리만 다양체에서 로컬로 거리를 정의하는 구조
미분기하학 의 수학 분야에서, 미터법 텐서는 유클리드 공간 의 거리와 각도를 정의하는 것과 같은 방식으로 표면 의 각 점(또는 더 일반적으로는 다지관 ) 근처의 거리와 각도를 정의할 수 있게 한다.보다 정확하게는 다지관의 한 점에서 미터법 텐서는 이 지점에서 접선 공간에 정의된 쌍선형 형태이다(즉, 접선 벡터의 쌍 을 실수 에 매핑하는 쌍선형 함수).
0이 아닌 벡터 v마다 g(v , v )0 이면 메트릭 텐서 g는 정의 정의이다. 정의 정의 정의 메트릭 텐서를 갖춘 다양체는 리만 다양체 로 알려져 있다. 리만 다양체에서 (국소적으로) 가장 작은 두 점을 연결하는 곡선을 측지선 이라고 하며, 그 길이는 다지관에 있는 승객이 한 지점에서 다른 지점으로 이동하기 위해 횡단해야 하는 거리입니다. 이 길이의 개념을 갖춘 리만 다양체는 거리 함수 (p , q)를 갖는 미터법 공간이다. 즉, 한 쌍 의 p 와 q의 값이 p 에서 q까지의 거리이다. 반대로, 미터법 텐서 자체는 거리 함수의 도함수 이다(적절한 방법으로 취함). 따라서 미터법 텐서는 다지관상의 극소 거리를 제공한다.
미터법 텐서의 개념은 19세기 초반 부터 칼 가우스와 같은 수학자들에게 알려져 있었지만, 텐서 로서의 그것의 특성은 20세기 초가 되어서야 특히 텐서의 개념을 처음으로 코드화한 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 레비-시비타에 의해 이해되었다. 메트릭 텐서는 텐서 필드 의 예입니다.
좌표 기준에서 메트릭 텐서의 구성요소는 좌표계의 변경에 따라 입력이 공변적 으로 변환되는 대칭 행렬의 형태를 취한다.따라서 메트릭 텐서는 공변 대칭 텐서입니다. 좌표의존적 관점에서 메트릭텐서장은 각 접선공간에서 점마다 부드럽게 변화 하는 비퇴보 대칭 쌍선형 형태로 정의된다.
서론 칼 프리드리히 가우스 는 1827년 디스퀴지즈 보조 변수 u 와 v에 따라 표면의 데카르트 좌표 x, y 및 z를 갖는 파라메트릭하게 표면 곡선 일반화 했다.따라서 파라메트릭 표면은 (오늘날의 용어로) 벡터 값 함수 이다.
r → ( u , v ) = ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) {\displaystyle {r}(u,v)=bigl(}x(u,v),y(u,v),z(u,v){\bigr}} 순서 있는 실변수 쌍 (u ,오픈 세트 D에 정의됩니다. 가우스의 연구의 주요 목적 중 하나는 표면이 공간에서의 변환(예: 표면을 늘리지 않고 구부리는 것)이나 동일한 기하학적 표면의 특정 파라메트릭 형태의 변화를 겪어도 변하지 않는 함수로 설명할 수 있는 표면의 특징을 추론하는 것이었다.
그러한 자연 불변량 중 하나는 표면을 따라 그려진 곡선의 길이 이다. 다른 하나는 표면을 따라 그려진 한 쌍의 곡선과 공통점에서 만나는 곡선 사이의 각도 입니다. 세 번째 그러한 양은 표면의 한 조각 면적 이다. 표면의 이러한 불변성에 대한 연구는 가우스를 미터법 텐서의 현대적 개념의 이전 개념으로 이끌었다.
호 길이 변수 u 와 v가 제3의 변수 t에 의존하는 경우, 구간 [a ,b ],→( u (t ),v (t )]취하면 파라메트릭 곡선이 파라메트릭 표면 M에서 추적된다.해당 곡선의 호 길이 는 적분 에 의해 지정됩니다.
s = ∫ a b ‖ d d t r → ( u ( t ) , v ( t ) ) ‖ d t = ∫ a b u ′ ( t ) 2 r → u ⋅ r → u + 2 u ′ ( t ) v ′ ( t ) r → u ⋅ r → v + v ′ ( t ) 2 r → v ⋅ r → v d t , \displaystyle \ displaystyle \ \ displaystyle \ \ int _ { a } \ left \ { frac { d } { \ vec { r } ( u ( t , v ( t ) \ right \ , dt \ [ 5pt ] & =\int _{a}^{b}{\becrt {u'(t)^{2},{\vec {r}_{u}\cdot {r}_{u}+2u'(t)v',{\vec {r}_{u}\cdot {r}_{v}+v'v'{c}{2}{c}{c}{v'be}{{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}{c}}} 여기서 ‖(\ displaystyle\left\cdot\right\) 유클리드 노름 을 나타냅니다 여기 서는 체인 규칙이 적용되었으며 첨자는 부분파생상품을 나타냅니다 .
r → u = ∂ r → ∂ u , r → v = ∂ r → ∂ v . {\displaystyle {vec {r}}_{u}=harlfrac {\vec u}, {\v}=harlfrac {\vec {r}{\v}, } integrand는 (4차 ) 미분 제곱근의 곡선에 대한[1]
( d s ) 2 = E ( d u ) 2 + 2 F d u d v + G ( d v ) 2 , {{displaystyle (ds)^{2}=E,(du)^{2}+2F,du,dv+G,(dv)^{2}} (1 )
어디에
E = r → u ⋅ r → u , F = r → u ⋅ r → v , G = r → v ⋅ r → v . {\displaystyle E=bec {r}_{u}\cdot {vec {r}}_{u}\cdot F=bec {r}_{u}\cdot {r}}_{v}\cdot vec {r}_{v}. } (2 )
(1)의 양 ds는 라인 요소라고 불리며 2 M 의 첫 번째 기본 형식이라고 불립니다. 직관적으로 u가 du 단위 증가 하고 v 가 dv 단위 증가 할 때 r→( u ,v )주요 부분을 나타낸다.
행렬 표기법을 사용하여, 첫 번째 기본 형태는
d s 2 = [ d u d v ] [ E F F G ] [ d u d v ] \displaystyle ds^{2}=bgin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}E& F\\F&G\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}du\dv\end{bmatrix}} 좌표 변환 이제 u 와 v가 다른 변수 ' 쌍에 의존할 수 있도록 함 으로써 다른 파라미터화가 선택되었다고 가정합니다. 그러면 새로운 변수에 대한 (2)의 유사점은 다음과 같습니다.
E ′ = r → u ′ ⋅ r → u ′ , F ′ = r → u ′ ⋅ r → v ′ , G ′ = r → v ′ ⋅ r → v ′ . {\displaystyle E'=cdvec {r}_{u'},\cdot F'=cdvec {r}_{u'},\cdot {r},\cd G'=cdvec {r'}_{v'},\cdot {cd} {r}. } (2' )
연쇄규칙 은 행렬식 을 통해 E, F, G 와 E , F 및 G 를 관련짓습니다
[ E ′ F ′ F ′ G ′ ] = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] T [ E F F G ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] (\displaystyle\begin{bmatrix\\F'&G'\end{bmatrix}=begin{bmatrix}{\frac u}{\frac u}{\frac u}}}\{\frac {\frac u}\\frac {\frac u}\frac {\f}\f}\frac u} u} F\\F&G\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}{\frac{partial u}{\partial v'}}\{\frac {\partial v'}{\frac {\partial v'}}{\frac {\partial v'}}{\frac {\fartial v'}} (3 )
여기서 윗첨자 T는 행렬 전치 (transpose)를 나타냅니다. 따라서 계수 E, F , G 가 이 방식으로 배열된 행렬은 좌표 변화의 야코비 행렬 에 의해 변환됩니다.
J = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] . {\displaystyle J=bgin{bmatrix}{\frac {\frac u}{\frac v}}{\frac {\frac v}{\frac v}}}\end {bmatrix}, } 이런 식으로 변환되는 행렬은 텐서 라고 불리는 것의 한 종류입니다. 매트릭스
[ E F F G ] (\displaystyle\begin{bmatrix}E&) F\\F&G\end{bmatrix}} 변환 법칙(3)을 사용
좌표 변환 하에서의 아크 길이의 불변성 Ricci-Curbastro & Levi-Civita(1900) 는 좌표계 간에 이러한 방식으로 변환된 계수 E, F 및 G계의 중요성을 처음 관찰했다.결론적으로 첫 번째 기본 형태 (1)은 좌표계의 변화 하에서 불변 하며, 이는 오로지 E , F 및 G 의 변환 특성에서 따른다는 것이다. 사실, 사슬의 법칙에 의해,
[ d u d v ] = [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] [ d u ′ d v ′ ] (\displaystyle {bmatrix}du\dv\end{bmatrix}=matrix{\dfrac {\dfrac u}{\dfrac u}{\dfrac u'}}}\{\dfrac u'}}, {\dfrac {\dfrac u}, {\dfrac u}, {\dfrac u}, {\matrix u}, {\matrix}, {\dmat}, {\dfrac u}, {bmat}, { 하도록
d s 2 = [ d u d v ] [ E F F G ] [ d u d v ] = [ d u ′ d v ′ ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] T [ E F F G ] [ ∂ u ∂ u ′ ∂ u ∂ v ′ ∂ v ∂ u ′ ∂ v ∂ v ′ ] [ d u ′ d v ′ ] = [ d u ′ d v ′ ] [ E ′ F ′ F ′ G ′ ] [ d u ′ d v ′ ] = ( d s ′ ) 2 . \displaystyle { begin { aligned }ds ^ {2} & = begin { bmatrix } du & dv \ end { bmatrix } { \ begin { bmatrix } E & F\\F&G\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\dv\end{bmatrix}\[6pt]=begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\dfrac}\frac{\d} F\\F&.G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial마}{\partial 너의}}&{\dfrac{\partial마}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac{\partial v}{\partial 너의}}&{\dfrac{\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&, ={\begin{bmatrix}du'&, dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&을 말한다.F'\\F'&.G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{ bmatrix}\\[6pt]&=(ds')^{2}, \end { aligned}} 길이와 각도 가우스에 의해 고려된 메트릭 텐서의 또 다른 해석은 표면으로의 탄젠트 벡터 의 길이와 두 탄젠트 벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 제공한다는 것이다. 현대 용어에서, 미터법 텐서는 표면의 파라메트릭 설명과 독립적인 방식으로 접선 벡터의 점곱을 계산할 수 있게 한다. 파라메트릭 표면 M의 점에서의 탄젠트 벡터는 다음과 같이 쓸 수 있다.
p = p 1 r → u + p 2 r → v {\displaystyle \mathbf {p} = p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}_{v}} 적절한 실수 1 p 2 p에 대하여. 두 개의 접선 벡터가 주어진 경우:
a = a 1 r → u + a 2 r → v b = b 1 r → u + b 2 r → v {\displaystyle\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}_{u} + a_{2} }{\vec {r}_{v}\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}_{u}+b_{2} }{\vec {r}}_{v}\end {aligned}}} 도트 곱의 이중선성 을 사용하여
a ⋅ b = a 1 b 1 r → u ⋅ r → u + a 1 b 2 r → u ⋅ r → v + b 1 a 2 r → v ⋅ r → u + a 2 b 2 r → v ⋅ r → v = a 1 b 1 E + a 1 b 2 F + b 1 a 2 F + a 2 b 2 G = [ a 1 a 2 ] [ E F F G ] [ b 1 b 2 ] . {\displaystyle\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{u} \cdot {vec {r} +a_{1}b_{2}{\vec {r} {r} \cdot {r} }F+b_{1}a_{2 }F+a_{2}b_{2}G\\[8pt]&=begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}E& F\\F&G\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}b_{1}\b_{2}\end{bmatrix}, \end { aligned}} 이는 명백히 4개 1 변수 a 1 b 2 a 2 그러나 UV 평면의 벡터인 a = [a1 2 ]b1 2 ] 의 쌍을 취하는 함수로서 보다 유익하게 볼 수 있다. 즉, put.
g ( a , b ) = a 1 b 1 E + a 1 b 2 F + b 1 a 2 F + a 2 b 2 G . \displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2 }F+b_{1}a_{2 }F+a_{2}b_{2}G, 이것은 a 대칭
g ( a , b ) = g ( b , a ) . \displaystyle g(\mathbf {a},\mathbf {b})=g(\mathbf {b},\mathbf {a}), } 또한 쌍선형 이며, 이는 각 변수 a 선형임 을 의미합니다. 그것은,
g ( λ a + μ a ′ , b ) = λ g ( a , b ) + μ g ( a ′ , b ) , 그리고. g ( a , λ b + μ b ′ ) = λ g ( a , b ) + μ g ( a , b ′ ) {\displaystyle{\begin{정렬}(\lambda \mathbf{}+\mu \mathbf{}',\mathbf{b}\right)&, =\lambda g(\mathbf{},\mathbf{b})+\mu g\left(\mathbf{}',\mathbf{b}\right),\quad{\text{과}}\\g\left(\mathbf{},\lambda \mathbf{b}+\mu{b}'\right\mathbf)&, =\lambda g(\mathbf{},\mathbf{b})+\mu g\left(\mathbf{를},\mathbf{b}'\.권리)\e nd { aligned }} a , a, b , b 및 b의 벡터 및 μ δ 에 대해 검출합니다.
특히 탄젠트 벡터
‖ a ‖ = g ( a , a ) (\displaystyle \left \ mathbf {a} \ right \ = paramrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}) 그리고 두 a θ 는 다음과 같이 계산된다.
왜냐하면 ( θ ) = g ( a , b ) ‖ a ‖ ‖ b ‖ . {\displaystyle \cos(\theta)=paramfrac {g(\mathbf {a},\mathbf {b})}{\left\mathbf {a} \right\\mathbf {b}, } 지역 표면적 은 지표 자체에만 의존해야 하는 또 다른 수치이며 파라미터화 방법에 의존해서는 안 된다.표면 M이 UV 평면에서 영역 D에 걸쳐 함수 →( u ,v )M 의 표면적은 적분에 의해 주어진다.
∬ D r → u × r → v d u d v \displaystyle \iint _{D}\left \vec {r}_{u}\times \vec {r}_{v}\right \,du,dv} 여기서 ×는 교차곱을 나타내며, 절대값은 유클리드 공간에서 벡터의 길이를 나타냅니다. 교차곱에 대한 Lagrange의 아이덴티티 에 의해 적분이 기록될 수 있다.
∬ D ( r → u ⋅ r → u ) ( r → v ⋅ r → v ) − ( r → u ⋅ r → v ) 2 d u d v = ∬ D E G − F 2 d u d v = ∬ D 멈추다 [ E F F G ] d u d v {\displaystyle {r}&\iint _{D}{\sqrt {left\vec {r}_{u}\cdot {r}_{v}\cdot {r}_{v}\cdot {r}-{v}\cdot}\cdot {cd} {}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}},du,dv\\[5pt]= {}&\iint_{D}{\sqrt\det{begin{bmatrix}E&\ F\\F&G\end{bmatrix}}},du,dv\end{aligned}}} 여기 서 det은 행렬식 입니다.
정의. M을 차원 n의 매끄러운 다양체라고 하자 . 예를 들어 표면(예 : n 2 ) 또는 데카르트 공간 1 (\ displaystyle \mathbb {R} ^{n+1 초서면 이다. 각 점 δ M에는 접선 공간이라고 불리는 벡터 공간p TM이 있으며, 점 p 에 있는 매니폴드에 대한 모든 접선 벡터로 구성됩니다. p에서의 메트릭 텐서는 p 에서의 한 쌍의 탄젠트 p X p 실수 (스칼라 )를 생성하는 함수 p (X p Y p
g p 쌍선형 입니다.두 벡터 인수의 함수는 각 인수에 개별적으로 선형일 경우 쌍선형입니다. 따라서 p V p Y p p 에서 세 개의 탄젠트 벡터 이고 a 와 b가 실수라면, g p ( a U p + b V p , Y p ) = a g p ( U p , Y p ) + b g p ( V p , Y p ) , 그리고. g p ( Y p , a U p + b V p ) = a g p ( Y p , U p ) + b g p ( Y p , V p ) . {\displaystyle {begin {aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p}),\quad {text{p},{p},{p} \end { aligned}} g p [2] 대칭 이다.두 벡터 인수의 함수는 모든 벡터 X p p g p ( X p , Y p ) = g p ( Y p , X p ) . {\displaystyle g_{p}(X_{p}) Y_{p}=g_{p}(Y_{p},X_{p}), } g p 비퇴행 입니다.쌍선형 함수는 모든 탄젠트 p X ≤ 0에 대해 다음 함수가 다음 조건을 만족할 경우 비이중화함수이다. Y p ↦ g p ( X p , Y p ) {\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p}) Y_{p}} X를 일정하게 유지 p 변화 p 아닙니다 . 즉, 모든 X p (X p Y p 되도록 p 존재 p M 위의 메트릭 텐서장 g는 p에 따라 부드럽게 변화 하도록 M 의 각 점 p에 p 의 탄젠트 공간 내의 메트릭 p 보다 정확하게는, 매니폴드 M의 열린 부분집합 U와 U 위 의 (평활 ) 벡터장 X 와 Y가 주어진다면, 실제 함수는
g ( X , Y ) ( p ) = g p ( X p , Y p ) {\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p}) Y_{p}} 는 p 의 매끄러운 함수이다.
메트릭의 구성 요소 이 섹션에서는 좌표 벡터에 대해 어느 정도 숙지하고 있는 것으로 가정합니다. 벡터 필드 또는 프레임 = (X n ) 의1 모든 기준 에서 메트릭의 구성요소는 다음과[3]
g i j [ f ] = g ( X i , X j ) . \displaystyle g_{ij}[\mathbf {f}]=g\left(X_{i},X_{j}\오른쪽). } (4 )
n 2 함수ij [f ] 는 n 대칭 행렬 G [f ]한다면
v = ∑ i = 1 n v i X i , w = ∑ i = 1 n w i X i \displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i},\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}} p u U v 와 w에 적용 되는 메트릭의 값은 계수(4)에 의해 쌍선형성에 의해 결정된다.
g ( v , w ) = ∑ i , j = 1 n v i w j g ( X i , X j ) = ∑ i , j = 1 n v i w j g i j [ f ] \displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i}v^{i}g_{ij}[\mathbf {f} 행렬 (g ij f ]) 을 G[f ] 로 표시하고 벡터 v 와 w의 성분을 열 벡터 [f ] 와 w[f ] 로 배열하면,
g ( v , w ) = v [ f ] T G [ f ] w [ f ] = w [ f ] T G [ f ] v [ f ] {\displaystyle g(v,w)=\mathbf {f}[\mathbf {f}^{\mathbf {f}G}[\mathbf {f}}=\mathbf {w}[\mathbf {f}^{\mathbf}{F}} 여기 [f ] T 와 w[f ] T 는 각각 벡터 v[ w[f ]의 전치 이다.폼의 변경 에 따라
f ↦ f ′ = ( ∑ k X k a k 1 , … , ∑ k X k a k n ) = f A \displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots,\sum _{k}X_{k}a_{k}\right)=\mathbf {f}A} 일부 가역 n 행렬 a ij 변화 한다. 그것은,
G [ f A ] = A T G [ f ] A {\displaystyle G[\mathbf {f} A]= A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A} 또는, 이 매트릭스의 엔트리에 관해서,
g i j [ f A ] = ∑ k , l = 1 n a k i g k l [ f ] a l j . {\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{f}[\mathbf {f}a_{f}, } 따라서 ij ] 는 프레임 f의 변화
좌표 측정 기준 M 의 열린 집합 U에 로컬 좌표계 를 주는 n개의 실값 함수(x 1 , ..., x n 벡터 필드의 기초를 결정한다.
f = ( X 1 = ∂ ∂ x 1 , … , X n = ∂ ∂ x n ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}=black {\flac} {\flac},\flac {\flac} {\flash x^{n}}},\flac {\fright}, } 메트릭 g에는 다음에 의해 지정된 이 프레임과 관련된 컴포넌트가 있습니다.
g i j [ f ] = g ( ∂ ∂ x i , ∂ ∂ x j ) . {\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f}\right]=g\frac {\frac}{\frac x^{i}}, {\frac x^{j}\fright}, } 예를 들어, 새로운 지역 좌표계를 기준으로,
y i = y i ( x 1 , x 2 , … , x n ) , i = 1 , 2 , … , n \displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\display,x^{n}),\display i=1,2,\display,n} 미터법 텐서는 계수의 다른 행렬을 결정할 것이다.
g i j [ f ′ ] = g ( ∂ ∂ y i , ∂ ∂ y j ) . (\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\frac {\frac}{\frac y^{i}},{\frac {\fright}{\frac y^{j}}\fright}). } 이 새로운 함수 시스템은 체인 규칙 에 의해 원래 ij (f ) 와 관련된다.
∂ ∂ y i = ∑ k = 1 n ∂ x k ∂ y i ∂ ∂ x k {\displaystyle {\frac y^{i}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\frac x^{i}}{\frac {\frac x^{i}}}{\frac x^{k}}}}} 하도록
g i j [ f ′ ] = ∑ k , l = 1 n ∂ x k ∂ y i g k l [ f ] ∂ x l ∂ y j . {\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f}'\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\frac y^{i}}g_{f}\left[\mathbf {f}\frac {\f}{\f}{\fright}}{\frac x^{\f}}}}{\f}}{\fright}}{\fright}}{\f}}{\f}}}}{\fright}} } 또는 [f ] = (g ij f ])G [fθ ] g ij fθ ])
G [ f ′ ] = ( ( D y ) − 1 ) T G [ f ] ( D y ) − 1 {\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1} 여기 서 Dy는 좌표 변화의 야코비 행렬 을 나타냅니다.
메트릭 시그니처 모든 메트릭 텐서와 관련된 것은 다음과 같이 각 접선 공간에서 정의된 2차 형식이다.
q m ( X m ) = g m ( X m , X m ) , X m ∈ T m M . \displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m}),\quad X_{m}\in T_{m}M. } q가 0 m 경우 m 양 의 정의 입니다. 만약 메트릭이 모든 m µ M에서 양의 확정이라면, g 는 리만 메트릭 이라고 불린다. 보다 일반적으로, 2차 m m 에 의존하지 않는 일정 한 서명을 갖는다면, g 의 서명은 이 서명 이고 g 는 의사 [4] 메트릭 이라고 불립니다. M이 연결 되어 있는 경우 q 의m 시그니처는 [5] m 에 의존하지 않습니다.
실베스터의 관성의 법칙에 의해 , 2차 형태가 다음과 같은 방식으로 대각선화되도록 접선 벡터 i
q m ( ∑ i ξ i X i ) = ( ξ 1 ) 2 + ( ξ 2 ) 2 + ⋯ + ( ξ p ) 2 − ( ξ p + 1 ) 2 − ⋯ − ( ξ n ) 2 {\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}\right)=\left(\xi ^{1}\left(\xi ^{2}\right)^2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^2-\xi ^{1} 1 에서 n 사이의 p 에 대해서.(M의 같은 점 m에 있는) 두 개 의 q 표현은 같은 수의 p 양의 부호를 가집니다. g 의 부호는 한 쌍의 정수(p , n p )로, 이러한 식에 p의 양수 부호 n - p의 음수 부호가 있음을 나타냅니다.마찬가지로 메트릭의 행렬 ij 고유값 n - p 고유값 을 갖는 경우 메트릭은 시그니처(p , n - p )를 갖는다.
응용 프로그램에서 자주 발생하는 특정 메트릭 시그니처는 다음과 같습니다.
g가 부호(n , 0) 를 갖는다면 g 는 리만 메트릭 이고, M은 리만 다양체라고 불린다. 그렇지 않으면, g는 의사-리만 메트릭 이고, M은 의사-리만 다양체 라고 불립니다(반-리만이라는 용어도 사용됨).M 이 기호 (1, 3 ) 또는 (3, 1 )를 가진 4차원이라면, 그 메트릭은 로렌츠 라고 불립니다.보다 일반적으로, 시그니처 (1 , n 또는 (n - 1, 1 )의 4 이외의 차원 n의 미터법 텐서는 때때로 로렌츠라고도 불린다. M이 2n차원이고g 에 시그니처(n , n )경우 메트릭은 ultrahyperbolic 이라고 불립니다. 역측정지표 f X 1 , ...,X n [f ] 를 계수의 행렬로 하자
g i j [ f ] = g ( X i , X j ) . \displaystyle g_{ij}[\mathbf {f}]=g\left(X_{i},X_{j}\right), } 역행렬 G[f ]−1 는 역측정지표(또는 켤레측정지표 또는 이중측정지표 )로 식별된다.역 매트릭스 A에 의해 변경되었을 때 변환 법칙을 충족합니다.
G [ f A ] − 1 = A − 1 G [ f ] − 1 ( A − 1 ) T . {\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}}}. } (5 )
역측정지표는 역변환 기저행렬 A의 변화에 대해 변환됩니다. 메트릭 자체가 벡터 필드의 길이(또는 각도)를 측정하는 방법을 제공하는 반면, 역 메트릭은 코브터 필드의 길이(또는 각도)를 측정하는 수단, 즉 선형 함수 필드를 측정하는 방법 을 제공합니다.
이를 확인하기 위해 α를 코벡터 필드라고 가정 합니다. 각 점 p에 대해 α 는 다음 직선성 조건 p 접선 p 실수 a 및 b 에 대해 유지되도록 p에서의 접선 벡터 상에 정의된 함수α p
α p ( a X p + b Y p ) = a α p ( X p ) + b α p ( Y p ) . \displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_p}\right) } p가 변화함에 따라 α는 다음 과 같은 점에서 매끄러운 함수라고 가정한다.
p ↦ α p ( X p ) \displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\오른쪽)} 는 임의의 매끄러운 벡터장 X에 대한 p 의 매끄러운 함수입니다.
임의의 코벡터 필드α 는 벡터 필드 이것들은 다음에 의해 결정됩니다.
α i = α ( X i ) , i = 1 , 2 , … , n . \displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\오른쪽),\quad i=1,2,\display,n, } 이들 컴포넌트의 행 벡터를 다음과 같이 나타냅니다.
α [ f ] = [ α 1 α 2 … α n ] . {\displaystyle \alpha [\mathbf {f}=big \lbrack }{\big {array}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{n}\end {array}{\big \rbrack },},}. 행렬 A에 의한 f의 변화 [f ] 는 규칙
α [ f A ] = α [ f ] A . \displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} A, } 즉, 성분 f ]공변 벡터로 변환됩니다.
코벡터 필드의 쌍α 와 β의 경우, 이 두 코벡터에 적용되는 역측정지표를 다음과 같이 정의한다.
g ~ ( α , β ) = α [ f ] G [ f ] − 1 β [ f ] T . {\displaystyle {g}(alpha,\mathbf {f})=\alpha[\mathbf {f}G[\mathbf {f}\mathbf {f}\mathsf {T}}}. } (6 )
그 결과 도출된 정의는 기초 f 실제로
α [ f A ] G [ f A ] − 1 β [ f A ] T = ( α [ f ] A ) ( A − 1 G [ f ] − 1 ( A − 1 ) T ) ( A T β [ f ] T ) = α [ f ] G [ f ] − 1 β [ f ] T . {\displaystyle {displaystyle {f}&\alpha [\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} A]A) \={}&\alpha [\mathbf {f}]G[\mathbf {f}\mathbf {f}\mathbf {f}^{\mathsf {T}}}. \end { aligned}} 따라서 fA 그 결과, 그 방정식은 근거의 선택과는 무관하게 의미를 부여할 수 있다. 행렬 [f ] 의 항목은 g로 표시 ij 지수 i 와 j가 상승하였다.
지수 상승 및 하강 벡터 필드 X 1 , ...,X n 필드 X는 다음과 같이 쓸 수 있다.
X = v 1 [ f ] X 1 + v 2 [ f ] X 2 + ⋯ + v n [ f ] X n = f [ v 1 [ f ] v 2 [ f ] ⋮ v n [ f ] ] = f v [ f ] \displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f}]X_{1}+v^{2 }[\mathbf {f}X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f}X_{n}=\mathbf {f}v^{1}[\mathbf {f}\vots\dots {f} (7 )
특이하게 결정된 일부 평활 함수 1 ..., v n 행렬 A에 의해 기저 계수 i 그것은,
X = f A v [ f A ] = f v [ f ] . \displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} =\mathbf {f} v[\mathbf {f} ], } 따라서 v[fA = Av −1 [f ] 다시 말해, 벡터의 성분은 비싱글 행렬 A에 의한 기저 변화 하에서 (즉, 역방향 또는 역방향으로) 반변환 한다. v [f ][f ] 지수 i
프레임은 코벡터를 컴포넌트로 표현할 수도 있습니다. 벡터 필드 X 1 , ...,X n 이중 기저를 선형 함수 (θ [f], ..., θn [ f])로1 정의한다.
θ i [ f ] ( X j ) = { 1 i f i = j 0 i f i ≠ j . \displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f}(X_{j})="begin{case}1&\mathrm {if}\i=j\0&\mathrm {if}\i\tot =j가 아닙니다. \end {case}} 즉, 크로네커 델타인 δ i [f ](X j δ j i 허락하다
θ [ f ] = [ θ 1 [ f ] θ 2 [ f ] ⋮ θ n [ f ] ] . \displaystyle \theta [\mathbf {f} = scap{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f}\\theta ^{f}\\vdots \\theta ^{n}[\mathbf {f}\end{matrix}}}} } 비논리행렬 대한 a fA의 변화 하에서, ] [ f ]는 다음을 통해 변환됩니다.
θ [ f A ] = A − 1 θ [ f ] . \displaystyle \theta [\mathbf {f} A] = A^{-1}\theta [\mathbf {f} ] } 접선 벡터의 선형 함수α 는 이중 기저로 확장 될 수 있다 »
α = a 1 [ f ] θ 1 [ f ] + a 2 [ f ] θ 2 [ f ] + ⋯ + a n [ f ] θ n [ f ] = [ a 1 [ f ] a 2 [ f ] … a n [ f ] ] θ [ f ] = a [ f ] θ [ f ] {\displaystyle\alpha&=a_{1}[\mathbf {f}\theta^{1}[\mathbf {f}+a_{2] }[\mathbf {f}\theta ^{2}[\mathbf {f}+\cdots +a_{n}[\mathbf {f}\theta ^{n}[\mathbf {f}\]\[8pt]&=twig \lbrack }{\{\array}{ccc}{f}{f}{f}{f} (8 )
여기 a[ f]는 행 벡터 [a 1 [f ]a n f ]. 식 (8)이 계속 유지되도록 기본 fA 성분 i 그것은,
α = a [ f A ] θ [ f A ] = a [ f ] θ [ f ] \displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta[\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f}]\theta[\mathbf {f}]} 여기서 θ [fA A −1 [[f ][fA = a [f ]A 즉, 성분 이 (반대 가 아닌 행렬 A에 의해 ) 공변적으로 변환됩니다. a [f ][f ] 의i
이제, 메트릭 텐서는 다음과 같이 벡터와 코벡터를 식별할 수 있는 수단을 제공한다. X를 고정 p
g p ( X p , − ) : Y p ↦ g p ( X p , Y p ) ({displaystyle g_{p}(X_{p}-): Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p}) Y_{p}} 탄젠트 벡터 p 탄젠트 공간에 선형 함수 를 정의합니다. 이 연산은 점 p에서 벡터 p 코벡터 p X p 벡터 필드 벡터 필드 X가 성분 v [g (X ,) 의 성분은 행 벡터의 엔트리에 의해 주어진다.
a [ f ] = v [ f ] T G [ f ] . {\displaystyle a[\mathbf {f}]=v[\mathbf {f}^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ] } 기저 µ fA의 변화 하에서 이 방정식의 오른쪽은 다음을 통해 변환됩니다.
v [ f A ] T G [ f A ] = v [ f ] T ( A − 1 ) T A T G [ f ] A = v [ f ] T G [ f ] A {{displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f}}{\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}}G}{\mathbf {F}} a [fA a [f ]A 가 공변환되도록 합니다 벡터장 [f ] = [ v 1 [f 2 ][f ] ...의 (반변수) 성분과 연관짓는 연산 v n f ] T 코벡터 필드 (중요 ) 성분 a 1 [f ] =a[f2 n a [], 여기서
a i [ f ] = ∑ k = 1 n v k [ f ] g k i [ f ] \displaystyle a_{i}[\mathbf {f}=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f}g_{ki}[\mathbf {f}]} 지수를 낮추는 것 을 말합니다.
지수를 올리려면 같은 구문을 적용하되 메트릭 대신 역측정지표를 적용한다.a [f ] a 1 [f 2 ][f ] ... a n f ] θ [f ]
v [ f ] = G − 1 [ f ] a [ f ] T {\displaystyle v[\mathbf{f}]=G^{)}[\mathbf{f}]a[\mathbf{f}]^{\mathsf{T}}}. (9)
:contravariantly를 변화시키는 구성 요소 있다.
v [ f A ] = A − 1 v [ f ] . {\displaystyle v[\mathbf{f}A]= A^ᆩv[\mathbf{f}]. } 따라서의 양 X= fv[f]기준 f의 선택에 필수적인 방법으로, 따라서 M.에 대한 벡터장을 정의합니다 의존하지 않는다 는 이 작업 covector의 벡터 v[f]은률이라고 불린다 이(반변)구성 요소 a[f]은(공변)구성 요소에 결부시키는(9). 구성 요소에서,(9)은
v i [ f ] = ∑ k = 1 n g i k [ f ] a k [ f ] . {\displaystyle v^{나는}[\mathbf{f}]=\sum _ᆬ^ᆭg^ᆮ[\mathbf{f}]a_ᆯ[\mathbf{f}]. } 유도 메트릭 U는 ℝn에 설정할 때에,와 U에서 m을은 유클리드 공간 ℝm에 φ 지속적으로 미분 가능 함수, n.자 만약 그것의 미분 미국의 φ의 이미지가 잠입형 submanifold라고 불린다 모든 위치에서injective은 매핑 φ 몰입이라고 불린다. 좀 더 구체적으로, m거리에=3, 이는 주변 기하학의 공간은 ℝ3, 이 유도 계량 텐서 첫 기본 형식이라고 불린다는 것을 의미한다.
그submanifold M⊂ 자기 레이놀즈 수에 φ은 몰입으로 가정해 보자. ℝm이면 늘 유클리드 점 제품은 때 벡터 M와 접선하는 제한, 이러한 접선 벡터의 점 제품 구매를 위한 방법을 준다 적절한 계측 법이다. 이것은 유도 기준이라고 불린다.
v 가 U 의 점에서 탄젠트 벡터라고 가정합니다.
v = v 1 e 1 + ⋯ + v n e n {\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e}_{1}+\mathbf {n}\mathbf {e}_{n} 여기 i δ n θ 가 U 에 적용되면 벡터 v는 다음과 같이 주어진 M 에 접하는 벡터로 넘어간다.
φ ∗ ( v ) = ∑ i = 1 n ∑ a = 1 m v i ∂ φ a ∂ x i e a . \displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{m}v^{i}{\frac {\frac \varphi ^{a}}{\frac x^{i}}\mathbf {e}_{a}, } (이것은 φ 에 따라 v의 푸시 포워드라고 불립니다).v 와 w 라는 두 개의 벡터가 주어졌을 때 유도 메트릭은 다음과 같이 정의됩니다.
g ( v , w ) = φ ∗ ( v ) ⋅ φ ∗ ( w ) . \displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w) } 이는 좌표 벡터장
G ( e ) = ( D φ ) T ( D φ ) {\displaystyle G(\mathbf {e})=(D\varphi)^{\mathsf {T}}(D\varphi)} 여기 서 D is는 야코비안 매트릭스입니다.
D φ = [ ∂ φ 1 ∂ x 1 ∂ φ 1 ∂ x 2 … ∂ φ 1 ∂ x n ∂ φ 2 ∂ x 1 ∂ φ 2 ∂ x 2 … ∂ φ 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ φ m ∂ x 1 ∂ φ m ∂ x 2 … ∂ φ m ∂ x n ] . {\displaystyle D\varphi){\begin{bmatrix}{\frac{\partial\varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac{\partial\varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &,{\frac{\partial\varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac{\partial\varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac{\partial\varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &,{\frac{\partial \varphi. ^{2}}{\partial x^{n}}}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\frac \varphi ^{m} {\frac \varphi ^{m} {\frac \varphi ^{m}} {\frac \varphi ^{m} } {\frac x^{m} {\f} } 메트릭의 고유 정의 메트릭의 개념은 파이버번들 과 벡터번들 의 언어 를 사용하여 본질적으로 정의할 수 있습니다. 이러한 용어로, 미터법 텐서는 함수이다.
g : T M × M T M → R \displaystyle g:\mathrm {T} M\times _{M}\mathrm {T} M\to \mathbf {R} (10 )
각 섬유에 대한 g의 제한 이 비퇴행성 쌍선형 매핑이 되도록 M 의 접선다발 의 섬유제품 에서 R로
g p : T p M × T p M → R . \displaystyle g_{p}:\mathrm {T}_{p}M\times\mathrm {T}_{p}M\to\mathbf {R}.} 매핑(10 연속적 이고 종종 연속적으로 구별 가능 하고 매끄럽거나 실제 분석적이어야 하며 M이 이러한 구조를 지원할 수 있는지 여부 가 요구된다.
번들의 섹션으로서의 메트릭 텐서 곱의 보편적 특성 에 의해 임의의 쌍선형 매핑(10 TM 의 텐서 곱다발 의 쌍대 단면 ⊗ 자연발생 한다.
g ⊗ ∈ Γ ( ( T M ⊗ T M ) ∗ ) . ({displaystyle g_{\otimes}\in \Gamma \left(\mathrm {T}M)^{*}\right). } 섹션 ⊗ tm TM의 단순 한 요소에 대해 다음과 같이 정의된다.
g ⊗ ( v ⊗ w ) = g ( v , w ) {\displaystyle g_{\otimes}(v\otimes w)=g(v,w)} TM δ TM의 임의 의 요소에 대해 단순 요소의 선형 조합으로 확장하여 정의한다. 원래의 쌍선형 형태 g는 다음과 같은 경우에만 대칭이다.
g ⊗ ∘ τ = g ⊗ {\displaystyle g_{\otimes}\displaystyle \times =g_{\otimes}} 어디에
τ : T M ⊗ T M → ≅ T M ⊗ T M \displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes {T} M{\stackrel \cong }{\to }} TM\otimes TM} 브레이딩 맵입니다.
M은 유한 차원이기 때문 에 자연 동형성 이 존재한다.
( T M ⊗ T M ) ∗ ≅ T ∗ M ⊗ T ∗ M , \displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M\mathrm {T} M\otimes {T} M,} g ⊗ 그 자체와의 코탄젠트 번들 T*M 의 번들 T*M t T*M의 단면으로 간주한다.g는 쌍선형 매핑으로서 대칭이기 때문 에, g 는⊗ 대칭 텐서이다.
벡터 번들의 메트릭 일반적으로 벡터 번들 내의 메트릭이라고 할 수 있습니다. E가 매니폴드 M 위의 벡터 번들일 경우 메트릭은 매핑입니다.
g : E × M E → R {\displaystyle g: E\times _{M}E\to \mathbf {R} } E 의 섬유 제품에서 각 섬유에 쌍선형 인 R
g p : E p × E p → R . \displaystyle g_{p: E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .} 상기와 같이 이중성을 사용하여 종종 텐서 곱번들 E * )(벡터 번들) 참조 ).
탄젠트-코탄젠트 동형사상 메트릭 텐서는 탄젠트 다발에서 코탄젠트 다발에 자연 동형성 을 부여하며, 때로는 음악적 [6] 이 동형성은 각 접선 p µp TM에 대해 다음과 같이 설정함으로써 얻을 수 있다.
S g X p = 방어하다 g ( X p , − ) , \displaystyle S_{g}X_{p},{\stackrel\text{def}{=}},g(X_{p},-),} p에서 g(X p Y p 까지p 벡터 p 선형p 함수 . 즉, TM과 이중∗ p 공간 TM 사이 의p 쌍 [- -] 측면에서,
[ S g X p , Y p ] = g p ( X p , Y p ) {\displaystyle [S_{g}X_{p}, Y_{p}=g_{p}(X_{p}) Y_{p}} 모든 접선 벡터 p 및 p 매핑 g TM 에서p 선형∗ p 변환 입니다.비퇴행의 정의로부터 S g 커널 이 0으로 감소하므로, 순위-늘 정리 에 의해 S g 선형 동형 이다. 게다가, S g 의미에서 대칭 선형 변환이다.
[ S g X p , Y p ] = [ S g Y p , X p ] {\displaystyle [S_{g}X_{p}, Y_{p}=[S_{g}Y_{p},X_{p}} 모든 접선 벡터 p 및 p
반대로, 선형p 동형 TM∗ p → TM은 TM 위의 비퇴행성p 쌍선형 형태를 다음과 같이 정의한다.
g S ( X p , Y p ) = [ S X p , Y p ] . {\displaystyle g_{S}(X_{p}) Y_{p}=[SX_{p}, Y_{p}], } 이 쌍선형 형태는 S가 대칭인 경우 에만 대칭입니다. 따라서 TM의 대칭p 쌍선형 형태와 이중∗ p TM 의p
p는 M에 걸쳐 변화 하므로 S g 벡터 번들 동형상의 번들 Hom(TM, T*M ) 의 단면을 정의한다. 이 섹션은 g와 같은 부드러움을 가진다. 즉, g와 같이 연속적이고, 미분 가능하며, 매끄럽거나, 실제 분석적이다. 매핑 g M 의 모든 벡터 필드 와 M의 코벡터 필드와 관련지어 벡터 필드 상의 "인덱스를 낮추는" 추상적인 공식을 제공한다.S g T*M → TM 이며, 이와 유사하게 코벡터 필드에서 "지수 상승"을 추상적으로 공식화한다.
역 −1 g
S g − 1 : T ∗ M → T M {\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T}^{*}M\to\mathrm {T}M} 이것은 비언어적이고 대칭적인 의미이다.
[ S g − 1 α , β ] = [ S g − 1 β , α ] \displaystyle \left [ S _ { g ]^{-1} \ alpha , \ left [ S _ { g }^{-1} \ beta , \ alpha \ right ] } 모든 코벡터 α , β에 대하여. 그러한 비칭칭 대칭 매핑은 (텐서-홈 인접에 의해) 지도를 생성한다.
T ∗ M ⊗ T ∗ M → R \displaystyle \mathrm {T} ^{*} M \otimes \mathrm {T} ^{*} M \to \mathbf {R} } 또는 텐서 곱의 단면에 대한 이중 이중 동형성 에 의해
T M ⊗ T M . \displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M. } 호 길이 및 선 요소 g 가 M에 대한 리만 메트릭이라고 가정하자.국소 좌표계 x i i = 1 , 2, …, n 나타나는 행렬 로 나타나며, 그 엔트리는 좌표 벡터장에 상대적인 메트릭 텐서 ij
θ (t ) 를 θ t θ b 대해 M 단위로 구분 가능 한 파라메트릭 곡선이라고 하자.곡선의 호 길이 는 다음과 같이 정의됩니다.
L = ∫ a b ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) d t . \displaystyle L=\int _{a}^{b}{\displayrt {i,j=1}^{n}g_{ij}(\display (t)\display\frac {d}x{i}\display (t)\displaystyle \frac {d}x{d}x{d}x}x{d}\d}\t}\t}\d}\d}\turright right(\t) 이 기하학적 응용과 관련하여, 2차 미분 형식
d s 2 = ∑ i , j = 1 n g i j ( p ) d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)syslog^{i}syslog^{j} 는 메트릭에 관련된 첫 번째 기본 형식이라고 불리며 ds는 라인 요소 입니다. ds가 M 의 곡선 이미지로 풀백되면2 이 값은 호 길이에 대한 미분 제곱을 나타냅니다.
의사-리만 메트릭의 경우 제곱근 아래의 항이 음수가 될 수 있기 때문에 위의 길이 공식이 항상 정의되지는 않습니다. 우리는 일반적으로 제곱근 아래의 수량이 항상 한 부호 또는 다른 부호일 때만 곡선의 길이를 정의합니다. 이 경우,
L = ∫ a b ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) d t . \displaystyle L=\int _{a}^{b}{\displayrt \sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\display (t)\displaystyle \frac {d}x^{i}\displaystyle\frac {d}{d}{d}{d}{d}{t}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}\d}{d}{j}\displaystylap}{ 이러한 공식은 좌표식을 사용하지만 실제로는 선택한 좌표와는 독립적입니다. 이러한 공식은 메트릭과 공식이 통합된 곡선에만 의존합니다.
에너지, 변동 원리 및 측지학 곡선의 세그먼트가 주어진 경우, 자주 정의되는 또 다른 양은 곡선의 (운동학적 ) 에너지입니다.
E = 1 2 ∫ a b ∑ i , j = 1 n g i j ( γ ( t ) ) ( d d t x i ∘ γ ( t ) ) ( d d t x j ∘ γ ( t ) ) d t . {\displaystyle E=flac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\dt}x^{i}\flac {d}x^{i}\flac {d}\flash(t)\flac {d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}{d}\j}\flash}\flash}{d}{d}{d}{d}{d} 이 용도는 물리학, 특히 고전 역학 에서 비롯되며, 여기서 적분 E는 다지관 표면에서 움직이는 점 입자의 운동 에너지에 직접적으로 대응한다고 볼 수 있습니다. 따라서, 예를 들어, 야코비의 모페르튀이 원리 의 공식에서, 미터법 텐서는 움직이는 입자의 질량 텐서와 일치한다고 볼 수 있다.
대부분의 경우 계산에서 길이를 사용해야 할 때마다 에너지를 사용한 유사한 계산도 수행될 수 있습니다. 이는 종종 제곱근의 필요성을 피함으로써 더 간단한 공식으로 이어집니다. 따라서 예를 들어 길이 또는 에너지 중 하나에 변동 원리 를 적용하여 측지방정식을 얻을 수 있다. 후자의 경우, 측지 방정식은 최소 작용의 원리 에서 발생하는 것으로 보입니다. 즉, 다지관 위에서 움직이기 위해 제한된 "자유 입자"(힘이 없는 입자)의 움직임을 기술하지만,[7]
표준 측정 및 볼륨 형식 표면의 경우와 마찬가지로 n차원 파라콤팩트 매니폴드 M상의 메트릭 텐서는 매니폴드의 서브셋의 n차원 부피를 측정하는 자연스러운 방법을 발생시킨다. 결과적으로 자연 양 의 보렐 측정 은 연관된 르베그 적분을 통해 다지관에 함수를 통합하는 이론을 개발할 수 있게 해준다.
M상 에 콤팩트 하게 지지된 연속함수 의 공간 0 (M ) 에 양의 선형함수 δ 를 부여함으로써 Riesz 표현정리에 의해 측도를 정의할 수 있다.보다 정확하게는 M이 (의사-)리만 메트릭 텐서 g를 갖는 다양체라면, 임의 의 좌표 차트(U , θ )에 대해 다음과 같은 고유한 양 의 보렐 측정 g
Λ f = ∫ U f d μ g = ∫ φ ( U ) f ∘ φ − 1 ( x ) 멈추다 g d x {\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\cirrt \left \det g\right }},varpy} U 에서 지원되는 모든 f에 대해. 여기 서 det 행렬식 이다.좌표 근린에서 지원되는 함수에 대해 δ가 잘 정의되어 있다는 것은 Jacobian 변수 변경에 의해 정당화된다.이것은 단일성의 분할 에 의해 C(M ) 에서0 고유한 양의 선형 함수까지 확장됩니다.
만약 M이 방향 도 같다면, 미터법 텐서로부터 자연 체적 형태를 정의할 수 있다.양의 방향 좌표계 (x 1 x n
ω = 멈추다 g d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle\det g\right}},cdots\cdots\cdots\cdots\cdotsdx{n} 여기 i 좌표 미분 이고 θ는 미분 형식의 대수에서 외부 곱을 나타낸다.부피 형태는 또한 다지관에 함수를 통합할 수 있는 방법을 제공하며, 이 기하학적 적분은 표준 보렐 측정치에 의해 얻어진 적분과 일치합니다.
예 유클리드 미터법 가장 친숙한 예는 초등 유클리드 기하학: 2차원 유클리드 미터법 텐서이다. 통상적 (x ,
g = [ 1 0 0 1 ] . (\displaystyle g=syslog{bmatrix}1&0&1&end{bmatrix}), } 원곡선의 길이는 다음 공식으로 감소합니다.
L = ∫ a b ( d x ) 2 + ( d y ) 2 . {\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\displayrt {(syslog)^2}+(dy) ^{2}}}\,. } 다른 공통 좌표계에서 유클리드 측정법은 다음과 같이 쓸 수 있다.
극좌표 (r , θ ):
x = r 왜냐하면 θ y = r 죄 θ J = [ 왜냐하면 θ − r 죄 θ 죄 θ r 왜냐하면 θ ] . (\displaystyle \displaystyle \x&=r\cos \y&=r\sin \theta \\y&=r\sin \theta \theta \sin \theta \\cos \end{bmatrix}, ). \end { aligned}} 그렇게
g = J T J = [ 왜냐하면 2 θ + 죄 2 θ − r 죄 θ 왜냐하면 θ + r 죄 θ 왜냐하면 θ − r 왜냐하면 θ 죄 θ + r 왜냐하면 θ 죄 θ r 2 죄 2 θ + r 2 왜냐하면 2 θ ] = [ 1 0 0 r 2 ] \displaystyle g=J^{\mathsf {T}J=bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \cos \theta \cos \theta \ta \ta \r\cosin \theta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \ta \t 삼각 아이덴티티 에 의해.
일반적으로, 유클리드 공간 의 데카르트 좌표계 x i δx 는i 유클리드 메트릭에 대하여 직교 정규적 이다. 따라서 미터법 텐서는 이 좌표계에서 크로네커 델타 δ이다ij 임의의 (아마도 곡선) 좌표i
g i j = ∑ k l δ k l ∂ x k ∂ q i ∂ x l ∂ q j = ∑ k ∂ x k ∂ q i ∂ x k ∂ q j . (*displaystyle g_{ij}=\sum _{ij}\frac {\frac x^{k}{\frac ^{l}}=\sum _{k} {\frac {\frac x^{k}}}{\frac x{i}}}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac}{\frac xfrac}{\frac}}{\frcl}{\frcl}{\frac}{\frac}{\frcl} } 구면상의 원형 미터법 δ 3 단위구는 유도 측정 단원에 설명된 과정을 통해 주변 유클리드 측정 단위에서 유도된 자연 측정 단위를 갖추고 있다.표준 구면 좌표(θ , θ )에서 θ 결속 도, z축에서 측정된 각도 및 θ xy-평면에서 x축에서 측정된 각도와 함께 메트릭은 다음과 같은 형태를 취한다.
g = [ 1 0 0 죄 2 θ ] . {\displaystyle g=param{bmatrix}1&\0&\sin^{2}\theta\end{bmatrix}}, } 이것은 보통 다음 형식으로 작성됩니다.
d s 2 = d θ 2 + 죄 2 θ d φ 2 . \displaystyle ds^{2}=d\theta^{2}+\sin^{2}\theta,d\varphi^{2}, } 상대성 이론에서 본 로렌츠식 측정법 평탄한 민코프스키 공간(특수 상대성 이론), 좌표가 있는 경우
r μ → ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , x , y , z ) , {\displaystyle r^{\mu}\right 화살표 \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z),,} 메트릭은 메트릭 시그니처의 선택 에 따라 달라집니다.
g = [ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ] 또는 g = [ − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] . ({displaystyle g=bmatrix}1&0&0\\0&1&0&0&0&0\0&0&0\0&0&0\0&0\0&0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0&0\0\0&0\0&0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\0\ } 예를 들어 일정한 시간 좌표가 있는 곡선의 경우 이 메트릭을 사용하는 길이 공식은 일반적인 길이 공식으로 감소합니다. 시간적 곡선의 경우 길이 공식은 곡선을 따라 적절한 시간 을 제공합니다.
이 경우 시공간 간격은 다음과 같이 기술됩니다.
d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 = d r μ d r μ = g μ ν d r μ d r ν . {\displaystyle ds^{2}=c^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\mu }, } 슈바르츠실트 측정법은 행성이나 블랙홀 과 같은 구형 대칭 물체 주변의 시공간을 나타냅니다.좌표 포함
( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) = ( c t , r , θ , φ ) , \displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta,\varphi),}, 메트릭을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
g μ ν = [ ( 1 − 2 G M r c 2 ) 0 0 0 0 − ( 1 − 2 G M r c 2 ) − 1 0 0 0 0 − r 2 0 0 0 0 − r 2 죄 2 θ ] , {\displaystyle g_{\mu \nu}=syslog {bmatrix}\left(1-{\frac {2}) GM}{rc^{2}}\right)&0&0\0&-left(1-{\frac{2}) GM}{rc^{2}}\right)^{-1}&0\0\0&-r^{2}&0\\0&0&-r^{2}\sin^{2}\theta \end{bmatrix},},},} 여기 서 G(행렬 내부)는 중력 상수 이고 M은 중심 물체의 총 질량 에너지 함량을 나타낸다.
「 」를 참조해 주세요. 메모들 ^ 더 정확히 말하면, 적분(integrand)은 곡선에 대한 이 미분(differential)의 풀백입니다. ^ 고전적인 통합장 이론의 여러 공식에서 메트릭 텐서는 비대칭이 허용되었다. 그러나 그러한 텐서의 반대칭 부분은 여기에 설명된 맥락에서 아무런 역할을 하지 않으므로 더 이상 검토되지 않을 것이다.^ 각 괄호를 사용하여 성분이 계산되는 기준을 나타내는 표기법은 보편적이지 않습니다. 여기에 사용된 표기법은 웰스(1980년) 의 표기법을 모델로 한다. 전형적으로, 그러한 근거에 대한 명시적 의존은 완전히 억제된다. ^ Dodson & Poston 1991 , 제7장 § 3.04^ Vaughn 2007 , © 3.4.3^ "음악적 동형"이라는 용어는 갤로, 훌린 & 라퐁텐( 2004, 페이지 75)을 참조 하십시오. Lee(1997, 페이지 27-29)도 참조한다. ^ 스턴버그 1983 레퍼런스 Dodson, C. T. J.; Poston, T. (1991), Tensor geometry , Graduate Texts in Mathematics, vol. 130 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-642-10514-2 , ISBN 978-3-540-52018-4 MR 1223091 를 클릭합니다Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian Geometry (3rd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0 . Gauss, Carl Friedrich (1827), General Investigations of Curved Surfaces Morehead; "Disquestiones generales curvas curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottinges Recentiores Vol. VI (1827), 페이지 99~146.를 클릭합니다Hawking, S.W. ; Ellis, G.F.R. (1973), The large scale structure of space-time , Cambridge University Press 를 클릭합니다Kay, David (1988), Schaum's Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7 . 를 클릭합니다Kline, Morris (1990), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 3 , Oxford University Press 를 클릭합니다Lee, John (1997), Riemannian manifolds , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6 . Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry , Graduate Studies in Mathematics , vol. 93, Providence: American Mathematical Society 표시 됩니다).Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , W. H. Freeman, ISBN 0-7167-0344-0 Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" , Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi :10.1007/BF01454201 , ISSN 1432-1807 , S2CID 120009332 Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (2nd ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4 Vaughn, Michael T. (2007), Introduction to mathematical physics (PDF) , Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co., doi :10.1002/9783527618859 , ISBN 978-3-527-40627-2 MR 2324500 Wells, Raymond (1980), Differential Analysis on Complex Manifolds
기본 개념 리만 기하학을 이용한 다양체 구조 주요 토픽 일반화 적용들
범위
표기법 텐서 정의들 운용 관련된 추상화 주목할 만한 텐서
수학자
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d168995bd019ddd3cff4cae208e2c3eba5fa20)
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f1798d592d8bbbe0c264b328acfa0b2c40732ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+b_{1}a_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+b_{1}a_{2}F+a_{2}b_{2}G\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbf9216892e289adb58e593058bea91d086054d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34cbb23974d371444580528a3a50f248e81a465)
![{\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e021fa4206f87420117b97d7c0bde695546b1648)
![{\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d53ce6119ad8d32c18b219c20938b4ab35d765)
![{\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340c957fc548d8c7c070acef96b04c4dc2c1091c)
![{\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dbea5d2b1043ed897dcc673142ce4f7c552bfe)
![{\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b2280e0f74bb16d3e0034600b6be18d2c83816)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458cf3a55933636ef7a1edad3dfaa1f9bdfd1fe3)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dad803ce1bd3707ee74a7f9a68c04131395db9e)
![{\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50e641d668a34962e436cebba907df795138d60)
![{\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d411e1387a12dca321d619cbd7067f8f362656a)
![{\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea66d23f39676cc200f78396f5f166ca01c6702)
![{\displaystyle G[\mathbf {f} A]^{-1}=A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbee35cfdd24498be249b3e2ba53f909b68a046)
![{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e67146b7dcadd698af3f2fb9a3889d387b0b83)
![{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc599a3838077ab0947ba87e6c7534709c4d943)
![{\displaystyle {\tilde {g}}(\alpha ,\beta )=\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80b0ff1f3309f4c3f86f85e958bb0ab67eb03fc7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4024acdbbc17496757d087dcb7969494d98402)
![{\displaystyle X=v^{1}[\mathbf {f} ]X_{1}+v^{2}[\mathbf {f} ]X_{2}+\dots +v^{n}[\mathbf {f} ]X_{n}=\mathbf {f} {\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6011b0f9b71dd05a4e3bbc24229e9068628626)
![{\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4247986234cf11ac123836479feee91c952ce94d)
 = \begin{cases} 1 & \mathrm{if}\ i=j\\ 0&\mathrm{if}\ i\not=j.\end{cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6abf1f5c2adbb06b78bbcb3f609ee9b34ec6678)
![{\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df10e63b489b1dbc606245de69ecd492a99d89a9)
![\theta[\mathbf{f}A] = A^{-1}\theta[\mathbf{f}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bf8079b3432079186c533989232090c001a966)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=a_{1}[\mathbf {f} ]\theta ^{1}[\mathbf {f} ]+a_{2}[\mathbf {f} ]\theta ^{2}[\mathbf {f} ]+\cdots +a_{n}[\mathbf {f} ]\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\\[8pt]&={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}a_{1}[\mathbf {f} ]&a_{2}[\mathbf {f} ]&\dots &a_{n}[\mathbf {f} ]\end{array}}{\big \rbrack }\theta [\mathbf {f} ]\\[8pt]&=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedbd810ac343e450fe7bedcfd06820252b151b6)
![\alpha = a[\mathbf{f}A]\theta[\mathbf{f}A] = a[\mathbf{f}]\theta[\mathbf{f}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cb2b67e8f5ab70e07ba9fd337217561dbdad50d)
![{\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85d2b9f7e5a0e3523318777df407c3fbaf9b83e)
![{\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cc333889c2446c5bb0ed195668ab153ed944c2)
![a_i[\mathbf{f}] = \sum_{k=1}^n v^k[\mathbf{f}]g_{ki}[\mathbf{f}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485097c8b2d99354bc3e11a51fd0f0495ecb5c5a)
![{\displaystyle v[\mathbf {f} ]=G^{-1}[\mathbf {f} ]a[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb87b11dfd4e2502a25182a296809fc1179de3d2)
![v[\mathbf{f}A] = A^{-1}v[\mathbf{f}].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ed8abd6307e818cefb57bcdf8f6380254a1e751)
![{\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2041fcfabc9678dd33dc76a07dfc2a053fbc01a)
![{\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441172cf9ecb9c0138b7d8ff4ce5c354ad3ca061)
![{\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c69f7bc7ef26c90ff2acd05bf458c7ba2cfe57)
![{\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccfb2d21df819abb0ea61fb211c23a69243dc50)
![{\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cad5ba8ed58a944e1d846f2159290b0894c69da)
![{\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0a27ab812c1604ee97aebf48a71d0abe559302)
