cdot$ n$\alpha >0$과 같은 실제 수 α에 따라, (α,β) 추측을 만족시키는 명시적 β를 구성할 수 있다.^[5]

참고 항목

• 리틀우드 다항식

참조

• Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2010). "8. Transcendence and diophantine approximation". In Berthé, Valérie; Rigo, Michael (eds.). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 135. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 410–451. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1271.11073.

추가 읽기

• Akshay Venkatesh (2007-10-29). "The work of Einsiedler, Katok, and Lindenstrauss on the Littlewood conjecture". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 45 (1): 117–134. doi:10.1090/S0273-0979-07-01194-9. MR 2358379. Zbl 1194.11075.