실행하다

PROPT^[1] MATLAB Optimal Control Software는 적용된 최적 제어(ODE 또는 DAE 공식화) 및 파라미터 추정 문제를 해결하기 위한 신세대 플랫폼입니다.

이 플랫폼은 2008년 MATLAB 프로그래밍 콘테스트 우승자인 Per Rutquist에 의해 개발되었습니다.최신 버전은 자동 스케일링 모듈뿐만 아니라 이진 및 정수 변수를 지원합니다.

묘사

PROPT는 매우 복잡한 최적 제어 문제를 발생시키기 위해 TomSym 모델링 클래스를 기반으로 구축된 모델링, 컴파일 및 솔버 엔진입니다.PROPT는 최적의 제어 문제를 해결하기 위해 의사 스펙트럼 콜로케이션 방법(가우스 또는 체비셰프 포인트 포함)을 사용합니다.즉, 솔루션이 다항식의 형태를 취하며, 이 다항식은 DAE와 코로케이션 포인트의 경로 제약 조건을 충족합니다.

일반적으로 PROPT에는 다음과 같은 주요 기능이 있습니다.

• 궤적 최적화 문제에 대한 해결책을 근사하는 데 사용되는 다항식의 미분 및 적분에 사용되는 상수 행렬의 계산입니다.
• TOMLAB의 비선형 프로그래밍 솔버에 $전달$되는 비용 함수$f{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ f$}$ 및$$ 제약 $함수{\displaystyle }$c {\$displaystyle$ c$}$에 대한 사용자 제공 식을 MATLAB 코드로 변환하는 소스 변환.소스 변환 패키지 TomSym은 1차 및 2차 파생 모델을 자동으로 생성합니다.
• 문제 해결을 위한 다양한 정보를 표시하고 계산하는 기능.
• 다음의 자동 검출:
  • 선형 및 2차 목표입니다.
  • 단순한 경계, 선형 및 비선형 제약 조건.
  • 최적화되지 않은 식입니다.
• 원활한^[2](하이브리드) 최적 제어 문제에 대한 통합 지원
• 어려운 공간 관련 문제를 자동으로 확장하기 위한 모듈입니다.
• 이진수 및 정수 변수, 컨트롤 또는 상태 지원.

모델링.

PROPT 시스템은 TomSym 심볼릭 소스 변환 엔진을 사용하여 최적의 제어 문제를 모델링합니다.독립 변수, 종속 함수, 스칼라 및 상수 파라미터를 정의할 수 있습니다.

 탐스 TF  탐스 t  p = TomPhase('p', t, 0, TF, 30);  x0 = {TF == 20};  박스 = {10 <=> TF <=> 40};   탐스 z1  박스 = {박스; 0 <=> z1 <=> 500};  x0 = {x0; z1 == 0};   ki0 = [1e3; 1e7; 10; 1e-3]; 

상태 및 제어

상태와 제어는 단계 간에 상태가 연속적이어야 한다는 점에서만 다릅니다.

 Tom States(tomStates) x1  x0 = {코리케이트({x1 == 0})};   톰 컨트롤 u1  박스 = {-2 <=> 조합하다(u1) <=> 1};  x0 = {x0; 조합하다(u1 == -0.01)}; 

경계, 경로, 이벤트 및 적분 제약

다양한 경계, 경로, 이벤트 및 적분 제약 조건을 다음에 나타냅니다.

 cbnd = 초기의(x1 == 1);       x1의 시작점(%)  cbnd = 최종(x1 == 1);         x1의 엔드 포인트(%)  cbnd = 최종(x2 == 2);         x2의 엔드 포인트(%)  패스 = 조합하다(x3 >= 0.5);  x3에 대한 경로 제약(%)  인시  = {통합하다(x2) == 1};  x2의 적분 제약 조건(%)  cbnd = 최종(x3 >= 0.5);       x3의 최종 이벤트 제약 조건(%)  cbnd = 초기의(x1 <=> 2.0);     초기 이벤트 제약 조건(%) x1 

단상 최적 제어 예시

반데르폴 발진기 ^[3]

최소화:

${\displaystyle\begin{x,t}&=&x_{3}(t_{f})\\end{matrix}}$

대상:

${\displaystyle {case}{\frac {case}{dt}=(1-x_{2}^{2})*x_{1}-x_{2}+u\{\frac {case_{2}{dt}=x_{1}\\{\frac {case_{3}}{d}{t}{x_{2}^{2}^{2}}}}}^2}+u^{2}\x(t_{0})=[0\1\0]\t_{f}=5\\-0.3\leq u\leq 1.0\\end {case}}$

PROPT의 문제를 해결하려면 다음 코드를 사용할 수 있습니다(콜리케이션 포인트 60개 포함).

탐스 t p = TomPhase('p', t, 0, 5, 60); setPhase(p);  Tom States(tomStates) x1 x2 x3 톰 컨트롤 u  초기 추정치(%) x0 = {코리케이트({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0})     조합하다(u == -0.01)};  박스 제약 비율(%) 박스 = {-10  <=> 코리케이트(x1) <=> 10     -10  <=> 코리케이트(x2) <=> 10     -10  <=> 코리케이트(x3) <=> 10     -0.3 <=> 조합하다(u)   <=> 1};  % 경계 제약 cbnd = 초기의({x1 == 0; x2 == 1; x3 == 0});  ODE 및 경로 제약 비율(%) 인식하다 = 조합하다({점(x1) == (1-x2.^2).*x1-x2+u     점(x2) == x1; 점(x3) == x1.^2+x2.^2+u.^2});  목표(%) 객관적으로 = 최종(x3);  % 문제 해결 옵션들 = 구조; 옵션들.이름. = '반 데르 폴'; 해결 방법 = 에즈솔루브(객관적으로, {박스, cbnd, 인식하다}, x0, 옵션들); 

다상 최적 제어 예시

자유종료시간 및 위상편이가 결정되지 않은 1차원 로켓

최소화:

${\displaystyle\begin{matrix}J_{x,t}&=&tCut\\end{matrix}}$

대상:

${\displaystyle {case}{\frac {dt}}=x_{2}\{\frac {dt}{dt}=a-g\(0<t<=tCut)\\{\frac {frac_{2}}{dt}=-g\(tCut<t_{f}\x(t_{0})=[0}\g=1\a=2\x_{1}(t_{f})=100\\end{cases})$

이 문제는 PROPT를 사용하여 다음 두 단계를 생성하고 연결함으로써 해결됩니다.

탐스 t 탐스 잘라내다 tp2 p1 = TomPhase('p1', t, 0, 잘라내다, 20); p2 = TomPhase('p2', t, 잘라내다, tp2, 20);  TF = 잘라내다+tp2;  x1p1 = 톰스테이트(p1,'x1p1'); x2p1 = 톰스테이트(p1,'x2p1'); x1p2 = 톰스테이트(p2,'x1p2'); x2p2 = 톰스테이트(p2,'x2p2');  초기 추정치(%) x0 = {잘라내다==10     TF==15     코리케이트(p1,{x1p1 == 50*잘라내다/10;x2p1 == 0;})     코리케이트(p2,{x1p2 == 50+50*t/100;x2p2 == 0;})};  박스 제약 비율(%) 박스 = {     1  <=> 잘라내다 <=> TF-0.00001     TF <=> 100     0  <=> 코리케이트(p1,x1p1)     0  <=> 코리케이트(p1,x2p1)     0  <=> 코리케이트(p2,x1p2)     0  <=> 코리케이트(p2,x2p2)};  % 경계 제약 cbnd = {초기의(p1,{x1p1 == 0;x2p1 == 0;})     최종(p2,x1p2 == 100)};  ODE 및 경로 제약 비율(%) a = 2; g = 1; 인식하다 = {조합하다(p1,{     점(p1,x1p1) == x2p1     점(p1,x2p1) == a-g})     조합하다(p2,{     점(p2,x1p2) == x2p2     점(p2,x2p2) == -g})};  목표(%) 객관적으로 = 잘라내다;  링크 단계(%) 링크 = {최종(p1,x1p1) == 초기의(p2,x1p2)     최종(p1,x2p1) == 초기의(p2,x2p2)};  %% 문제 해결 옵션들 = 구조; 옵션들.이름. = '원딤 로켓'; 구성 = {박스, cbnd, 인식하다, 링크}; 해결 방법 = 에즈솔루브(객관적으로, 구성, x0, 옵션들); 

모수 추정 예제

모수 추정 문제 ^[5]

최소화:

$디스플레이 스타일J_{p}&=&\sum _{i=1,2,3,5}{(x_{1}(t_{i})-x_{1}^{m}(t_{i})^{2}}\\\end{filename}}$

대상:

${\displaystyle {case}{\frac {dt}=x_{2}\{dt}}=1-2*x_{2}-x_{1}\x_{0}=[p_{1}\t_{1}=[5\frac {1}}$

아래 코드에서는 미세한 그리드(10개의 코로케이션 포인트)로 문제를 해결합니다.이 솔루션은 이후 40개의 코로케이션포인트를 사용하여 미세조정됩니다.

탐스 t p1 p2 x1meas = [0.264;0.594;0.801;0.959]; 측정하다  = [1;2;3;5];  박스 제약 비율(%) 박스 = {-1.5 <=> p1 <=> 1.5     -1.5 <=> p2 <=> 1.5};  %% 연속적으로 큰 번호의 코로케이션 포인트를 사용하여 문제를 해결합니다. 위해서 n=[10 40]     p = TomPhase('p', t, 0, 6, n);     setPhase(p);     Tom States(tomStates) x1 x2      초기 추정치(%)     한다면 n == 10         x0 = {p1 == 0; p2 == 0};     또 다른         x0 = {p1 == p1opt; p2 == p2opt             코리케이트({x1 == x1opt; x2 == x2opt})};     끝.      % 경계 제약     cbnd = 초기의({x1 == p1; x2 == p2});      ODE 및 경로 제약 비율(%)     x1err = 합((포인트(측정하다,x1) - x1meas).^2);     인식하다 = 조합하다({점(x1) == x2; 점(x2) == 1-2*x2-x1});      목표(%)     객관적으로 = x1err;      %% 문제 해결     옵션들 = 구조;     옵션들.이름.   = '모수 추정';     옵션들.해결사 = 'snopt';     해결 방법 = 에즈솔루브(객관적으로, {박스, cbnd, 인식하다}, x0, 옵션들);      시작점의 최적 x, p %     x1opt = 서브(x1, 해결 방법);     x2opt = 서브(x2, 해결 방법);     p1opt = 서브(p1, 해결 방법);     p2opt = 서브(p2, 해결 방법); 끝. 

최적의 제어 문제 지원

• 공기역학 궤도^[6] 제어
• 뱅뱅 컨트롤^[7]
• 화학 공학^[8]
• 동적 시스템^[9]
• 일반적인 최적 관리
• 대규모 선형^[10] 제어
• 다상 시스템^[11] 제어
• 기계 공학^[12] 설계
• 미분할 수 없는 제어^[13]
• 동적^[14] 시스템에 대한 매개변수 추정
• 단수 제어

레퍼런스

외부 링크

• TOMLAB - 소프트웨어 개발자 및 배포자.
• TomSym - 소프트웨어에서 사용되는 소스 변환 엔진.
• PROPT - PROPT 홈페이지
• SNOPT - PROPT에서 사용되는 기본 솔버.