메넬라오스의 정리

알렉산드리아의 메넬라오스의 이름을 딴 메넬라오스의 정리는 평면 기하학의 삼각형에 관한 명제다. A, B, C와 구별되는 D, E, F 지점에서 각각 BC, AC, AB를 교차하는 삼각형 ABC와 교차선이 있다고 가정합시다. 세그먼트의 서명된 길이(AB 길이는 선의 어떤 고정된 방향에서 B의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지 여부에 따라 양수 또는 음수로 간주된다. 예를 들어, AF/FB는 F가 A와 B 사이에 있을 때 양수 값을 갖는 것으로 정의된다)를 사용하여 정리한다.

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\time {\frac {BD}{DC}\time {\frac {CE}{EA}=-1.}$

또는 동등하게

$BD\time CE=-FB\time DC\time EA.}$^[1]

어떤 저자들은 그 요소들을 다르게 정리하고 겉으로 보기에 다른 관계를^[2] 얻는다.

${\displaystyle {\frac {FA}{FB}}\time {\frac {DB}{DC}\time {\frac {EC}{EA}=1,}$

그러나 위의 각 요인이 상기 해당 요인의 음수이므로, 관계는 동일한 것으로 보인다.

그 반대의 경우도 사실이다. BC, AC, AB에서 D, E, F 점을 각각 선택하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\time {\frac {BD}{DC}\time {\frac {CE}{EA}=-1,}$

그 다음 D, E, F는 공선이다. 정리의 일부로 역이 포함되는 경우가 많다.

그 정리는 그들의 방정식이 오직 부호에서만 다르다는 점에서 세바의 정리와 매우 유사하다.

증명

표준 증거는 다음과 같다.^[3]

첫째로, 왼쪽의 기호는 세 가지 비율이 모두 음수이거나, 선 DEF가 삼각형을 놓친 경우(하단 다이어그램)이거나, 하나는 음수이고, 나머지 두 개는 양수이므로, DEF가 삼각형의 두 면을 교차하는 경우라 음수일 것이다. (파슈의 공리 참조)

크기를 확인하려면 A, B, C 라인에서 DEF 라인까지 수직으로 구성하고 길이를 각각 a, b, c로 유지하십시오. 그런 다음 유사한 삼각형을 사용하여 AF/FB = a/b, BD/DC = b/c, CE/EA = c/a. 따라서

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {AF}{FB}}\오른쪽 \cdot \왼쪽 {\frac {BD}{DC}}\오른쪽 \cdot \왼쪽 {\frac {CE}{EA}\오른쪽 =\왼쪽 {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}}{c}\cdot {\frac {c}{a}\오른쪽 = 1.\quad {\text{(규모에 한함)}}}$

더 간단한 방법으로 크기를 점검할 수 있는 대칭성이 낮을 경우 DEF가 K에서 CK를 만나는 AB에 평행하게 CK를 그리십시오.^[4] 그리고 비슷한 삼각형으로

${\displaystyle \왼쪽 {\frac {BD}{DC}\오른쪽 =\왼쪽 {\frac {BF}{CK}\,\왼쪽 {\frac {AE}{EC}\오른쪽 =\왼쪽 {\frac {AF}{CK}\오른쪽 }$

그리고 그 결과는 이러한 방정식에서 CK를 제거함으로써 나타난다.

그 역은 귀결로서 뒤따른다.^[5] 방정식이 유지되도록 BC, AC, AB 선에 D, E, F를 주어라. F는 DE가 AB를 가로지르는 지점이다. 그리고 그 정리에 의해 이 방정식은 D, E, F도 지탱한다. 둘을 비교해 보면,

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}.}$

그러나 주어진 비율에서 한 구간을 최대 한 지점에서 자를 수 있으므로 F=FRD가 된다.

동종을 이용한 증명

다음의 증거는^[6] 특히 동종류인 아핀 기하학의 개념만을 사용한다. D, E, F가 공선인지 아닌지는 센터 D, E, F가 있는 동종이 3개 있는데, 각각 B를 C로, C를 A로, A를 B로 보낸다. 그렇다면 이 세 개의 구성은 B를 고정하는 동음이의 변환 그룹의 한 요소인 만큼, 중앙 B와 동음이의 것으로, 아마도 비율 1(이 경우 정체성)을 가지고 있을 수 있다. 이 구성은 F가 D와 E와 동일인일 경우에만 DE 라인을 수정한다(첫 번째 두 동종이 확실히 DE를 수정하고, 세 번째 동종은 F가 DE에 놓여 있을 경우에만 그렇게 하기 때문이다). 따라서 D, E, F는 이 조성이 정체성인 경우에만 시준되며, 이는 세 비율의 제품 크기가 1이라는 것을 의미한다.

${\displaystyle {\frac {\overwrightarrow {DC}{\warder}\frac {DB}\time {\fractarrow {EA}}{\frac {\overwardarrow {FB}{\wardrightarrow}=1,}}}}번$

주어진 방정식과 같은 것이다.

역사

누가 실제로 그 정리를 발견했는지는 확실치 않지만, 메넬라오스에 의한 가장 오래된 현존하는 박람회는 슈페릭스에 나타난다. 이 책에서 정리의 평면 버전은 정리의 구면 버전을 증명하는 보조기법으로 사용된다.^[7]

알마게스트에서 프톨레마이오스는 구면 천문학에서 여러 문제에 대한 정리를 적용한다.^[8] 이슬람 황금기 동안 이슬람 학자들은 메넬라오스의 정리 연구에 종사하는 많은 작품을 바쳤는데, 이를 '세컨트에 관한 명제'(shakl al-qatta)라고 불렀다. 완전한 4각형은 그들의 용어로 "세컨트의 형상"이라고 불렸다.^[8] 알-비루니의 작품 《천문학의 열쇠》에는 그러한 작품들이 다수 수록되어 있는데, 이들 작품은 각각 사인 규율을 이끌어낸 메넬라오스의 정리의 특정 사례를 실증한 알-나이리지와 알-카진 작품에서와 같이 프톨레마이오스 알마게스트에 대한 논평의 일부로서 연구로 분류될 수 있으며,^[9] 다음과 같은 독립된 논문으로 구성된 작품들이다.

• 타비트 이븐 쿠라(Thabit ibn Qurra)^[8]의 "Secants의 인물에 대한 치료"(Risala fi shakl al-qatta')
• Husam al-DIn al-Salar's Removing the Veil from the Mysteries of the Figure of Secants (Kashf al-qina' 'an asrar al-shakl al-qatta'), also known as "The Book on the Figure of Secants" (Kitab al-shakl al-qatta') or in Europe as The Treatise on the Complete Quadrilateral. 분실된 논문은 알투시와 나시르 알딘 알투시가 참조했다.^[8]
• 알-시쯔에 의해 일한다.^[9]
• 이라크 아부 나스르 이븐의 타흐디브.^[9]
• 로슈디 라쉬드·아타나세 파파도풀로스, 메넬라오스 스피리츠: 초기 번역과 알 마하니/알 하라위 버전(아랍어 원고에 수록된 메넬라오스 스피리틱스의 비판판, 역사 및 수학 논설), 드 그뤼터, 시리즈: 사이언티니아 그라코 아라비카, 2017년 21, 890쪽 ISBN978-3-11-057142-4

참조

• Russell, John Wellesley (1905). "Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem"". Pure Geometry. Clarendon Press.

외부 링크

위키미디어 커먼스는 메넬라오스의 정리 관련 매체를 보유하고 있다.

• Menelaus의 정리, PlanetMath의 대체 증거
• 세바에서 온 메넬라오스
• 길에서 만난 세바와 메넬라오스
• 메넬라우스와 세바 앳 매트릭스 페이지
• Jay Wrendorff의 메넬라오스의 정리 데모. 울프램 데모 프로젝트.
• Weisstein, Eric W. "Menelaus' Theorem". MathWorld.