마르첸코-파스퇴르 분포

난수 행렬의 수학 이론에서, 마르첸코-파스투르 분포 또는 마르첸코-파스투르 법칙은 큰 직사각형 난수 행렬의 단수 값에 대한 점증적 행동을 설명한다.이 정리는 1967년 이 결과를 증명했던 우크라이나 수학자 블라디미르 마르첸코와 레오니드 파스투르의 이름을 따서 지은 것이다.null

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m\times$ n$}$ 랜덤$$ 행렬로, 항목들이 평균 0과 분산 σ < {\$displaystyle \sigma$^{$2}<\displaysty })$인 경우, 다음과 같이 하십시오

${\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}XX^{{n}T}$

그리고 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\lambda {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle m_{}}$ m$${\$displaystyle \lambda _{1},\lambda _${2$},\,\dots ,\,\lambda _{m}}}$을 Y ${\displaystyle n_{}}${\$displaysty Y_{n}}}$의 고유값이 되게 한다$$($$임의 변수로 표시).마지막으로, 무작위 측정을 고려하십시오.

${\displaystyle \mu _{m}(A)={\frac {1}{m}\#\왼쪽\{\lambda _{j}\in A\right\},\quad A\subset \mathb {R}}}}$

정리.$m{\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$→ ${\displaystyle \infty \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ m$,\,n\,\to \,\put$}을$$(를) 가정하여, $m{\displaystyle }$/ n${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \lambda \in }$ (${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ $){\displaystym$ m$/n\,\to \,\lambda \in$ ($0,+\fty$ $)\})\}.$그런 다음 ${\displaystyle {\mu m}_{}{}_{}}$→ $[\displaystyle \mu _{m}\, \to$,\$mu }($분포 중 위상* 약함))이 위치한다.

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}(1-{\frac {1}{\lambda }})\mathbf {1} _{0\in A}+\nu (A),&{\text{if }}\lambda >1\\\nu (A),&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1,\end{cases}}}$

그리고

${\displaystyle d\nu (x)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}{\frac {\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda _{-})}}{\lambda x}}\,\mathbf {1} _{x\in [\lambda _{-},\lambda _{+}]}\,dx}$

와 함께

${\displaystyle \pm _{\pm }=\famma ^{2}(1\pm {\sqrt {\\sqrt}}}}^{2}}$

마르첸코-파스투르 법칙은 자유 확률 이론에서도 자유 포아송 법칙으로 나타나는데, 비율 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 1/\lambda }$과 점프 크기 $\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\$

누적분포함수

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${\displaystyle F_{\lambda}())={\begin{경우}{\frac{\lambda)}{\lambda}}\mathbf{1}_{x\in는 경우에는 0,\lambda_{-})}+\left({\frac{\lambda)}{2\lambda}}+F())\right)\mathbf{1}_{x\in는 경우에는 \lambda_{-},\lambda _{+})})},&,{\text{만약}}\lambda>1\\F())\mathbf{1}_{x\in는 경우에는 \lambda_{-},\lambda _{+})}{1}즉 +\mathbf{{1}_{x\in는 경우에는 \lambda_{+},\infty +\mathbf.x\in는 경우)람다 _{+},\inful )},&{\text{{}if }}\0\leq \dada \leq 1,\case}}}$

where ${\textstyle F(x)={\frac {1}{2\pi \lambda }}\left(\pi \lambda +\sigma ^{-2}{\sqrt {(\lambda _{+}-x)(x-\lambda$$_{-})}}-(1+\lambda )\arctan {\frac {r(x)^{2}-1}{2r(x)}}+(1-\lambda )\arctan {\frac {\lambda _{-}r(x)^{2}-\lambda _{+}}{2\sigma ^{2}(1-\lambda )r(x)}}\right)}$ and ${\displaystyle r(x)={\sqrt {\frac {\lambda _{+}-x}{x-\lambda _{-}}}}}$.

이 법칙의 일부 변형

$\sigma {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$= 1 ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$이$($가) 주어질 때 Cauchy 변환(Steeltjes 변환의 음수임)은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{\mu }(z)={\frac {z+\lambda -1-{\sqrt{(z-\lambda -1)^{2}-4\lambda }}}{2\lambda z}}}}$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ - 변환$$:

${\displaystyle R_{\mu }(z)={\frac {1}{1-\lambda z}}}$

응용-상관 행렬

${\displaystyle {상관\mathrm{}}^{}}$ 행렬 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2}$ = 1 ${\displaystyle \sigma ^{2}=1$} 및$$ $\lambda {\displaystyle }$= m${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda =m/n}$에 적용되는 경우, 이 값은 한계에 도달한다.

${\displaystyle \pm _{\pm }=\왼쪽(1\pm {\sqrt {\frac{n}}\오른쪽)^{2}}$

따라서 $종종{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ +$${\$displaystyle \lambda _{+}$보다 낮은 상관 행렬의 고유값이 우연이라고$$ 가정하며, $\lambda {\displaystyle {}_{}}$+ ${\$보다 높은 값이 유의미한 공통 요인이라고$$ 가정한다.For instance, obtaining a correlation matrix of a year long series (i.e. 252 trading days) of 10 stock returns, would render ${\displaystyle \lambda _{+}=\left(1+{\sqrt {\frac {10}{252}}}\right)^{2}\approx 1.43}$. Out of 10 eigen values of the correlation matrix only the values higher than 1.43중요한 것으로 간주될 수 있다.null

참고 항목

• 위그너 반원 분포
• 트레이시-위덤 분포

참조

• Götze, F.; Tikhomirov, A. (2004). "Rate of convergence in probability to the Marchenko–Pastur law". Bernoulli. 10 (3): 503–548. doi:10.3150/bj/1089206408.
• Marchenko, V. A.; Pastur, L. A. (1967). "Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц" [Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices]. Mat. Sb. N.S. (in Russian). 72 (114:4): 507–536. doi:10.1070/SM1967v001n04ABEH001994. 러시아어 버전의 무료 액세스 PDF 링크
• Nica, A.; Speicher, R. (2006). Lectures on the Combinatorics of Free probability theory. Cambridge Univ. Press. pp. 204, 368. ISBN 0-521-85852-6. 무료 다운로드 링크 또 다른 무료 접속 사이트
• Zhang, W.; Abreu, G.; Inamori, M.; Sanada, Y. (2011). "Spectrum sensing algorithms via finite random matrices". IEEE Transactions on Communications. 60 (1): 164–175. doi:10.1109/TCOMM.2011.112311.100721.
• Epps, Brenden; Krivitzky, Eric M. (2019). "Singular value decomposition of noisy data: mode corruption". Experiments in Fluids. 60 (8): 1–30. doi:10.1007/s00348-019-2761-y.