기간 매핑

수학에서, 대수 기하학 분야에서, 기간 지도는 케흘러 다지관의 가족을 호지 구조의 가족들과 연관시킨다.

에레스만의 정리

f : X → B는 홀로모형 잠수 형태론이다.B의 점 B에 대해 우리는 f over b의 섬유_b X를 나타낸다.B에 점 0을 고정한다.에흐레스만의 정리는 f가 섬유다발이 되는 0시경에 작은 열린 동네 U가 있다는 것을 보장한다.즉, f⁻¹(U)는 X₀ × U와 차등형이다. 특히 합성 지도는

${\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\time U\twoheadrightarrow X_{0}}}}$

차이점형이다.이 차이점형주의는 사소한 것의 선택에 달려 있기 때문에 독특한 것이 아니다.소소화는 U의 평탄한 경로로부터 구성되며, 차이점형성의 호모토피 등급은 b부터 0까지의 경로의 호모토피 등급의 선택에만 의존한다는 것을 알 수 있다.특히 U가 수축할 수 있는 경우 호모토피까지 잘 정의된 차이점형성이 있다.

X에서_b X까지의₀ 차이점형성은 코호몰로지 집단의 이형성을 유도한다.

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),}$

그리고 동음이의 지도는 동음이의학에서 동일한 지도를 유도하기 때문에, 이 이형성은 b에서 0까지의 경로의 동음이의 등급에만 의존한다.

로컬 비폴라화 기간 매핑

f가 적절하고 X가₀ 케흘러 품종이라고 가정해 보자.Kahler 조건은 개방적이기 때문에 U를 수축한 후에 X는_b 소형이고 Kahler는 U의 모든 b를 수축시킨 후에 우리는 그것이 수축할 수 있다고 가정할 수 있다.그리고 X와₀ X의_b 코호몰로지 집단 사이에는 잘 정의된 이형성이 있다.이러한 동족학 집단의 이형성들은 생물형성이 아닌 차이형성에 의해 유도되기 때문에 일반적으로₀ X와 X의_b 호지 구조를 보존하지 못할 것이다.FH^pk(X_b, C)는 호지 여과물의 p번째 단계를 나타내도록 한다.X의_b Hodge 번호는₀ X의 숫자와 동일하므로,^[1] 숫자 b_p,k = dim FH^pk(X_b, C)는 b와 독립적이다.시대지도는 지도다.

${\displaystyle {\mathcal{P}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k})(X_{0},\mathbf {C}),}$

여기서 F는 모든 p에 대해 치수 b의_p,k 하위공간 체인의 국기 종류로 전송되는 것이다.

${\displaystyle b\mapsto(F^{p}H^{k})(X_{b}\mathbf {C} )_{p}}}$

X는_b 케흘러 다지관이기 때문에 호지 여과법은 호지-리만 이린 관계를 만족시킨다.이것은 라는 것을 암시한다.

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\더하기 {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C})}.}$

하위 영역의 모든 플래그가 이 조건을 만족하는 것은 아니다.이 조건을 만족하는 플래그 버라이어티의 서브셋을 비폴라화 로컬 기간 영역이라고 하며 $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {D}$로 표시한다$.$ D${\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {D}}$은 플래그 버라이어티 F의 오픈 서브셋이다.

국소 편광 주기 매핑

이제 각 X가_b 케흘러일 뿐만 아니라, b에서 홀로모형으로 변화하는 케흘러 계급이 있다고 가정해 보자.즉, H²(X, Z)에 클래스 Ω이 있다고 가정하여 모든 b에 대해 Ω ~ X의_b 제한 Ω이_b Kahler 클래스라고 가정한다.Ω은_b 규칙에 의해 H^k(X_b, C)의 이선형 Q를 결정한다.

$\displaystyle Q(\xi,\eta )=\int \\int \omega_{b}^{n-k}\wedge \xi \wedge \wedge \eta.}$

이 형태는 b에서 홀로모형으로 변화하며, 결과적으로 기간 매핑의 이미지는 호지-리만 이린 관계에서 오는 추가적인 제약조건을 만족시킨다.다음은 다음과 같다.

1. 직교성: FH^pk(X_b, C)는 Q와 관련하여 FH^{k − p + 1k}(X_b, C)와 직교한다.
2. 양의 정의:모든 p + q = k에 대해 원시 유형(p, q)에 대한$$ (${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) k${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle k^{}}$- 1 ) ${\displaystyle k^{}}$ ( k - ${\displaystyle 1^{}}$) k ( )${\displaystyle {}^{}}$/ 2${\displaystyle {}^{}}$ - Q {\displaystyle$\textstyle (-1)^{k-1)/2}i^{p-Q}Q}$의 제한은 양수다.

분극화된 로컬 기간 도메인은 플래그가 이러한 추가 조건을 충족하는 비분극 로컬 기간 도메인의 하위 집합이다.첫 번째 조건은 폐쇄 조건이고, 두 번째 조건은 개방 조건이며, 결과적으로 편극화된 로컬 기간 영역은 비극화 로컬 기간 영역과 국기 버라이어티 F의 국소적으로 폐쇄된 부분집합이다.기간 매핑은 이전과 동일한 방식으로 정의된다.

편광 로컬 기간 영역과 편광 기간 매핑은 여전히 $각각{\displaystyle \mathcal{}}$ D$${\$displaystyle${\$mathcal {D}$과(와) P$${\$displaystyle${\$mathcal {P$로 표시된다.

전역 기간 매핑

로컬 기간 매핑에만 초점을 맞추면 기본 공간 B의 토폴로지에 있는 정보는 무시된다.글로벌 기간 매핑은 이 정보를 계속 사용할 수 있도록 구성된다.지구 주기 매핑을 구성하는데 있어 어려움은 B: 섬유 X와_b X와₀ 관련된 독특한 호모토피 등급의 차이점들은 더 이상 존재하지 않는다.대신에, B의 경로의 뚜렷한 호모토피 클래스는 차이점동형성의 구별되는 호모토피 클래스를 유도하고 따라서 코호몰로지 그룹의 구별되는 이형성을 유도한다.결과적으로 각 섬유에 대해 더 이상 잘 정의된 깃발이 없다.대신 국기는 기본 집단의 작용까지만 정의된다.

분극화되지 않은 경우에서, 위와 같이 B의 곡선의 호모토피 등급에 의해 유도된 모든 자동화로 구성된 GL(H^k(X₀, Z))의 부분군으로 모노드로미 그룹 γ을 정의한다.깃발 품종은 포물선 부분군에 의한 리 군수의 몫이며, 모노드로미 군(monodromy group)은 리 군(gie group)의 산술적 하위군이다.글로벌 비양극화 시대 영역은 γ의 작용에 의한 지역 비양극화 시대 영역의 몫이다(따라서 이중 코세트의 집합이다).편광의 경우, 단색 그룹의 원소들은 Q형식의 이선도 보존해야 하며, 지구 편광 시대 영역은 같은 방법으로 in에 의한 지수로 구성된다.두 경우 모두 기간 매핑은_b X의 호지 여과 등급에 대해 B의 점을 취한다.

특성.

그리피스는 시대지도가 홀로모픽이라는 것을 증명했다.그의 횡단성 정리는 시대지도의 범위를 제한한다.

기간 행렬

호지 여과법은 주기 행렬을 사용하여 좌표로 표현할 수 있다.k번째 적분 호몰로지_k 그룹 H(X, Z)의 비틀림 없는 부분에 대한 기준 Δ₁, ... Δ를_r 선택한다.p + q = k로 p와 q를 고정하고, 형식의 조화 형식(p, q)에 대한 기준 Ω₁, ..., Ω을_s 선택한다.이러한 베이스에 대한 X의₀ 주기 행렬은 행렬이다.

${\displaystyle \Oba ={\Big (}\int_{\delta_{i}\omega_{j}{\Big )}_{1\leq i,1\leq r,1\leq j\leq j\leq s}.}$

기간 행렬의 항목은 기준의 선택과 복잡한 구조에 따라 달라진다.Δs는 SL(r, Z)의 매트릭스 λ의 선택에 의해 변화할 수 있으며, Ω은 GL(s, C)의 매트릭스 A의 선택에 의해 변화할 수 있다.주기 행렬은 A와 λ의 일부 선택에 대해 AΩλ으로 쓸 수 있다면 Ω과 동등하다.

타원곡선의 경우

타원 곡선 패밀리를 고려하십시오.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\juffda )}$

여기서 λ은 0이나 1과 같지 않은 복잡한 숫자다.곡선의 첫 번째 코호몰로지 그룹의 호지 여과에는 F와⁰ F라는¹ 두 단계가 있다.그러나 F는⁰ 전체 코호몰로지 집단이기 때문에 여과에서 유일하게 흥미로운 용어는 F인데^11,0, 이 H는 홀로모픽 조화 1형식의 공간이다.

H는^1,0 곡선이 타원형이기 때문에 1차원이며, 모든 λ에 대해서는 Ω = dx/y의 미분형식으로 스팬딩된다.곡선의 호몰로지 그룹의 명시적 대표자를 찾으려면 곡선을 다중값 함수의 그래프로 나타낼 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\buffda )}}$

리만 구에이 기능의 분기점은 0, 1, λ, 무한이다.한 개는 0에서 1로, 다른 한 개는 from에서 무한으로 이어지는 두 개의 분기 컷을 만든다.이들은 함수의 분기점을 소진하기 때문에, 다중값 함수를 두 개의 단일값 시트로 절단한다.작은 ε > 0을 고정한다. 이 시트들 중 하나에서 γ(t) = 1/2 + (1/2 + ε)exp(2()를 추적한다.충분히 작은 ε의 경우, 이 곡선은 분기 절단[0, 1]을 둘러싸고 있으며 분기 절단[λ, ∞]을 충족하지 않는다.Now trace another curve δ(t) that begins in one sheet as δ(t) = 1 + 2(λ − 1)t for 0 ≤ t ≤ 1/2 and continues in the other sheet as δ(t) = λ + 2(1 − λ)(t − 1/2) for 1/2 ≤ t ≤ 1. Each half of this curve connects the points 1 and λ on the two sheets of the Riemann surface.세이퍼트-반 캄펜 정리부터 곡선의 호몰로지 집단은 2위가 자유롭다.곡선은 1 + ε의 단일 점에서 만나기 때문에, 이들의 호몰로지 클래스 중 어느 것도 일부 다른 호몰로지 클래스의 적절한 배수가 아니며, 따라서 H의₁ 기초를 형성한다.따라서 이 가족의 기간 행렬은

${\displaystyle {\pmatrix}\int _{\note \\\int _{\mote \end{pmatrix}.}$

이 매트릭스의 첫 번째 항목은 A로, 두 번째 항목은 B로 축약할 것이다.

√-1Q의 이선형식은 양성으로 확실하다. 왜냐하면 국지적으로 우리는 항상 Ω을 fz로 쓸 수 있기 때문이다.

${\displaystyle {\sqrt {-1}\{X_{0}\morea \wedge {\bar{\sqrt{-1}}}\{X_{0}f ^{2}\z\wedge d{z}}}}}0.}$

푸앵카레 이중성에 의해 γ과 Δ는 함께 H¹(X₀, Z)의 기초가 되는 코호몰로지 등급 classes과^* Δ에^* 해당한다.Ω은 γ과^* Δ의^* 선형 결합으로 쓸 수 있다는 것을 뒤따른다.계수는 이중 기준 원소 γ 및 Δ에 대해 Ω을 평가하여 주어진다.

$\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}$

우리가 Q의 긍정적인 정의를 이 용어로 다시 쓸 때, 우리는

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

γ과^* Δ는^* 일체형이므로, 결합하에서는 변하지 않는다.나아가 γ과 Δ는 한 점에서 교차하고, 한 점은 H의₀ 발생기이므로 γ과^* Δ의^* 컵 생산물은 X의₀ 기본 등급이다.따라서 이 통합은 ${\displaystyle \mathrm{Im}}$ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$의${\displaystyle \stackrel{}{}B}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar{A}B}$와 같다$.$적분은 엄격히 양성이므로 A도 B도 0이 될 수 없다.

Ω을 재조정한 후, 우리는 기간 행렬이 엄격히 양의 가상 부분을 가진 일부 복잡한 숫자 for에 대해 (1 ))과 동일하다고 가정할 수 있다.이것은 GL(1, C) 작용에서 오는 애매함을 제거한다.SL(2, Z)의 작용은 상반면에 있는 모듈 그룹의 통상적인 작용이다.결과적으로, 기간 영역은 리만 영역이다.이것은 격자로 타원형 곡선의 일반적인 매개변수화다.

참고 항목

• 호지 이론
• 자코비앙 품종
• 모듈 그룹

참조

계산

• $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle m^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x^{m}+y^{n}=1}$ 형식의 곡선에 대한 기간 행렬의 명시적 계산 - $$예시 포함
• 과대망상 곡선에 대한 기간 행렬의 명시적 계산 - 예시 포함
• 하이퍼프레스의 계산 기간 알고리즘

일반

• Voisin, Hodge 이론 및 복잡한 대수 기하학 I, II

적용들

• 시무라는 과대망상 자코비안들의 위치 안에 3개의 속 속에 있는 곡선을 그린다.

외부 링크

• 수학 백과사전의 시대지도