120셀

120셀
슐레겔도 (vertices 및 모서리)
유형	볼록한 규칙적인 4-폴리토프
슐레플리 기호	{5,3,3}
콕서터 다이어그램
세포	120 {5,3}
얼굴들	720 {5}
가장자리	1200
꼭짓점	600
꼭짓점 도형	사면체의
페트리 다각형	30곤
콕서터군	H4, [3,3,5]
듀얼	600셀
특성.	볼록, 등각, 등각, 등각, 등각
균일지수	32

기하학에서 120셀은 슐레플리 기호가 {5,3,3}인 볼록한 규칙적인 4-폴리토프(플라톤 고체의 4차원 아날로그)입니다. C₁₂₀, dodecaplex("십이면체 복합체"의 줄임말), 십이면체, 다면체, 헤카토니코사코론, 도데카콘타코론^[1] 및 헤카토니코헤드로이드라고도 합니다.^[2]

120셀의 경계는 각 꼭짓점에서 4개가 만나는 120개의 12면체 셀로 구성됩니다. 이들은 함께 720개의 오각형 면, 1200개의 모서리, 600개의 꼭짓점을 형성합니다. 정십이면체의 4차원 아날로그인데, 정십이면체가 12개의 오각형 면을 가지고 있고, 각 꼭짓점 주위에 3개가 있는 것처럼, 십이면체는 120개의 십이면체 면을 가지고 있고, 각 모서리 주위에 3개가 있습니다.^[a] 이중 폴리토프는 600셀입니다.

기하학.

120셀은 모든 볼록한 정규 폴리토프의 기하학적 구조를 처음 4차원({7} 이상의 폴리곤 제외)에 통합합니다.^[b] 여섯 번째이자 가장 큰 규칙적인 볼록 4-폴리토프로서,^[c] 그것은 4개의 이전의 (재귀적으로) 새겨진 인스턴스를 포함합니다. 또한 시퀀스의 첫 번째인 5셀의 120개의 내접된 인스턴스를 포함하고 있으며,^[d] 이는 다른 어떤 것에서도 발견되지 않습니다.^[4] 120셀은 4차원의 스위스 아미 나이프입니다. 그것은 모든 것 중 하나를 포함합니다.

처음 4차원에서 발견된 모든 볼록한 규칙적인 다각형 사이의 모든 관계에 대한 예를 포함하기 때문에 120셀을 연구하는 것은 쉽지 않지만 유익합니다. 반대로, 그것은 각각의 이전의 것들과 그것들이 보여주는 점점 더 복잡한 대칭들의 순서를 먼저 이해해야만 이해될 수 있습니다.^[5] 스틸웰이 4-다원형과 3차원 이상의^[6] 수학사에 관한 논문에 '120-세포의 이야기'라는 제목을 붙인 것도 그 때문입니다.^[7]

일반 볼록 4-폴리토페
대칭군	가4	나4		바4	아4
이름.	5셀 쌍사면체 5점의	16셀 쌍팔면체 8점	8셀 하이퍼큐브 16점	24셀 24점	600셀 쌍이십면체 120점	120셀 십이면체 600점
슐레플리 기호	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
콕서터 거울
미러 다이럴	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
그래프
꼭짓점	4면체 5개	팔면체	16 사면체	24입방체	120이십면체	육백사면체
가장자리	10개의 삼각형	24제곱	32 삼각형	96 삼각형	720 오각형	1200 삼각형
얼굴들	삼각형 10개	삼각형 32개	24개의 사각형	96개의 삼각형	1200개의 삼각형	720 오각형
세포	사면체 5개	16사면체	8입방체	24 octahedra	사면체 600개	120도데카헤드라
토리	15개의 tetra면체	28개의 tetra 다면체	24입방	46팔면체	2030 tetra면체	12 10 dod 정 20면체
내접	120셀에 120개	120셀에 675개	2 16셀	38셀	25 24셀	600셀 10개
대다각형		정사각형 2개 x 3개	사각형 4개 x 4개	4 hexagons x 4	12 데카곤 x 6	불규칙 육각형 100개 x 4
페트리 다각형	1 오각형 x 3	팔각형 1개 x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
장반경	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
모서리 길이	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi}}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi^{2}{\sqrt {2}}}\approx 0.270}$
근반경	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\tfrac {\phi^{4}}{8}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\tfrac {\phi^{4}}{8}}\approx 0.926}$
지역	${\displaystyle 10\left ({\tfrac {5{\sqrt {3}}{8}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left ({\sqrt {\tfrac {3}{4}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left ({\sqrt {\tfrac {3}{16}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left ({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi^{2}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left ({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}{8\phi ^{4}}\right)\approx 90.366}$
용량	${\displaystyle 5\left ({\tfrac {5{\sqrt {5}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left ({\tfrac {1}{3}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left ({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left ({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi^{3}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}{4\phi^{6}{\sqrt {8}}}\right)\approx 18.118}$
4-내용	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left ({\tfrac {\sqrt {5}}{2}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {\text}짧은}}\times {\text{Vol}}{4}\약 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {\text}짧은}}\times {\text{Vol}}{4}\약 4.193}$

직각좌표

4-공간의 원점을 중심으로 하는 4-폴리토프에 대한 자연 데카르트 좌표는 선택한 긴 반경(중심에서 정점까지)에 따라 다른 기준 프레임에서 발생합니다.

√8개의 반지름 좌표

긴 반경 √8 = 2 √2 ≈ 2.828의 120셀은 에지 길이 4-2 φ = 3-√5 ≈ 0.764를 갖습니다.

이 참조 프레임에서 600개의 정점 좌표는 다음 중 {permutes} 및 [짝수 순열]입니다.^[8]

24	({0, 0, ±2, ±2})	24셀	600포인트 120셀
64	({±φ, ±φ, ±φ, ±φ−2})
64	({±1, ±1, ±1, ±√5})
64	({±φ−1, ±φ−1, ±φ−1, ±φ2})
96	([0, ± φ, ± φ, ± √5])	스눕 24셀
96	([0, ± φ, ±1, ± φ])	스눕 24셀
192	([±φ−1, ±1, ±φ, ±2])

여기서 φ(𝝉라고도 함)는 황금 비율, 1 + √5/2 ≈ 1.618입니다.

단위반경좌표

단위 반경 120셀의 가장자리 길이는 1/φ√2 ≈ 0.270입니다.

이 기준 프레임에서 120셀은 표준 방향의 정점 위에 놓여 있으며, 그 좌표는^[9] 아래 왼쪽 열의 {permutes} 및 [even permutes]입니다.

120	8	({±1, 0, 0, 0})	16셀	24셀	600셀	120셀
	16	({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2	테서랙트
	96	([0, ±φ−1, ±1, ±φ]) / 2	스눕 24셀
480	120셀 감소		5점 5셀	24셀	600셀
	32	([±φ, ±φ, ±φ, ±φ−2]) / √8	(1, 0, 0, 0) (−1, √5, √5, √5) / 4 (−1,−√5,−√5, √5) / 4 (−1,−√5, √5,−√5) / 4 (−1, √5,−√5,−√5) / 4	({±√1/2, ±√1/2, 0, 0})	({±1, 0, 0, 0}) ({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2 ([0, ±φ−1, ±1, ±φ]) / 2
	32	([±1, ±1, ±1, ±√5]) / √8
	32	([±φ−1, ±φ−1, ±φ−1, ±φ2]) / √8
	96	([0, ± φ, ± φ, ± √5]) / √8
	96	([0, ±φ−2, ±1, ±φ2]) / √8
	192	([±φ−1, ±1, ±φ, ±2]) / √8
균일한 볼록 4-다원형의 단위-반지름 좌표는 4차 이온 곱셈과 관련이 있습니다. 규칙적인 4-다원형들은 서로 화합물이므로, 그들의 데카르트 4-좌표 집합은 서로의 집합곱입니다. 120셀의 600개 정점의 단위-반지름 좌표는 5셀의 5개 정점, 24셀의 24개 정점, 600셀의 120개 정점의 가능한 4차 생성물(위의 나머지[10] 세 열)입니다.[g]

표는 각 4-폴리토프의 적어도 하나의 인스턴스의 좌표를 제공하지만, 120-셀은 각 전구체 4-폴리토프의 복수의 내접 인스턴스를 포함하고, 정점의 다른 부분 집합을 차지합니다. (600점) 120셀은 5개의 서로소(120점) 600셀의 볼록한 선체입니다. 각 (120-포인트) 600-셀은 5개의 서로소(24-포인트) 24-셀의 볼록한 선체이므로 120-셀은 25개의 서로소 24-셀의 볼록한 선체입니다. 각각의 24개의 셀은 3개의 서로소(8점) 16개의 셀로 이루어진 볼록한 선체이므로, 120개의 셀은 75개의 서로소 16개의 셀로 이루어진 볼록한 선체입니다. 특이하게도 (600점) 120셀은 120개의 서로소(5점) 5셀의 볼록한 선체입니다.^[j]

코드

600점짜리 120셀은 120점짜리 600셀의 뚜렷한 화음 길이 8개와 추가적인 두 개의 중요한 화음을 가지고 있습니다: 그것의 짧은 가장자리와 그것의 120개의 내접된 규칙적인 5셀의 가장자리.^[d] 이 두 개의 추가 화음은 120셀에 특징적인 등각 회전을 부여하고,^[ab] 다른 일반 4-폴리토의 모든 회전을 이어받습니다.^[14] 그들은 또한 120셀에 특징적인 거대한 원 다각형, 즉 3개의 120셀 가장자리가 3개의 5셀 가장자리와 교대로 있는 불규칙한 거대 육각형을 제공합니다.^[q]

120셀의 가장자리는 600셀, 24셀 및 16셀의 가장자리처럼 하나의 중앙 평면에서 규칙적인 대원 다각형을 형성하지 않습니다. 5셀과 8셀 테세랙트의 가장자리처럼 대신 지그재그 페트리 다각형을 형성합니다.^[aa] 120셀의 페트리 다각형은 삼각형 {30} 지그재그 스큐 다각형입니다.^[ac]

120셀의 둘레는 30개의 가장자리가 있기 때문에 가장자리 길이부터 직경까지 15개의 다른 코드 길이를 가지고 있습니다.^[ai] 모든 규칙적인 볼록한 4각형은 120셀에 새겨져 있고, 다음 표의 행에 열거된 15개의 화음은 모두 규칙적인 4각형과 그들의 위대한 원 다각형을 구성하는 뚜렷한 화음입니다.^[al]

이 표에 대해 가장 먼저 주목해야 할 것은 이것이 6개가 아닌 8개의 열을 가지고 있다는 것입니다: 6개의 규칙적인 볼록한 4-폴리토프 외에도 2개의 불규칙한 4-폴리토프가 중첩된 4-폴리토프 순서로 자연적으로 발생합니다: 96-포인트 스누브 24-셀과 480-포인트 감소된 120-셀.^[c]

두 번째로 주목해야 할 점은 각 번호가 매겨진 행이 삼각형 △, 정사각형 ☐ 또는 오각형 ✩으로 표시된다는 것입니다. 15개의 코드는 세 가지 종류의 중앙 평면에 놓여 있습니다: 16셀의 특징적인 거대한 정사각형 ☐ 평면, 거대한 육각형과 거대한 삼각형 △ 24셀의 특징적인 평면, 또는 600셀의 특징적인 거대한 십각형과 거대한 오각형 ✩ 평면.

120셀과 그 내접하는 4-다극의[15] 화음
내접[am]				5셀	16셀	8셀	24셀	스너브	600셀	디민	120셀
꼭짓점				5	8	16	24	96	120	480	600
가장자리				10[q]	24	32	96	432	720	1200	1200[q]
에지 코드				#8[d]	#7	#5	#5	#3	#3[t]	#1	#1[ac]
아이소클라인 화음[o]				#8	#15	#10	#10	#5	#5	#4	#4[y]
클리포드 다각형[ah]				{5/2}	{8/3}		{6/2}		{15/2}		{15/4}[ab]
#1 △		가장자리의[ac]									1 1200[ab]	4 {3,3}
	15.5~°	√0.[ao]	0.270~
#2 ☐		면 대각선[ar]									3600	12 2{3,4}
	25.2~°	√0.19~	0.437~
#3 ✩	𝝅/5	커다란 십각형 가장자리							10[j] 720		7200	24 2{3,5}
	36°	√0.𝚫	0.618~
#4 △	[r]	세포 지름[ap]									1200	4 {3,3}
	44.5~°	√0.57~	0.757~
#5 △	𝝅/3	육각형의[at] 큰 모서리				32	225[j] 96	225	5[j] 1200		2400[as]	32 4{4,3}
	60°	√1	1
#6 ✩	2𝝅/5	거대한[v] 오각형 가장자리							720		7200	24 2{3,5}
	72°	√1. 𝚫	1.175~
#7 ☐	𝝅/2	거대한[i] 사각형 모서리			675[i] 24	675 48	72		1800		16200	54 9{3,4}
	90°	√2	1.414~
#8 △		5셀 가장자리[au]		120[d] 10						720	1200[ab]	4 {3,3}
	104.5~°	√2.5	1.581~
#9 ✩	3𝝅/5	황금 구간							720		7200	24 2{3,5}
	108°	√2. 𝚽	1.618~
#10 △	2𝝅/3	대삼각형 모서리				32	25[j] 96		1200		2400	32 4{4,3}
	120°	√3	1.732~
#11 △		{30/11}그램[an] 가장자리									1200	4 {3,3}
	135.5~°	√3.43~	1.851~
#12 ✩	4𝝅/5	오각대각선							720		7200	24 2{3,5}
	144°[a]	√3. 𝚽	1.902~
#13 ☐		{30/13}그램 가장자리									3600	12 2{3,4}
	154.8~°	√3.81~	1.952~
#14 △		{30/14}=2{15/7} edge									1200	4 {3,3}
	164.5~°	√3.93~	1.982~
#15 △☐✩	𝝅	지름의			75[j] 4	8	12	48	60	240	300[i]	1
	180°	√4	2
길이 제곱합계[av]				25	64	256	576		14400		360000[al]	300

주석이 달린 화음표는 120셀을 구성하기 위한 완전한 재료 청구서입니다. 120셀의 모든 2-폴리토프, 3-폴리토프 및 4-폴리토프는 표의 15개의 1-폴리토프로 만들어집니다.

표 셀의 검은 정수는 열의 4-폴리토프에 있는 행의 화음의 발생 횟수입니다. 예를 들어, #3 코드 행에서, 600셀의 72개의 위대한 데카곤은 모두 720개의 #3 코드를 포함합니다.

빨간색 정수는 120개의 셀을 구성하는 위의 서로소 4개의 다성체(열 레이블)의 개수입니다. 예를 들어, 120셀은 25개의 서로소 24셀(25 * 24개의 꼭짓점 = 600개의 꼭짓점)의 화합물입니다.

녹색 정수는 120셀에서 선택할 수 있는 위의 뚜렷한 4개의 폴리토프(열 레이블)의 수이다. 예를 들어, 120셀에는 구성요소를 공유하는 225개의 별개의 24셀이 포함되어 있습니다.

오른쪽 열의 파란색 정수는 각 120셀 정점에서 행 코드의 발생 횟수입니다. 예를 들어, #3화음 행에서 24개의 #3화음이 120셀의 600개의 꼭짓점에서 수렴하여 이중 20면체 꼭짓점 그림 2{3,5}를 형성합니다. 15개의 뚜렷한 길이의^[al] 총 300개의 주요 화음이 120셀의 각 정점에서 만납니다.

내부 폴리토프간의 관계

120셀은 다른 5개의 규칙적인 볼록한 4-폴리토프의 화합물입니다. 일반적인 1-, 2-, 3-, 4-폴리토프 사이의 모든 관계는 120-셀에서 발생합니다.^[b] 모든 폴리토가 부품인 4차원 직소 퍼즐입니다.^[19] 그 부분들을 모아서 120개의 세포를 구성하는 많은 순서들이 있지만, 궁극적으로 그것들은 오직 한 가지 방법으로만 들어맞습니다. 120셀은 이 모든 폴리토프의 조합에 대한 고유한 솔루션입니다.^[7]

일반적인 1-폴리토프는 120-셀의 구성 폴리토프 중 어느 것에서도 단지 15개의 별개의 길이로 발생합니다.^[al]

15개의 화음 중 4개만 16셀, 8셀, 24셀에서 발생합니다. 4개의 하이퍼큐브 코드 √1, √2, √3 및 √4는 24셀과 모든 구성 요소를 구축하기에 충분합니다. 24셀은 이 4개의 화음과 그로부터 구축될 수 있는 모든 일반 폴리토의 조합에 대한 독특한 해결책입니다.

600셀을 구축하려면 15개 코드 중 4개가 추가로 필요합니다. 네 개의 금화음은 √5의 함수인 무리수의 제곱근입니다. 600셀은 이 8개의 화음과 그로부터 구축될 수 있는 모든 일반 폴리토의 조합에 대한 독특한 해결책입니다. 24개의 세포에서 발생하지 않는 600개의 세포에서 발견된 새로운 부분 중 주목할 만한 것은 펜타곤과 아이코헤드라입니다.

모든 15개의 화음과 아래 열거된 15개의 다른 고유한 화음 거리는 120셀에서 발생합니다. 600개의 세포에서 발생하지 않는 120개의 세포에서 발견된 새로운 부분 중 주목할 만한 것은 일반적인 5개의 세포입니다.^[aw] 규칙적인 5-세포(심플렉스 규칙적인 4-폴리토프)와 다른 규칙적인 4-폴리토프 사이의 관계는 120-세포에서만 나타납니다.

지오데식 사각형

120개의 셀에서 발견되는 30개의 뚜렷한 화음은^[al] 15쌍의 180° 보완으로 발생합니다. 이들은 △ 불규칙 십각형에서 {12}개의 꼭짓점과 교차하는 평면, 정십각형에서 {10}개의 꼭짓점과 교차하는 ✩ 평면, 정사각형을 포함한 여러 종류의 직사각형에서 {4}개의 꼭짓점과 교차하는 ☐ 평면 등 15가지의 서로 다른 종류의 대원 다각형을 형성합니다.

각각의 그레이트 서클 폴리곤은 180° 상보적인 화음의 쌍으로 특징지어집니다. 화음 쌍들은 평행한 반대쪽 가장자리를 가진 거대한 원 다각형을 형성하므로, 각각의 거대 다각형은 직사각형이거나 직사각형의 합성어이며, 두 화음은 직사각형의 가장자리입니다.

15개의 상보적인 화음 쌍들 각각은 꼭짓점인₀ 0구간부터 시작하여 120셀의 서로 반대되는 다면체 섹션들의 별개의 쌍에 해당합니다. 대응성은 각 120셀의 꼭짓점이 각 다면체 부분의 꼭짓점들에 의해 균일한 거리(코드 길이)로 둘러싸여 있다는 것인데, 이는 다면체의 꼭짓점들이 긴 반지름의 거리에서 중심을 둘러싸는 방식입니다.^[ax] 1번 화음은 120셀의 정사면체 꼭짓점 도형인₀ 1절의 "반지름"입니다.^[ar] #14 화음은 29절의₀ 합동 반대 부분의 "반지름"입니다. 7번 화음은 120셀의 중앙 부분의 "반지름"으로, 반대되는 두₀ 개의 15개의 섹션이 일치합니다.

30개의 코드(15 180° 쌍)로 15종류의 대원 다각형과 다면체[21] 섹션을 만듭니다.
쇼트 코드				대원 다각형		회전	장화음
10 #1	[에이]	${\displaystyle 1/\phi^{2}{\sqrt {2}}$			불규칙 대육각형[r] 400개/4개 (600대 직사각형) 200개의 △ 비행기로	사[m] {15/4}[ab] #4[y]		${\displaystyle \phi^{5}{\sqrt {3}}/{\sqrt {8}}$		290 #14
	15.5~°	√0.[ao]	0.270~				164.5~°	√3.93~	1.982~
20 #2	[아르]	${\displaystyle 1/\phi {\sqrt {2}}$			장방형 ☐ 비행기로	8𝝅 {30/13} #13				280 #13
	25.2~°	√0.19~	0.437~				154.8~°	√3.81~	1.952~
30 #3	${\displaystyle \pi /5}$	${\displaystyle 1/\phi}$			720 대데카곤/12 (3600대직사각) 720대의 ✩ 비행기로	5𝝅 {15/2} #5	${\displaystyle 4\pi /5}$	${\displaystyle {\sqrt {2+\phi}}}$		270 #12
	36°	√0.𝚫	0.618~				144°[a]	√3. 𝚽	1.902~
40 #4−1		${\displaystyle {\sqrt {1}}/{\sqrt {2}}$			장방형 ☐ 비행기로			${\displaystyle {\sqrt {7}}/{\sqrt {2}}$		260 #11+1
	41.4~°	√0.5	0.707~				138.6~°	√3.5	1.871~
50 #4		${\displaystyle {\sqrt {3}}/\phi {\sqrt {2}}$			불규칙 대도데카곤[ba] 200개/4개 (600대 직사각형) 200개의 △ 비행기로	[아즈]		${\displaystyle \phi^{2}/{\sqrt {2}}$		250 #11
	44.5~°	√0.57~	0.757~				135.5~°	√3.43~	1.851~
60 #4+1					장방형 ☐ 비행기로					240 #11−1
	49.1~°	√0.69~	0.831~				130.9~°	√3.31~	1.819~
70 #5−1					장방형 ☐ 비행기로					230 #10+1
	56°	√0.88~	0.939~				124°	√3.12~	1.766~
80 #5	${\displaystyle \pi /3}$				일반 대육각형[at] 400개/16개 (큰 직사각형 1200) 200개의 △ 비행기로	사[m] 2{10/3} #4	${\displaystyle 2\pi /3}$			220 #10
	60°	√1	1				120°	√3	1.732~
90 #5+1					장방형 ☐ 비행기로					210 #10−1
	66.1~°	√1.19~	1.091~				113.9~°	√2.81~	1.676~
100 #6−1					장방형 ☐ 비행기로					200 #9+1
	69.8~°	√1.31~	1.144~				110.2~°	√2.69~	1.640~
110 #6	${\displaystyle 2\pi /5}$	${\displaystyle {\sqrt {3-\phi}}}$			1440 대오각형[v]/12 (3600대직사각) 720대의 ✩ 비행기로	8𝝅 {24/5} #9	${\displaystyle 3\pi /5}$	${\displaystyle \phi}$		190 #9
	72°	√1. 𝚫	1.175~				108°	√2. 𝚽	1.618~
120 #6+1		${\displaystyle {\sqrt {3}}/{\sqrt {2}}$			1200 위대한 디곤 5셀 가장자리[bb] / 4 (600대 직사각형) 200개의 △ 비행기로	사[m] {5/2} #8		${\displaystyle {\sqrt {5}}/{\sqrt {2}}$		180 #8
	75.5~°	√1.5	1.224~				104.5~°	√2.5	1.581~
130 #6+2					장방형 ☐ 비행기로					170 #8−1
	81.1~°	√1.69~	1.300~				98.9~°	√2.31~	1.520~
140 #7−1					장방형 ☐ 비행기로					160 #7+1
	84.5~°	√0.81~	1.345~				95.5~°	√2.19~	1.480~
150 #7	${\displaystyle \pi /2}$				4050 대사각[i]/27 4050 ☐ 비행기로	8𝝅 {30/7} #7	${\displaystyle \pi /2}$			150 #7
	90°	√2	1.414~				90°	√2	1.414~

각 종류의 대원 다각형(180° 상보 화음의 각 별개 쌍)은 별개의 클래스의 이산 등각 회전에서^[o] 역할을 하며,^[s] 이는 동일한 종류의 클리포드 병렬 대 다각형에서 대원 사각형 가장자리를 유사한 가장자리로 가져갑니다.^[bg] 회전의 불변 평면에서 클리포드 평행 대원 다각형의 각 섬유 다발에 대해 이 클래스의 뚜렷한 좌우 회전이 있습니다.^[bh] 각 회전 클래스에서 ^[bf]정점은 위의 회전 열에 나열된 특징적인 원주, 스큐 클리퍼드^[ah] 폴리그램 및 코드 번호를 갖는 고유한 종류의 원형 지오데식 등각선에서^[n] 회전합니다.^[ag]

동심 선체

다면체 그래프

단위-반지름 120-셀의 다면체 그래프를 나타내는 정점의 인접 행렬을 고려하면 그래프 직경은 15이며, 유클리드 거리 2(둘레 직경)에서 각 정점을 좌표 음차에 연결하고 폴리토프 가장자리를 따라 연결하는 24개의 다른 경로가 있습니다. 각 꼭지점으로부터 거리 1에 4개의 꼭지점이 있고, 거리 2에 12개, 거리 3에 24개, 거리 4에 36개, 거리 5에 52개, 거리 6에 68개, 거리 7에 76개, 거리 8에 78개, 거리 9에 72개, 거리 10에 64개, 거리 11에 56개, 거리 12에 40개, 거리 13에 12개, 거리 14에 4개, 거리 15에 1개의 꼭지점이 있습니다. 인접 행렬은 1/φ√2 ≈ 0.270, 다중도 4에서 2까지 27개의 서로 다른 고유 값을 가지며 다중도는 1입니다. 고유값 0의 다중도는 18이고 인접 행렬의 순위는 582입니다.

120셀 다면체 그래프의 꼭짓점은 3색입니다.

그래프는 모든 정점에서 차수가 4인 오일러입니다. 에지 집합은 두 개의 해밀턴 사이클로 분해될 수 있습니다.^[24]

시공

120셀은 6개의 볼록한 규칙적인 4-폴리토의 순서 중 여섯 번째입니다(크기와 복잡도 순서).^[c] 600셀이 선행 24셀의 25개의 상이한 인스턴스(또는 5개의 상이한 인스턴스)로 분해될 수 있는 것처럼,^[h] 600셀은 선행 600셀의 10개의 별개의 인스턴스(또는 5개의 상이한 인스턴스)로 분해될 수 있습니다.^[bi] 24-셀은 이전의 테세랙트(8-셀)의 3개의 별개의 인스턴스로 분해될 수 있고, 8-셀은 이전의 16-셀의 2개의 분리된 인스턴스로 분해될 수 있습니다.^[27] 120셀에는 16셀의 서로 다른 675개의 인스턴스(75개의 분리된 인스턴스)가 포함됩니다.^[i]

이전 버전의 인스턴스에서 이들 각각을 구성하는 역순서는 이전 버전의 반경을 보존하지만 일반적으로 에지 길이가 더 작은 후속 버전을 생성합니다. 600셀의 가장자리 길이는 반지름의 ~0.618배(역황금 비율)이지만 120셀의 가장자리 길이는 반지름의 ~0.270배입니다.

듀얼 600셀

120셀은 600셀의 이중구조이므로 600개의 사면체 셀 각각의 부피 중심에 600개의 꼭짓점을 배치하여 600셀에서 구성할 수 있습니다. 단위 긴 반경의 600셀에서 보면, 약간 작은 긴 반경(φ/√8 ≈ 0.926)과 정확히 1/4의 가장자리 길이의 120셀이 됩니다. 따라서 단위 에지 길이 120 셀(장반경 φ√2 ≈ 3.702)은 장반경 4의 600 셀 내부에서만 이러한 방식으로 구성할 수 있습니다. 장치 반경 120셀(에지 길이 1/φ√2 ≈ 0.270)은 긴 반경 √8/φ ≈ 1.080의 600셀 내부에 이러한 방식으로 구성할 수 있습니다.

역으로, 단위 반경 120-셀은 각 12면체 셀의 중심을 120개의 600-셀 정점 중 하나에 배치함으로써 약간 더 작은 긴 반경 φ/√8 ≈ 0.926의 600-셀 바로 밖에 구성될 수 있습니다. 이와 같이, 긴 반경 √8 = 2 ≈2 ≈ 2.828 및 에지 길이 2/φ = 3 √5 φ 0.764의 좌표가 긴 반경 √의 600셀 바로 바깥에 형성될 수 있으며, 이는 ≈ 0.926의 동일한 비율에서 φ8보다 작으며, 따라서 600셀의 에지 길이에 대한 황금 비율이므로 √해야 합니다. 콕서터가 제공하는 에지 길이 2 및 긴 반경 φ√8 ≈ 7.405의 120셀은 긴 반경 φ 및 에지 길이 φ의 600셀 바로 바깥에 이러한 방식으로 구성될 수 있습니다.

따라서 단위-반지름 120-셀은 이전의 단위-반지름 600-셀에서 3번의 왕복 단계로 구성할 수 있습니다.

내접쌍체의 세포 회전

120개의 셀은 600개의 내접된 셀을 포함하기 때문에 동일한 반경의 고유한 이중을 포함합니다. 120개의 세포는 5개의 서로 다른 600개의 세포를 포함하고 있습니다. (그 중 10개의 중첩된 내접된 600개의 세포는 두 가지 다른 방법으로 5개의 서로 다른 600개의 세포를 골라낼 수 있습니다.) 따라서 그것은 (두 가지 방법으로) 자신의 이중 5개의 화합물로 볼 수 있습니다. 각각의 내접된 600-셀의 꼭짓점들은 120-셀의 꼭짓점들이고, (이중으로) 각각의 12면체 셀 중심은 각각의 내접된 600-셀의 4면체 셀 중심입니다.

120개 세포의 12면체 세포는 600개 세포의 4면체 세포를 가지고 있습니다.^[29] 120개의 세포가 5개의 600개의 세포로 이루어진 화합물인 것처럼, 12면체는 5개의 정사면체로 이루어진 화합물입니다. 정육면체에 두 개의 정사면체를, 십이면체에 다섯 개의 정사면체를 각각 새길 수 있기 때문에, 다섯 개의 정육면체에 있는 10개의 정사면체를 정사면체에 새길 수 있습니다: 두 개의 정사면체 집합은 다섯 개이고, 각 집합은 20개의 꼭짓점을 모두 덮고, 각 꼭짓점은 두 개의 정사면체에 있습니다.^[30] 이것은 120-세포가 많은 내부 특징들 중에서 10개의 사면체로 이루어진 120개의 화합물을 포함하고 있다는 것을 보여주며, 각각의 화합물은 10개의 600-세포로 이루어진 화합물로서 120-세포 전체와 차원적으로 유사합니다.^[h]

10개의 사면체 모두 하나의 사면체를 두 번의 카이랄 5클릭 회전으로 생성할 수 있습니다. 각 십이면체 셀에서 하나의 사면체 셀은 120개 셀에 내접된 10개의 600개 셀 각각에서 나옵니다.^[bj] 따라서 10개의 600개의 세포가 모두 새겨진 120개의 세포 전체는 세포를 회전시킴으로써 단 하나의 600개의 세포로부터 생성될 수 있습니다.

증강

내접된 600개 세포를 포함하는 120개 세포의 또 다른 결과는 600개 세포의 세포 위에 어떤 종류의 4개의 피라미드를 올려놓음으로써 그것을 구성하는 것이 가능하다는 것입니다. 이 사면체 피라미드들은 이 경우에는 (꼭짓점이 네 개의 '아펙스'로 뭉개져 있는) 상당히 불규칙한 모양임에 틀림없지만, 우리는 사면체가 십이면체에 새겨진 방식으로 그들의 모양을 식별할 수 있습니다.^[bk]

각 600개의 세포 중 120개의 사면체 세포만이 120개의 세포의 십이면체 세포에 내접될 수 있고, 나머지 480개의 사면체는 십이면체 세포에 걸쳐 있습니다. 각각의 십이면체로 새겨진 사면체는 다섯 개의 사면체로 이루어진 클러스터의 중심 세포이며, 그 주위에 면 결합된 네 개의 다른 것들은 오직 부분적으로만 십이면체 안에 놓여 있습니다. 중앙 사면체는 추가로 12개의 사면체 세포에 가장자리 결합되어 있으며, 또한 십이면체 내에 부분적으로만 놓여 있습니다.^[bl] 중앙의 세포는 정십면체 바깥에 있는 40개의 다른 사면체 세포와 꼭짓점으로 결합되어 있습니다.

바일 궤도

또 다른 구성 방법은 4차 이온과 Weyl 그룹 $궤도$의 20면체 대칭을 사용합니다 O${\displaystyle (}$ λ) =$W$(H 4) =$$I {\displaystyle O(\$Lambda$) = W(H_{4}) =120번 $주문$의 I$}.$^[32] 다음은 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$ 및$$ $T{\displaystyle {}^{\text{'}}}$ ${\$ 24셀을 W(D4) 그룹 하에서 D4의 쿼터니언 궤도 가중치로 설명합니다.
O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}
O(1000) : V1
O(0010) : V2
O(0001) : V3

With quaternions ${\displaystyle (p,q)}$ where ${\displaystyle {\bar {p}}}$ is the conjugate of ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ and ${\displaystyle [p,$$q]^{*}:r\rightarrow$ r''$=p{\$bar ${r}},$콕서터 $그룹$ W${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 4_{}}$) $=$${\displaystyle }${ [p${\displaystyle ,p}$ $¯$$]$ $⊕$ [$p,$ p $¯$$]$$∗$} {\displaystyle W (H_{4}) $=$\lbrace [p,{\bar {p}}]\opplus [p,{\bar {p}]^{*}\rbrace }는 600셀과 120셀 순서 14400의 대칭군입니다.

${\displaystyle p^{}}$¯ ± p 4${\displaystyle ,}$ $p$¯ 2 = ± p 3, p ¯ 3 = ± p 2, p ¯ 4${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ± p {\$displaystyle$ {\bar {p}=\pm p^{4}, {\bar {p}}, {\bar {p}}, {\bar {p}}, ^{2}=\pm p^{3}, {\${\displaystyle \mathrm{bar}}$ {p}}, ^{3}=\pm p^{2},${\bar {p}}^{4$}$=$\$pmp}$ 및 $p$ $†$ {\$displaystyle p^{\$$dagger$}는 p {\displaystyle p}$내$에서 -1 / $φ$ $φ$ {\displaystyle -1$/\varphi$\$leftrightarrow$ $\varphi$}의${\displaystyle }$교환으로 구성할 수 있습니다.

• ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{스눕}}}$ $24셀$ S = ∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i = $14$ ⊕ pit {\$displaystyle S$=\$sum _{$i=$1}^{$4}\opplus p^{i} T}
• 600셀 $I$ = T${\displaystyle }$+${\displaystyle \underset{}{\overset{}{S}}}$ = ∑ i = $04$ ⊕ pit {\displaystyle I = T+$S$=\$sum$ _{i=0}^{4$}\opplus p^{i}T}$
• 120셀 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{J}}}$ = ∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i, ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$⊕ $파이프$ ¯ † j T' {\$displaystyle J$ =\$sum$ _{i,j =0}^{4$}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{대체}}}$ 스누브 $24셀$ S${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ = ∑${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$i = $14$⊕ $파이프$ ¯ † $IT$' {\$displaystyle$S'=\sum _{i=1}^{4}\opplus p^{$i}{\$bar {p}}^{\dagger i}T'}
• 듀얼 스너브 24셀 = ${\displaystyle {}^{}}$ ⊕$T$' ⊕ S' ${\displaystyle$ T$opplus$ T'\opplus S'}.

구성으로서

이 구성 행렬은 120셀을 나타냅니다. 행과 열은 꼭짓점, 모서리, 면 및 셀에 해당합니다. 대각선 숫자는 120셀 전체에서 각 원소의 수를 나타냅니다. 비다각형 숫자는 열의 요소 중 행의 요소에서 또는 행의 요소에서 발생하는 요소의 수를 나타냅니다.^[33][34]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin}600&4&6&4\\2&1200&3&3\5&5&720&2\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

다음은 k-얼굴 요소와 k-피규어로 확장된 구성입니다. 대각선 원소 계수는 전체 콕서터 그룹 순서 14400의 비율로, 거울 제거가 있는 부분군 순서로 나눈 값입니다.

아4		케이페이스의	ㅂk	ㅂ0	ㅂ1	ㅂ2	ㅂ3	케이피그	메모들
가3		( )	ㅂ0	600	4	6	4	{3,3}	H4/A3 = 14400/24 = 600
A1A2		{ }	ㅂ1	2	1200	3	3	{3}	H4/A2A1 = 14400/6/2 = 1200
하21		{5}	ㅂ2	5	5	720	2	{ }	H4/H2A1 = 14400/10/2 = 720
아3		{5,3}	ㅂ3	20	30	12	120	( )	H4/H3 = 14400/120 = 120

시각화

120개의 세포는 120개의 12면체 세포로 구성됩니다. 시각화를 위해, 십이면체가 서로 반대되는 평행한 면들(십이면체 및 24-세포의 세포들과 공유하는 특성)을 갖는 것이 편리합니다. 도데체헤드론을 네 번째 방향으로 꺾인 직선으로 마주보고 쌓아 올려 둘레가 10셀인 거대한 원으로 만들 수 있습니다. 이 초기 10개의 셀 구조에서 시작하여 사용할 수 있는 두 가지 일반적인 시각화가 있습니다: 계층적 입체 투영과 서로 얽혀 있는 고리 구조.^[35]

레이어 입체 사영

세포 위치는 초구형 설명에 적합합니다.^[36] 임의의 십이면체를 선택하여 "북극"이라고 표시합니다. 12개의 대원경선(네 개의 세포 길이)은 3차원적으로 방사되며, 다섯 번째 "남극" 세포에서 모입니다. 이 골격은 120개의 세포 중 50개(2 + 4 × 12)를 차지합니다.

북극에서 시작해서, 우리는 아래 표의 지상 2구 지형에 대한 암시와 함께 9개의 위도 층에 120-cell을 쌓을 수 있습니다. 극을 제외하고, 각 층의 세포의 중심체는 별도의 2구 위에 놓여 있고, 적도 중심체는 거대한 2구 위에 놓여 있습니다. 30개의 적도 세포의 중심은 정이십면체의 꼭짓점을 이루며, 각 오각형 면의 중심을 지나는 자오선(위에서 설명한 바와 같이)이 있습니다. 다음 표에서 "간질"이라고 표시된 세포는 자오선 대원에 떨어지지 않습니다.

레이어 #	셀 수	묘사	콜라티튜드	지역
1	1셀	북극	0°	북반구
2	12셀	경락세포 1층 / "북극원"	36°
3	20셀	자오선/간질이 아닌	60°
4	12셀	경락세포 2층 / "암의 영양"	72°
5	30개의 세포	자오선/간질이 아닌	90°	적도
6	12셀	경락세포의 세 번째 층 / "카프리콘의 트로피컬"	108°	남반구
7	20셀	자오선/간질이 아닌	120°
8	12셀	경락세포 제4층 / "남극권 원"	144°
9	1셀	남극	180°
총	120셀

층 2, 4, 6, 8의 세포는 극세포의 표면 위에 위치합니다. 층 3과 7의 세포는 극세포의 꼭짓점 바로 위에 위치합니다. 레이어 5의 셀은 폴 셀의 가장자리 위에 위치합니다.

얽히고설킨 고리

120셀은 12개의 분리된 10셀 대원 고리로 분할되어 이산/양자화된 Hop fibration을 형성할 수 있습니다.^{[37][38][39][40][35]} 10개의 세포로 이루어진 하나의 고리에서 시작하여, 10개의 세포에서 하나의 완전한 회전을 하는 원래의 고리를 나선형으로 따라 다른 고리를 배치할 수 있습니다. 5개의 그러한 10셀 링을 원래의 10셀 링에 인접하게 배치할 수 있습니다. 비록 바깥쪽 고리들이 안쪽 고리(그리고 서로)를 둘러싸고 있는 "나선"이지만, 실제로는 나선형의 비틀림이 없습니다. 그것들은 모두 동등합니다. 나선형은 3구 만곡의 결과입니다. 내부 고리와 5개의 외부 고리는 이제 6개의 고리, 60셀 고체 토러스를 형성합니다. 하나는 이전의 고리에 인접한 10개의 고리를 계속 추가할 수 있지만, 위의 고리와 분리된 나머지 60개의 고리에서 첫 번째 고리와 연동하는 두 번째 고리를 구성하는 것이 더 유용합니다. 120셀은 3구와 마찬가지로 이 두 개의 고리(클리퍼드)가 합쳐진 것입니다. 첫 번째 토러스의 중심 고리가 위에서 정의한 자오선 대원이라면, 두 번째 토러스의 중심 고리는 자오선 대원을 중심으로 하는 적도 대원입니다.^[41] 또한 중심 고리 주위에 있는 50개 세포의 나선형 껍질은 왼손잡이 또는 오른손잡이가 될 수 있습니다. 그것은 단지 껍질의 세포들을 다르게 분할하는 것, 즉 다른 분리된 (클리퍼드 평행) 거대한 원들의 집합을 선택하는 것의 문제입니다.

다른 위대한 원의 작도

서로 반대되는 셀 정점을 교대로 통과한 다음 가장자리를 따라 통과하는 또 다른 관심 원 경로가 있습니다. 이 경로는 6개의 셀 직경 코드와 교대하는 6개의 가장자리로 구성되어 중앙 평면에서 불규칙한 도데카곤을 형성합니다.^[r] 이 두 개의 그레이트 서클 경로는 600셀에 이중 그레이트 서클 경로를 가지고 있습니다. 위의 10개의 셀 대면 경로는 600개의 셀에서 가장자리를 따라 단독으로 횡단하는 10개의 정점 경로에 매핑되어 데카곤을 형성합니다.^[t] 교대 셀/에지 경로는 600-셀의 꼭짓점(6개의 삼각형 이피라미드)과 마주보고 교대로 만나는 12개의 사면체로 구성된 경로에 매핑됩니다. 이 후자의 경로는 스누브 24 셀(또는 600 셀의 20면체 피라미드)에서 마주보는 6개의 정육면체 고리에 해당합니다.

또 다른 훌륭한 원 다각형 경로가 존재하는데, 이 경로는 120셀에만 고유하고 600셀에는 이중 대응물이 없습니다. 이 경로는 3개의 120셀 에지가 3개의 내접 5셀 에지(#8 코드)와 교대로 구성되며, 위에 도시된 짧은 에지와 긴 에지가 교대로 있는 불규칙한 대육각을 형성합니다.^[q] 각 5개의 세포 가장자리는 3개의 십이면체 세포의 부피(10개의 면 결합된 십이면체 세포의 고리)를 통해 세 번째 십이면체의 반대쪽 오각형 면으로 진행됩니다. 이 불규칙한 대육각은 위에서 설명한 불규칙한 대십각형과 같은 중심면(같은 대원 위에)에 놓여 있지만, {12}개의 대십각형 꼭짓점 중 {6}개만 교차합니다. 각각의 불규칙한 거대 십각형에는 두 개의 불규칙한 거대 육각형이 서로 다른 위치에 새겨져 있습니다.

원근투영

간단한 회전을 수행하는 4D 120 셀의 3D 투영
4-공간에 있는 3-구 밖에서.	3-sphere의 3D 표면 내부.

이 문서의 모든 그림과 마찬가지로 이러한 렌더링에는 120셀의 가장자리만 표시됩니다. 다른 모든 화음은 표시되지 않습니다. 120셀의 복잡한 내부 부분, 모든 내접된 600셀, 24셀, 8셀, 16셀 및 5셀은 모든 삽화에서 완전히 보이지 않습니다. 시청자는 그들을 상상해야 합니다.

이러한 투영은 4차원의 특정 관점에서 모델을 3D 그림자로 투영하는 원근 투영을 사용합니다. 따라서 더 커 보이는 얼굴과 세포는 4D 시점에 더 가깝습니다.

3D 십이면체에서 2D(왼쪽 아래)까지의 원근 투영과 4D 120-셀에서 3D(오른쪽 아래)까지의 투영을 비교하면 차원 유추에 의해 두 가지 관련 원근 투영 방법을 보여줍니다. Schlegel 다이어그램은 원근법을 사용하여 평면화된 차원의 깊이를 보여주고 특정 세포 위의 시점을 선택하여 해당 세포를 모델의 외피로 만들고 그 안에 다른 세포가 더 작게 나타납니다. 입체 사영은 동일한 접근 방식을 사용하지만 모서리가 곡선으로 표시되어 구형 폴리토프를 3구의 타일로 표현합니다. 이 두 가지 방법은 세포가 실제로 서로 안에 내포되어 있지 않고 모두 크기가 같기 때문에 개체를 왜곡합니다. 위의 회전 애니메이션과 같은 다른 원근 투영 방법이 존재하며, 이는 이러한 특정한 종류의 왜곡을 보여주는 것이 아니라 오히려 다른 종류의 왜곡을 보여줍니다(모든 투영이 필요한 것처럼).

정십이면체와의 비교

프로젝션	십이면체	120셀
슐레겔도	비행기에 있는 12개의 오각형 면	3-공간에 있는 120개의 십이면체 셀
입체 사영		투명한 얼굴로

향상된 원근투영
	중심에서 정점까지의 거리의 5배에 해당하는 셀 우선 원근법 투영. 다음과 같은 향상된 기능이 적용됩니다. 노란색으로 렌더링된 4D 시점에 가장 가까운 십이면체 12도데카헤드라는 바로 옆에 청록색으로 그려졌습니다. 녹색으로 렌더링된 나머지 도데카헤드라; 4D 시점(120셀의 "먼 쪽"에 놓여 있는 세포)에서 멀리 향하는 세포는 최종 이미지에서 잡동사니를 최소화하기 위해 도태되었습니다.
	중심에서 정점까지의 거리의 5배에 해당하는 정점 우선 원근법 투영은 다음과 같은 향상된 기능을 제공합니다. 4가지 색상으로 표시된 가장 가까운 정점을 둘러싼 4개의 셀 흰색으로 표시된 가장 가까운 정점(4개의 셀이 만나는 이미지 중앙) 투명 녹색으로 표시된 나머지 셀 명확성을 위해 선별된 4D 시점에서 마주보는 셀

정사영

120셀의 직교 투영은 특정 뷰 방향에 대해 두 개의 직교 기저 벡터를 정의하여 2D로 수행할 수 있습니다. 30각형의 투영은 1963년에 B.L. 칠튼에 의해 만들어졌습니다.^[43]

H3 십각 투영은 반 오스 다각형의 평면을 보여줍니다.

콕서터 평면에^[44] 의한 정사영

아4	-	바4
[30] (빨간색=1)	[20] (빨간색=1)	[12] (빨간색=1)
아3	A2 / B3 / D4	A3 / B2
[10] (레드=5, 오렌지=10)	[6] (레드=1, 오렌지=3, 옐로우=6, 라임=9, 그린=12)	[4] (레드=1, 오렌지=2, 옐로우=4, 라임=6, 그린=8)

3차원 직교 투영은 3개의 직교 기저 벡터로 만들어 3D 모델로 표시한 다음 2D 영상에 대해 특정 시점을 3D로 투영할 수도 있습니다.

3차원 정사영

3차원 등각투영

애니메이션 4D 회전

관련 다면체 및 벌집

H다각형₄

120셀은 H₄ 대칭이 동일한 규칙적이고 균일한 15개의 폴리토프 중 하나입니다 [3,3,5].^[45]

H족4 폴리토페
120셀	교정된 120셀	잘린 120셀	분간할 수 있는 120셀	구릿빛의 120셀	절단할 수 없습니다. 120셀	피살된 120셀	전능한 120셀
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t0,1,3{5,3,3}	t0,1,2,3{5,3,3}
600셀	교정된 600셀	잘린 600셀	분간할 수 있는 600셀	비트가 달린 600셀	절단할 수 없습니다. 600셀	피살된 600셀	전능한 600셀
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t0,1,3{3,3,5}	t0,1,2,3{3,3,5}

{p,3,3} polytopes

120셀은 유클리드 4-공간의 5셀 {3,3,3}과 테세랙트 {4,3,3}, 쌍곡공간의 육각형 타일링 벌집 {6,3,3}의 세 가지 일반적인 4-폴리토와 유사합니다. 이들은 모두 정사면체 꼭짓점 도형 {3,3}을(를) 갖습니다.

{p,3,3} polytopes
공간		스3			아3
형태		유한한			파라콤팩트	비콤팩트
이름.		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	...{∞,3,3}
이미지
세포 {p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{5,3,p} polytopes

120개의 세포는 12면체 세포를 가진 4개의 다성체와 벌집으로 이루어진 배열의 일부입니다.

{5,3,p} polytopes
공간	스3	아3
형태	유한한	작은		파라콤팩트	비콤팩트
이름.	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
이미지
꼭짓점 형체가 있는	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

사면체가 120개의 세포를 감소시켰습니다.

600-포인트 120-셀에는 5개의 서로소인 600-셀이 있기 때문에 120-포인트 600-셀 중 하나를 제거하여 불규칙한 480-포인트 4-폴리토프를 생성할 수 있습니다.^[bo]

120셀의 각 십이면체 세포는 20개의 꼭짓점 중 4개가 제거되어 감소되는데, 제거된 4개의 꼭짓점이 십이면체에 내접하는 정사면체를 형성하기 때문에 정사면체 감소 십이면체라고 불리는 불규칙한 16점 다면체가 생성됩니다. 십이면체의 꼭짓점 도형이 삼각형이므로, 각 잘린 꼭짓점은 삼각형으로 대체됩니다. 12개의 오각형 면은 12개의 사다리꼴로 대체되는데, 각 오각형의 한 꼭짓점이 제거되고 그 가장자리 중 2개가 오각형의 대각선 화음으로 대체되기 때문입니다.^[aq] 사면체 축소 십이면체는 16개의 꼭짓점과 16개의 면을 가지고 있습니다: 12개의 사다리꼴 면과 4개의 정삼각형 면.

120셀의 꼭짓점 도형이 정사면체이므로,^[bk] 각 잘린 꼭짓점은 정사면체로 대체되어 120개의 정사면체 감소된 정사면체 셀과 120개의 정사면체 셀이 남게 됩니다. 정십이면체와 정십이면체 감소십이면체는 모두 30개의 모서리를 가지고, 정120셀과 정십이면체 감소120셀은 모두 1200개의 모서리를 가지고 있습니다.

480점 감소된 120-cell은 세포가 4면체 감소되었기 때문에 4면체 감소된 120-cell이라고 불릴 수도 있고, 제거된 꼭지점이 120-cell에 내접된 600-cell을 형성했기 때문에 600-cell은 120-cell이라고 불릴 수도 있습니다. 또는 120개의 꼭짓점을 제거하면 120개의 꼭짓점이 제거되어 120개의 정사면체가 남기 때문에 정사면체를 제거할 수 있습니다.^[d]

데이비스 120셀

Davis(1985)에 의해 도입된 Davis 120-cell은 120-cell의 반대면을 식별하여 얻은 콤팩트한 4차원 쌍곡 다양체로, 보편적인 커버는 4차원 쌍곡 공간의 규칙적인 벌집 {5,3,3,5}를 제공합니다.

참고 항목

• [5,3,3] 대칭을 갖는 균일한 4-폴리토프 계열
• 57개의 세포 – 57개의 반dod로 구성된 추상적인 규칙적인 4개의 다포체.
• 600셀 - 120셀에 이중 4-폴리토프

메모들

인용

참고문헌

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "120-Cell". MathWorld.
• Olshevsky, George. "Hecatonicosachoron". Glossary for Hyperspace. Archived from the original on 4 February 2007.
  • 헤카토니코사코론(120셀)과 헥사코시코론(600셀)을 기반으로 한 볼록 균일 폴리초라 - 모델 32, George Olshevsky
• Klitzing, Richard. "4D uniform polytopes (polychora) o3o3o5x - hi".
• Der 120-Zeller (120셀) Marco Möler's Regular polytops in⁴ R (독일어)
• 120셀 탐색기 – 여러 120셀 대칭에 대해 배울 수 있는 무료 대화형 프로그램입니다. 120셀은 3차원으로 투사된 다음 OpenGL을 사용하여 렌더링됩니다.
• 쌍십면체의 구성에 관한 연구
• 120셀 지안 마르코 토데스코 건설 유튜브 애니메이션.

H족4 폴리토페
120셀	교정된 120셀	잘린 120셀	분간할 수 있는 120셀	구릿빛의 120셀	절단할 수 없습니다. 120셀	피살된 120셀	전능한 120셀
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t0,1,3{5,3,3}	t0,1,2,3{5,3,3}
600셀	교정된 600셀	잘린 600셀	분간할 수 있는 600셀	비트가 달린 600셀	절단할 수 없습니다. 600셀	피살된 600셀	전능한 600셀
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t0,1,3{3,3,5}	t0,1,2,3{3,3,5}

v t 2~10차원의 기본 볼록한 규칙적이고 균일한 폴리토프
가족	An	Bn	I2(p) / Dn	E672 / E8 / F / G4	아n
정다각형	삼각형	광장	피곤	육각형	펜타곤
균일 다면체	사면체	팔면체 • 정육면체	데미큐브		정십이면체 • 정십이면체
균일 폴리코론	펜타코론	16셀 • 테서랙트	반어법	24셀	120셀 • 600셀
균일한 5-폴리토프	5-simplex	5 오소플렉스 • 5입방	5-디미큐브
균일한 6-폴리토프	6-simplex	6입방 • 6입방	6-디미큐브	122 • 221
균일한 7-폴리토프	7-simplex	7입방 • 7입방	7-디미큐브	132 • 231 • 321
균일한 8-폴리토프	8-simplex	8 오소플렉스 • 8입방	8-디미큐브	142 • 241 • 421
균일한 9-폴리토프	9-simplex	9정통 • 9입방	9-데미큐브
균일한 10-폴리토프	10simplex	10입방 • 10입방	10-디미큐브
균일한 n-폴리토프	n- simplex	n-정통 • n-큐브	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	오각형이 아닌 다각형
주제: 폴리토프 계열 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록