마르코프 스위칭 다원적

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 12월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

금융계측학(경제 데이터에 통계적 방법의 적용)에서 마코프스위치 다중추적(MSM)은 Laurent E. Calvet과 Adla J가 개발한 자산수익의 모델이다. 이질적인 지속시간의 확률적 변동성 구성요소를 통합하는 Fisher.^[1][2] MSM은 금융수익의 특이치와 로그메모리 같은 변동성 지속성, 전력변동을 포착한다. 통화 및 자본 시리즈에서 MSM은 GARCH(1,1)와 FIGARCH(1,1)와 같은 표준 변동성 모델과 견본 내 및 외 비교가 용이하다. MSM은 금융업계 실무자들이 변동성을 예측하고 위험 대비 가치와 가격 파생상품을 계산하는 데 사용한다.

MSM 사양

MSM 모델은 이산 시간과 연속 시간 모두에 지정될 수 있다.

이산 시간

$Let{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 금융자산의 가격을 나타내고, ${\displaystyle {let}_{}}$t = ${\displaystyle \ln (}$ (${\displaystyle P_{}}$t / ${\displaystyle P_{}}$t -${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ $){\displaystyle r_{t}=\ln(P_{t}/P_{t-1})$은 연속 두 기간에 걸친 수익률을 나타낸다$$$$. MSM에서 반환은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle r_{t}=\mu +{\bar {\sigma }}}}}(M_{1,t}M_{2,t})...M_{{\bar {k},t}^{1/2}\epsilon _{t}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$ 및$$ $[\displaystyle \sigma }$은(는) 상수이고$$ { ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ t ${\$은(는) 독립된 표준 가우스인 것이다. 변동성은 1차 잠복 마르코프 상태 벡터에 의해 주도된다.

${\displaystyle M_{t}=(M_{1,t}M_{2,t}\dots M_{{\bar{k}},t})\R_{+}^{\bar {k}}.}$

변동성 상태 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$을 감안할 때$,$ 다음 기간 곱하기 M ${\displaystyle k_{}}$, t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$은 확률 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$과$($와)로 고정된 분포 M에서 추출되며$$, 그 외의 경우에는 변경되지 않은 상태로 유지된다.

${\displaystyle {\mathrm{분포}}_{}}$ M에서${\displaystyle {\mathrm{그려진}}_{}}$ M$$k , t {\$displaystyle M_{$k,t$$}	확률 ${\$을(를) 사용하여
${\displaystyle M_{k,t}=M_{k,t-1}$	확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$}}}과$($와) 함께

전환 확률은 다음과 같이 지정된다.

${\displaystyle {\gamma k}_{}}$= ${\displaystyle 1}$-${\displaystyle }$( 1 -${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {b^{}}^{}}$ k${\displaystyle {{}^{}}^{}}$- ${\displaystyle {1^{}}^{}}$) ${\$

${\$ $순서$는 저주파에서 대략$$ 기하학적 geometric ${\displaystyle {\gamma }_{}{1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}^{}}$-$$1 {\$displaystyle \gamma _{k}\약 \gamma _{1}b^{k-1}$이다. 한계 분포 M은 단위 평균을 가지며, 양의 지지도를 가지며, k와 독립적이다.

이항 MSM

경험적 응용에서 분포 M은 종종 동일한 확률로$$ m ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 또는$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 값을 취할 수 있는 이산형 분포인 경우가 많다. The return process ${\displaystyle r_{t}}$ is then specified by the parameters ${\displaystyle \theta =(m_{0},\mu ,{\bar {\sigma }},b,\gamma _{1})}$. Note that the number of parameters is the same for all ${\displaystyle {\bar {k}}>1}$.

연속시간

MSM은 연속 시간에 유사하게 정의된다. 가격과정은 다음과 같은 확산에 따른다.

${\dplaystyle {\frac {dP_{t}{P_{t}}}=\mu dt+\sigma(M_{t})\,dW_{t}}}}$

where ${\displaystyle \sigma (M_{t})={\bar {\sigma }}(M_{1,t}\dots M_{{\bar {k}},t})^{1/2}}$, ${\displaystyle W_{t}}$ is a standard Brownian motion, and ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ are constants. 각 구성 요소는 다음과 같은 역학을 따른다.

${\displaystyle {\mathrm{분포}}_{}}$ M에서${\displaystyle {\mathrm{그려진}}_{}}$ M$$k , t {\$displaystyle M_{$k,t$$}	확률 ${\displaystyle {\gamma k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \filename _{k}dt}$
${\displaystyle M_{k,t+dt}=M_{k,t}}$	확률 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ -${\displaystyle {\gamma k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1-\reason _{k}dt}$

강도는 k:에 따라 기하학적으로 변화한다.

${\displaystyle \property_{k}=\properties_{1}b^{k-1}.}$

$성분{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 수 k$'{\$가 무한대로 넘어가면$$ 연속 시간 MSM이 다원적 확산으로 수렴되며, 이 MSM의 샘플 경로는 한정된 시간 간격에서 국소 Hölder 지수를 연속적으로 취한다.

추론 및 폐쇄형 가능성

When ${\displaystyle M}$ has a discrete distribution, the Markov state vector ${\displaystyle M_{t}}$ takes finitely many values ${\displaystyle m^{1},...,m^{d}\in R_{+}^{\bar {k}}}$. For instance, there are ${\displaystyle d=2^{\bar {k}}}$ possible st이항 MSM의 ates. The Markov dynamics are characterized by the transition matrix ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}}$ with components ${\displaystyle a_{i,j}=P\left(M_{t+1}=m^{j} M_{t}=m^{i}\right)}$. Conditional on the volatility state, 리턴 ${\displaystyle r_{}}$ t ${\$은(는$$) 가우스 밀도를 가진다.

${\displaystyle f(r_{t}M_{t}=m^{i}={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}(m^{i})}}}\exp \left[-{\frac {(r_{t}-\mu )^{2}}:{2\ma^{2}(m^{i}}}}}}}}\오른쪽).}$

조건부 분포

닫힘 양식 우도

로그우도함수는 다음과 같은 해석식을 가지고 있다.

${\displaystyle \ln L(r_{1},\dots ,r_{T};\teta )=\sum _{t=1}^{T}\ln[\omega(r_{t}).(\Pi _{t-1}A)].}$

최대우도는 유한 표본에서 합리적으로 정확한 추정치를 제공한다.^[2]

기타추정방법

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 연속 분포를 갖는$$ 경우 시뮬레이션된 모멘트 방법 또는 ^[3][4]입자 필터를 통해 시뮬레이션된 우도로 추정을 진행할 수 있다.^[5]

예측

$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$이 주어진 경우$,$ 날짜 $t{\displaystyle }$+ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t+n}$에서 잠복 상태 벡터의 조건부 분포는 다음을 통해 주어진다$$.

${\displaystyle {\hat {\Pi }_{t,n}=\Pi _{t}A^{n}\,}$

MSM은 종종 견본 내/외부의 일부 최고 기존 모델보다 더 나은 변동성 예측을 제공한다. 칼벳과 피셔는^[2] GARCH(1,1), Markov-Switching GARCH ^[6][7]및 Fractional Integrated GARCH에 비해 10일에서 50일의 지평선에서 환율 변동성 예측에서 상당한 이득을 보고 있다.^[8] 룩스는 선형^[4] 예측을 사용하여 유사한 결과를 얻는다.

적용들

여러 자산 및 위험 대비 가치 창출

MSM을 여러 자산으로 확장하는 것은 증권 포트폴리오에서 위험 대비 가치에 대한 신뢰성 있는 추정치를 제공한다.^[5]

자산가격결정

금융경제학에서 MSM은 다중요건 리스크의 가격결정 영향을 분석하기 위해 사용되어 왔다. 이 모델들은 펀더멘털 대비 주식 수익률의 과잉 변동성과 주식 수익률의 부정적인 왜곡을 설명하는 데 어느 정도 성공했다. 그것들은 또한 다면적인 점프를 유발하는 데 사용되었다.^[9]

관련 접근법

MSM은 임의로 주파수가 많은 확률적 변동성 모델이다^[10][11]. MSM은 제임스 D에 의해 경제 및 금융 분야에서 진보된 체제 전환 모델의 편리함을 기반으로 한다. 해밀턴.^[12][13] MSM은 자산 수익의 다단계 모델과 밀접한 관련이 있다.^[14] MSM은 도착 시간을 임의로 변경하여 엄격하게 정지된 프로세스를 보장함으로써 MMAR의 조합 구성을 개선한다. MSM은 Benoit Mandelbrot에 의해 개척된 다원적 조치의 순수한 체제 전환 공식화를 제공한다.^[15][16][17]

참고 항목

• 브라운 운동
• 로게마르 마몬
• 마르코프 체인
• 다단계 자산 수익 모델
• 다축적
• 확률적 변동성

참조

외부 링크

• Financial Time Series, Multiplex 및 Hidden Markov 모델