페아노 공리

수학 논리학에서 데데킨드-페아노 공리 또는 페이노 공리설이라고도 하는 페이노 공리는 19세기 이탈리아 수학자 주세페 페아노가 제시한 자연수에 대한 공리설이다. 이러한 공리는 숫자 이론이 일관되고 완전한지 여부에 대한 근본적인 질문에 대한 연구를 포함하여 많은 변태적 연구에서 거의 변하지 않고 사용되어 왔다.

1860년대에 산술에 나오는 많은 사실들이 후계자 연산과 유도에 관한 보다 기본적인 사실에서 도출될 수 있다는 것을 보여준 헤르만 그라스만의 작품이 나오기 전까지는 산술을 공식화할 필요성이 잘 인정되지 않았다.^[1] 1881년 찰스 샌더스 페어스는 자연수 산수의 공리화를 제공했다.^[2] 1888년 리차드 데데킨드는 자연수 산술의 또 다른 공리화를 제안했고, 1889년 페아노는 그의 저서 '새로운 방법에 의해 제시된 산술의 원리'(라틴어: 산술 공국, nova methodo exposita).

9개의 페이노 공리에는 세 가지 유형의 진술이 포함되어 있다. 첫 번째 공리는 자연수 집합에서 적어도 한 명의 구성원의 존재를 주장한다. 다음 네 가지는 평등에 관한 일반적인 진술이다; 현대적 치료에서 이것들은 종종 페아노 공리의 일부로 받아들여지지 않고 오히려 "밑바닥 논리"^[3]의 공리로 받아들여진다. 다음 세 가지 공리는 후계작전의 근본적 특성을 나타내는 자연수에 대한 1차 진술이다. 아홉 번째, 마지막 공리는 자연수에 대한 수학적 유도의 원리의 두 번째 순서 진술이다. 덧셈과 곱셈 연산 기호를 명시적으로 추가하고 2차 유도 공리를 1차 공리 스키마로 대체함으로써 보다 약한 1차 연산 시스템인 페아노 산술(Peano accounting)을 얻는다.

공식화

페아노가 그의 공리를 공식화했을 때, 수학논리의 언어는 초기 단계에 있었다. 그가 공리를 제시하기 위해 만든 논리 표기법 체계는 비록 세트 멤버쉽(페아노의 from에서 오는 ∈)과 시사(⊃⊃, ⊃)에 대한 현대 표기법의 시초였지만, 인기 있는 것으로 증명되지는 않았다.) 페아노는 수학 기호와 논리 기호의 명확한 구분을 유지했는데, 이는 y가 아니었다.수학에서 흔히 볼 수 있다; 그러한 분리는 1879년에 고틀롭 프레지에 의해 베그리프슈리프트에 처음 소개되었다.^[4] 페아노는 프레게의 작품을 모르고 불레와 슈뢰더의 작품을 바탕으로 자신의 논리적 장치를 독자적으로 재현했다.^[5]

Peano 공리는 자연수의 산술적 특성을 정의하며, 일반적으로$$ 집합 N 또는 $N{\displaystyle \mathbb{}.}$ ${\displaystyle \mathb{N}.}$ 공리의 비논리적 기호는 상수 기호 0과 단수 함수 기호 S로 구성된다.

첫 번째 공리는 상수 0을 자연수라고 한다.

페아노의 원래 공리 공식은 0 대신 1을 "첫" 자연수로 사용한 반면 포뮬라리오 수학의 공리에는 0이 포함되어 있다.^[6][7]

다음 네 개의 공리는 평등 관계를 기술한다. 평등한 일차 논리로 논리적으로 타당하기 때문에 현대 치료에서는 '페아노 공리'의 일부로 간주되지 않는다.^[5]

나머지 공리는 자연수의 산술적 특성을 정의한다. Natural은 단일 값 "sucercessor" 함수 S에 따라 닫힌 것으로 가정한다.

공리 1, 6, 7, 8은 숫자 1은 S(0), 2는 S(0) 등으로 정의할 수 있다. 그러나 이러한 공리에 의해 정의되는 자연수의 개념을 고려할 때 공리 1, 6, 7, 8은 계승함수가 0과 다른 모든 자연수를 생성한다는 것을 의미하지는 않는다.

후계자를 0에 충분히 자주 적용함으로써 각각의 자연수를 얻을 수 있다는 직관적 개념은 추가적인 공리를 필요로 하는데, 이를 유도의 공리라고 부르기도 한다.

유도 공리는 때때로 다음과 같은 형태로 명시된다.

페아노의 원래 공식에서 유도 공리는 2차 공리다. 이제 이 2차 원리를 보다 약한 1차 유도 방식으로 대체하는 것이 일반적이다. 아래의 § 1차 산술 이론 섹션에서 논했듯이, 2차 공식과 1차 공식 사이에는 중요한 차이가 있다.

산술

Peano 공리는 덧셈과 곱셈의 연산 및 N에 대한 통상적인 총(선형) 순서에 의해 증강될 수 있다. 각각의 기능과 관계는 세트 이론이나 2차 논리로 구성되며, 페이노 공리를 사용하여 독특함을 보여줄 수 있다.

덧셈

덧셈은 두 개의 자연수(N의 두 요소)를 다른 숫자에 매핑하는 기능이다. 그것은 재귀적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\begin}a+0&=a,&{\textrm {(1)}\a+S(b)&=S(a+b)&{\textrm{(2)}\end{aigned}}$

예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}a+1&, =a+S(0)&,{정의{에 의해 \mbox}}\\&, =S(a+0)&,{\mbox{를 사용하여(2)}}\\&, =S(를),&,{\mbox{를 사용하여(1)}}\\\\a+2&, =a+S(1)&,{정의{에 의해 \mbox}}\\&, =S(a+1)&,{\mbox{를 사용하여(2)}}\\&, =S(S(를))&{\mbox{를 사용하여}}a+1=S(를)\\\\a+3&, =a+S(2)&,{정의{에 의해 \mbox}}\\&, =S(a+2)&,{\mbox{를 사용하여. (2)}}\\&, =S(S(S(를)))&{\mbox{를 사용하여}}a+2=S(S(를))\\{\text{etc.}}}&\\\end{aigned}}$

구조(N, +)는 0. (N, +)도 취소성 마그마(Magma)이므로 집단으로 내장할 수 있다. N을 포함하는 가장 작은 그룹은 정수다.

곱하기

마찬가지로 곱셈은 두 개의 자연수를 다른 숫자에 매핑하는 함수다. 추가적으로 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

${\displaystyle {\begin}a\cdot 0&==0,\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{정렬}}}$

$S{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle S(0)}($또는 십진수 표시의 익숙한 언어로 "1")이 승법적 권리 정체성임을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a}$

$S{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle S(0)}$이(가) 또한$$ 곱셈이 정의되는 방식으로 인해 유도 공리가 필요하다.

• ${\displaystyle S}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle S(0)}$은 0: $S{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$0 ${\displaystyle )0}$ 0 =$$ $displaystyle S(0)\cdot$ 0$=0}$의 왼쪽 ID다$.$
• If ${\displaystyle S(0)}$ is the left identity of ${\displaystyle a}$ (that is ${\displaystyle S(0)\cdot a=a}$), then ${\displaystyle S(0)}$ is also the left identity of ${\displaystyle S(a)}$: ${\displaystyle S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+}$${\displaystyle$$$$S(a+0)=S(a$

따라서 유도 공리 $S{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle S (0)}$에 의해 모든 자연수의 승법 좌익 정체성이 된다$$. 또한 곱셈은 서로 상통하며 덧셈에 따라 분포한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$(${\displaystyle b}$+ c${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$+ (${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle c}$) ( ⋅ c ) ${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot$ b$)++(a\cdot$ c$)\}\}$

따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{N}}$,${\displaystyle }$+ ,${\displaystyle }$0 ,${\displaystyle \cdot }$, ${\displaystyle \mathrm{S}}$ (${\displaystyle 0}$)${\displaystyle (\mathb {N} ,+,0,\cdot ,S(0)}$은(는) 정류적 의미 부여형이다$$.

불평등

자연수에 대한 통상적인 총 주문 관계 numbers은 0이 자연수라고 가정하여 다음과 같이 정의할 수 있다.

모든 a, b ∈ N, if 그리고 a + c = b와 같은 c n N이 존재하는 경우에만.

이 관계는 덧셈과 곱셈에서 안정적이다: $a{\displaystyle }$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$ 만약 ≤ b라면, 다음:

• a + c ≤ b + c 및
• a · c ≤ b · c.

따라서 구조(N, +, ·, 1, 0, ≤)는 순서가 정해진 세미링이며, 0과 1 사이에 자연수가 없기 때문에 이산순서가 된 세미링이다.

유도의 공리는 때로는 더 강한 가설을 사용하는 다음과 같은 형태로 나타나며, 순서 관계를 "≤"로 한다.

모든 술어에 대해, 다음과 같은 경우

• φ(0)은 참이며,
• 모든 n, k ∈ N에 대해, k ≤ n이 )(k)가 참임을 의미한다면, φ(S(n)이 참이다.

그러면 모든 n n N에 대해 φ(n)은 참이다.

강유도라 불리는 이러한 형태의 유도 공리는 표준 제형의 결과물이지만 ≤순서에 대한 추론에 더 적합한 경우가 많다. 예를 들어, N의 모든 비어 있지 않은 부분집합은 최소한의 요소를 가지며, N의 순서가 잘 정돈되어 있다는 것을 보여주기 위해 다음과 같이 추론할 수 있다. 비어 있지 않은 X ⊆ N을 주고 X에 최소 요소가 없다고 가정한다.

• 0은 N의 최소 원소이기 때문에 0 ∉ X가 되어야 한다.
• n ∈ N의 경우, 모든 k ≤ n, k ∉ X에 대해 가정한다. 그 다음에 S(n) ∉ X, 그렇지 않으면 X의 최소 요소가 될 것이다.

따라서 강력한 유도 원리에 의해 매 n ∈ N, n ∉ X에 대해. 따라서 X ∩ N = ∅은 X가 N의 비어 있지 않은 부분집합인 것과 모순된다. 따라서 X는 최소한의 요소를 가지고 있다.

산술 1차 이론

9차 공리(유도 공리)를 제외한 모든 페이노 공리는 1차 논리의 진술이다.^[11] 덧셈과 곱셈의 산술 연산 및 순서 관계도 1차 공리를 사용하여 정의할 수 있다. 유도의 공리는 술어(자연수보다는 동등하게 자연수 집합)를 정량화하므로 2차순이지만 1차 유도의 공리 스키마로 탈바꿈할 수 있다. 그러한 스키마는 1차 산술어로 정의할 수 있는 술어당 하나의 공리를 포함하고 있어 2차 산술보다 약하다.^[12] 더 약한 이유는 1차 언어의 술어의 수는 셀 수 있는 반면, 자연수 집합의 수는 셀 수 없기 때문이다. 따라서 1차 언어로 설명할 수 없는 집합이 존재한다(사실 대부분의 집합은 이 속성을 가지고 있다).

페아노 산술의 1차 공리화에는 또 다른 기술적 한계가 있다. 2차 논리에서는, 후계 운용으로부터 덧셈과 곱셈 연산을 규정하는 것은 가능하지만, 1차 논리에서는 더 제한적인 설정에서는 할 수 없다. 따라서 덧셈과 곱셈 연산은 피아노 산술의 서명에 직접 포함되며, 세 연산을 서로 연관시키는 공리법도 포함되어 있다.

로빈슨 산술의 7개 공리 중 6개를 담고 있는 다음과 같은 공리 목록(평등의 공리와 함께)은 이 목적에 충분하다.^[13]

• $[\displaystyle \forall x\ (0\neq S(x))]}$
• $\displaystyle \forall x,y\ (S(x)=S(y)\오른쪽 화살표 x=y)}$
• ${\displaystyle \forall x\(x+0=x)}$
• $[\displaystyle \forall x,y\ (x+S(y)=]S(x+y)}}$
• ${\displaystyle \forall x\(x\cdot 0=0)}$
• ${\displaystyle \forall x,y\(x\cdot S(y)=x\cdot y+x)}$

이 수치 공리 목록 외에도 페아노 산술에는 재귀적으로 열거된 공리 집합으로 구성된 유도 스키마가 포함되어 있다. ano(x, y₁, ..., y)의 각 공식에 대해_k φ의 1차 유도 공리는 문장이다.

${\displaystyle \forall {\bar{y}{\Bigg (}\barphi (0,{\bar {y})\land \forall x{\Big (}\barphi)(x, {\bar {y})\Rightarrow \varphi(S(x),{\bar {y}}{\Big )}\Rightarrow \forall x\varphi(x, {\bar {y}){\Bigg )}}}}}}}$

여기서 $y{\displaystyle \stackrel{\text{'}}{}}$ ${\$은 y₁,...,y의_k 약어. 1차 유도 스키마는 1차 유도 공리의 모든 인스턴스(instance)를 포함하며, 즉, 모든 공식에 대한 유도 공리를 포함한다.

등가 공리화

페아노 산술에는 여러 가지 다르지만 동등한 공리화가 있다. 방금 설명한 것과 같은 일부 공리는 0에 대한 기호만 있는 서명을 사용하고 후속 작업, 추가 작업 및 곱하기 작업을 수행하지만, 다른 공리는 추가 주문 관계 기호를 포함하여 순서의 반감 언어를 사용한다. 그러한 공리화 중 하나는 이산순서의 기수를 기술하는 다음과 같은 공리에서 시작된다.^[14]

1. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$+ (${\displaystyle y}$+ z${\displaystyle }$)${\displaystyle$\$for x,y,z\ (x+y)+z=x+(y+z)},$즉, 덧셈은 연관성이 있다.
2. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$( ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \forall x,y\ (x+y=y+x$ 즉, 덧셈은 상쇄적이다.
3. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdot }$ z${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$( ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle$\$forall x,y,z\ (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z$ 즉 곱셈은 연관성이 있다.
4. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle y}$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \forall$ x$,y\ (x\cdot$y=$y\cdot x$ 즉 곱셈은 동격이다.
5. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, z${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (y}$+ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle$\$forall x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot$ y$)+(x\cdot z)},$ 즉$,$ 덧셈에 따라 곱셈이 분포한다.
6. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \wedge }$ x ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 0}$= ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \forall$ x\$(x+0=x\land x\cdot$ 0$=0$ 즉 0은 덧셈을 위한 ID이고, 곱셈을 위한 흡수 요소(실제^{[note 2]} 과잉)이다.
7. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 1}$= x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 1=x$ 즉, 하나는 곱셈을 위한 ID다.
8. , , (< < < >) $displaystyle \ forall$ x$,y,z\(x<y\land y<z\Rightarrow$ x$<z)}),$즉 '<' 연산자는 transitive이다.
9. ( ( <x )) ${\displaystyle \forall$ x\$(\neg (x<x))},$즉 '<' 연산자는 불손하다.
10. , y( x< x= y < ) ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\lor x=y_lor y)},$즉, 순서는 삼분법을 만족한다.
11. , , z( x< x + < y+ ) $displaystyle \ forall$ x$,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)},$즉, 동일한 요소를 추가하여 순서를 보존한다.
12. , , z( 0< < x < ${\displaystyle \forall$ x$,y,z\ (0<z\land$ x$<y\Rightarrow x\cdot z)},$즉, 순서는 동일한 양의 요소에 의해 곱셈으로 보존된다.
13. , ( < ( + z= )) ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\Rightarrow \exist z\ (x+z=y))},$즉, 두 개의 구별되는 요소를 감안할 때, 더 큰 것은 더 작은 플러스 다른 요소다.
14. < ( >0 x ){\$displaystyle 0<1$\land $\forall$ x$\ (x>0\Rightarrow x\geq$ 1 즉 0과 1은 구별되고 그 사이에는 요소가 없다. 즉, 0은 1로 가려져 있어 자연수가 별개임을 알 수 있다.
15. ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \forall x\ (x\geq$ 0$)\},$ 즉 0은 최소 요소다.

이러한 공리에 의해 정의된 이론은 PA라고⁻ 알려져 있다; PA 이론은 1차 유도 스키마를 추가하여 얻는다. PA의⁻ 중요한 속성은 이 이론을 만족하는$$ $구조{\displaystyle }$ $M {\$$displaystyle \leq }$에 의해 정렬된 초기 세그먼트가 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 이형성이 있다는 것이다$.$ 이 세그먼트에서 원소를 표준 요소라고 하는 반면, 다른 요소들은 비표준 요소라고 부른다.

모델

페아노 공리의 모델은 3중(N, 0, S)이며, 여기서 N은 (필요적으로 무한) 집합이며, 0 ∈ N과 S: N → N은 위의 공리를 만족한다. 드데킨드는 1888년 저서 '숫자의 본질과 의미'(독일어: sind und가 sollen die Zahlen이었는가, 즉, "숫자는 무엇이며 그것들이 무엇을 위해 좋은가?") 페아노 공리의 어떤 두 가지 모델도 이형성(제2차 유도 공리 포함) 특히 페아노 공리의 두 가지 모델(N_AA, 0_A, S)과 (N_BB, 0, S_B)을 감안할 때, 고유한 동형상 f : N_A → N_B 만족이 있다.

${\displaystyle {\begin}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n)&=S_{B}(f(n)\ended}}}}}}}}$

그리고 그것은 편견이다. 2차 페이노 공리가 단정적이라는 뜻이다. 그러나 페아노 공리의 일차 개혁은 그렇지 않다.

집합이론적 모델

페아노 공리는 ZF와 같은 세트 이론의 자연 숫자와 공리의 정해진 이론적 구성에서 파생될 수 있다.^[15] 존 폰 노이만(John von Neumann)으로 인해 Natural의 표준 구성은 0의 정의에서 출발하며, ∅는 빈 집합과 연산자 s는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle s(a)=a\cup \{a\}}$

자연수 N의 집합은 빈 집합을 포함하는 s에서 닫힌 모든 집합의 교차점으로 정의된다. 각 자연수는 그것보다 적은 자연수 집합과 동일하다.

${\displaystyle {\regated}0&=\emptyet \\1&=s(0)=s(\emptyet )=\empt \cup \{\}=\\{0\}\\&=s(1)s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0,1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{aligned}}}$

등등. 세트 N은 0과 함께, 후속함수 s : N → N은 Peano 공리를 만족한다.

페아노 산술은 집합 이론의 몇 가지 약한 체계와 동일하다.^[16] 그러한 시스템 중 하나는 무한대의 공리를 그것의 부정으로 대체한 ZFC이다. 또 다른 그러한 시스템은 일반 집합 이론(확장성, 빈 집합의 존재 및 부속의 공리)으로 구성되며, 부속물을 보유할 때마다 빈 집합과 부속물을 보유하는 속성이 모든 집합에 대해 보유해야 한다는 공리 스키마에 의해 강화된다.

범주 이론의 해석

피아노 공리 역시 범주 이론을 이용해 이해할 수 있다. C를 단자 객체 1의_C 범주로 하고, 다음과 같이 뾰족한 단항 시스템인 US(C₁)의 범주를 정의한다.

• US₁(C)의 대상은 3중(X, 0, S_X)이며_X, 여기서 X는 C의 대상이며, 0_X : 1_C → X_X, S : X는 C형이다.
• 형태론 φ : (X_X, 0, S_X) → (Y, 0, S_YY)는 C-형성 φ : X_X → Y, 0 = 0_Y, and_X S = S_Y φ이다.

Then C is said to satisfy the Dedekind–Peano axioms if US₁(C) has an initial object; this initial object is known as a natural number object in C. If (N, 0, S) is this initial object, and (X, 0_X, S_X) is any other object, then the unique map u : (N, 0, S) → (X, 0_X, S_X) is such that

${\displaystyle {\begin}u(0)&=0_{X},\u(SX)&=S_{X}(uX).\end{정렬}}}$

이것은 정확히 0과_X S의_X 재귀적 정의다.

비표준 모델

통상적인 자연수는 PA의 공리를 만족시키지만, 다른 모델("비표준 모델"이라 불림)도 있다. 콤팩트성 정리는 1차적 논리에서 비표준 요소의 존재를 배제할 수 없다는 것을 암시한다.^[17] 상향 뢰웬하임-스콜렘 정리는 모든 무한 추기경의 비표준 PA 모델이 있음을 보여준다. 한 가지 모델만 가지고 있는 원래의(2차) 페이노 공리가 이소모르피즘에 이르는 경우는 그렇지 않다.^[18] 이는 1차 시스템 PA가 2차 시스템 페아노 공리보다 약한 한 가지 방법을 보여준다.

ZFC와 같은 1차 집합 이론 내에서 증거로 해석될 때, PA에 대한 데데킨드의 분류성 증명은 집합 이론의 각 모델이 그 집합 이론 모델에 포함된 다른 모든 PA 모델의 초기 부분으로서 내장되는 Peano 공리의 고유한 모델을 이소모르프리즘에 이르기까지 가지고 있다는 것을 보여준다. 세트 이론의 표준 모델에서, 이 가장 작은 PA 모델은 PA의 표준 모델이지만, 세트 이론의 비표준 모델에서는 PA의 비표준 모델일 수 있다. 세트 이론의 어떤 일차적인 공식화로는 이러한 상황을 피할 수 없다.

계산 가능한 비표준 모델을 명시적으로 구성할 수 있는지 여부를 묻는 것은 당연하다. 그 대답은 1933년 스콜렘이 그러한 비표준 모델의 명시적인 구조를 제공했기 때문에 긍정적이다. 한편 1959년에 증명된 테넨바움의 정리는 덧셈이나 곱셈 연산을 계산할 수 있는 PA의 비표준 모델은 존재하지 않는다는 것을 보여준다.^[19] 이 결과는 계수 가능한 비표준 모델인 PA의 덧셈과 곱셈 연산을 기술하는데 있어서 완전히 명시적이기 어렵다는 것을 보여준다. 계산 가능한 비표준 모델에는 가능한 주문 유형이 하나만 있다. Ω을 자연수의 순서형, ζ은 정수의 순서형, η은 이성들의 순서형식으로 내버려두면, PA의 어떤 계수형 비표준모델의 순서형은 Ω + ζ·η이며, 이는 자연수의 사본에 이어 정수의 조밀한 선형 순서가 뒤따르는 것으로 시각화할 수 있다.

오버스필

비표준 모델 M의 절단은 C가 아래쪽으로 닫히고(x < y and y x C x x c C) C가 후속으로 닫히도록 M의 비어 있지 않은 부분집합 C이다. 적당한 절단은 M의 적절한 부분집합인 절단을 말한다. 각 비표준 모델은 표준 자연수에 해당하는 것을 포함하여 많은 적절한 절단을 가지고 있다. 그러나, 페아노 산술의 유도 체계는 어떤 적절한 절단도 규정할 수 없게 한다. 아브라함 로빈슨에 의해 처음 증명된 과소비 보조정리기는 이 사실을 공식화한다.

일관성

페아노 공리가 처음 제안되었을 때, 베르트랑 러셀과 다른 사람들은 이러한 공리가 우리가 "자연수"^[21]로 의미하는 바를 암묵적으로 정의했다는 데 동의했다. 앙리 푸앵카레는 자연수가 일관성이 있어야만 정의한다고 말하며 더욱 조심스러웠고, 이러한 공리에서 출발하여 0 = 1과 같은 모순을 도출하는 증거가 있다면 공리는 일관성이 없고, 아무것도 정의하지 않는다.^[22] 1900년, 데이비드 힐버트는 그의 23가지 문제 중 두 번째 문제로서 그들의 일관성을 증명하는 문제를 오직 미세한 방법만을 사용하여 제기하였다.^[23] 1931년 쿠르트 괴델은 자신의 두 번째 불완전성 정리를 증명했는데, 이는 그러한 일관성 증명이 페아노 산술 그 자체 내에서 공식화될 수 없음을 보여준다.^[24]

괴델의 정리가 피아노 산술에 대한 피니티즘적 일관성 증명의 가능성을 배제하고 있다는 것이 널리 주장되고 있지만, 이는 피니티즘적 증명에 의해 정확히 무엇을 의미하느냐에 달려 있다. 괴델 자신은 페아노 산술에서 공식화되지 않는 피니티즘적 방법을 사용함으로써 페아노 산술이나 더 강한 계통에 대한 피니티즘적 일관성을 증명할 수 있는 가능성을 지적했고, 1958년 괴델은 활자 이론을 이용한 산술의 일관성을 증명하는 방법을 발표했다.^[25] 1936년 게르하르트 겐첸은 ε이라고₀ 하는 서수자에 이르는 트랜스피나이트 유도를 사용하여 페아노의 공리의 일관성을 증명했다.^[26] 겐트젠은 "이번 논문의 목적은 초등수 이론의 일관성을 입증하거나, 오히려 정합성의 문제를 특정 근본 원리로 줄이는 것"이라고 설명했다. 젠첸의 증거는 논쟁의 여지가 없을 정도로 미세하다. 왜냐하면, 트랜스피나이트 서수 ε은₀ 유한한 물체의 용어로 인코딩될 수 있기 때문이다(예를 들어, 정수에 적합한 순서를 기술하는 튜링 기계로서, 또는 적절히 선형적으로 유한한 나무로 구성된 것으로 보다 추상적으로 기술하는 기계로서). 겐첸의 증거가 힐베르트가 구상한 요건을 충족하는지 여부는 불분명하다: 정확히 어떤 세부적인 증거가 무엇을 의미하는지 일반적으로 인정된 정의는 없으며 힐버트 자신은 정확한 정의를 내린 적이 없다.

현대 수학자의 대다수는 직관에 의존하거나 겐첸의 증거와 같은 일관성 있는 증거의 수용에 의존하여 페아노의 공리가 일관된다고 믿는다. 극친주의를 표방하기도 하는 소수의 철학자나 수학자들은 그 공리를 받아들이는 것이 자연수의 무한 수집을 받아들이는 것과 같기 때문에 페아노의 공리를 거부한다. 특히 추가(후계함수 포함)와 곱셈은 합계라고 가정한다. 신기하게도 PA와 비슷하지만 덧셈과 곱셈 대신 뺄셈과 나눗셈을 갖는 자기검증 이론이 있는데, 덧셈과 곱셈의 총체성에 해당하는 문장을 증명하는 것을 피하기 위해 공리화 되어 있지만, 여전히 모든 진실된 $\pi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1$}을 증명할 수 있는 이론들이 있다.$}}$개의 PA의 이론이$$ 있지만, 그 자체의 일관성을 증명하는 일관된 이론으로 확장될 수 있다(힐버트식 증명 "0=1"^[27]이 존재하지 않는 것으로 설명됨).

참고 항목

• 수학의 기초
• 프레지의 정리
• 굿스타인의 정리
• 신논리주의
• 비표준 산술 모형
• 파리-해링턴 정리
• 프레스버거 산술
• 로빈슨 산술
• 2차 산술
• 활자수 이론

메모들

참조

인용구

원천

추가 읽기

• Raymond M. Smullyan (19 September 2013). The Godelian Puzzle Book: Puzzles, Paradoxes and Proofs. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-49705-1.

외부 링크

• Murzi, Mauro. "Henri Poincaré". Internet Encyclopedia of Philosophy. Poincaré가 Peano의 공리에 대해 비평하는 것을 포함한다.
• Podnieks, Karlis (2015-01-25). "3. First Order Arithmetic". What is Mathematics: Gödel's Theorem and Around. pp. 93–121.
• "Peano axioms", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Peano's Axioms". MathWorld.
• Burris, Stanley N. (2001). "What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind". 디데킨드의 작품에 대한 해설.

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